精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

河溪中学2023—2024学年度第二学期期中考试 高二级数学科试卷 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卷上． 2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卷各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用对数函数的单调性求解集合B，再利用集合的交运算即可求解． 【详解】由，得，因为，所以. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由初等函数导数公式和导数运算法则可得答案. 【详解】因为函数， 所以. 故选：D. 3. 、、、、等名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）.已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这人最终名次的不同排列有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先从、、名同学中选名同学分配第一名和最后一名，剩余名同学的名次无限制，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先从、、名同学中选名同学分配第一名和最后一名，剩余名同学的名次无限制， 由分步乘法计数原理可知，这人最终名次的不同排列的种数为种. 故选：B. 4. 已知向量，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由模的坐标表示和向量垂直的坐标表示求得的关系后可得值． 【详解】，，，， 所以． 故选：D． 5. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式中和的系数，与中相应项相乘相加可得． 【详解】由题意常数项为：， 故选：D. 【点睛】本题考查二项式定理，考查求展开式中某一项系数．注意本题是两个多项式相乘，因此所求系数要由多项式乘法法则计算． 6. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程. 【详解】，解得，故直线交点为， 直线的斜率，故垂直于它的直线斜率， 故所求直线方程为，整理得到. 故选：B 7. 已知数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用公式求出，再由第k项满足可得答案． 【详解】时，， ，， 由得，解得， 因，所以， 故选：C. 8. 已知第四象限角，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，利用两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为为第四象限角，且， 所以， 所以 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案填写在答题卷相应位置上． 9. 若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 渐近线方程为 C. 的最小值是 D. 焦点到渐近线的距离是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线的焦点坐标求出的值，可判断A选项的正误；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；求出的最小值，可判断C选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由题意可得，故，A错； 对于B选项，对于双曲线，，，该双曲线的渐近线方程为，B对； 对于C选项，的最小值为，C对； 对于D选项，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，D对. 故选：BCD. 10. 对于式子，下列说法正确的有（ ） A. 它的展开式中第4项的系数等于135 B. 它的展开式中第3项的二项式系数为20 C. 它的展开式中所有项系数之和为64 D. 它的展开式中第一项的系数为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据的展开式的通项公式求解判断. 【详解】的展开式的通项公式是， A.，所以第4项的系数等于-540，故错误； B. ，所以它的展开式中第3项的二项式系数为15，故错误； C. 令，得，所以它的展开式中所有项系数之和为64，故正确； D. ，所以它的展开式中第一项的系数为，故正确； 故选：CD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. 函数不存在最小值与最大值 C. 当时，函数最大值 D. 当时，函数最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对f（x）求导，判断f（x）的单调性，求出极值和端点值，然后分别判断各选项即可． 【详解】∵ ，∴， 当x（1，2）时，，f（x）在（1，2）上单调递减， 当x（-∞，1）∪（2，+∞）时，，f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上单调递增， ∴当x=2时，f（x）取到极小值，当x=1时f（x）取到极大值，故A正确； 又当x→-∞时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞， 故函数f（x）不存在最小值与最大值，故B正确； ∵f（1）=e，，∴f（1）-f（3）=， 又f（x）在[0，1]，[2，3]上单调递增，在（1，2）单调递减， ∴当x∈[0，3]时，函数f（x）最大值为 ，故C错误； ，故D错误； 故选：AB． 【点睛】本题解题核心思路： (1)首先明确函数单调性； (2)对函数的的最值取法要知道，只会在区间端点处或者极值点处取得，比较这些值大小即可得到最值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率计算公式求解答案. 【详解】设事件A为：第一次抽到男生，事件B为：第二次抽到女生 则事件AB为：第一次抽到男生，第二次抽到女生； 根据题意 所以在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率为： 故答案为：. 13. 复数、在复平面内的对应点分别为、，已知点与关于轴对称，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先由复数的除法运算求出，再根据对称性求出复数，再由模长公式计算模长即可求解. 【详解】由可得， 因为点与关于轴对称，所以复数、的实部相等，虚部相反， 所以，所以， 故答案为：. 14. 已知，则_____，若，则实数k的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项式定理令求得，令得，便可求得参数. 【详解】解：由题意得： 当时，则 当时， 又 ，解得 故答案为：； 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． 求A的大小； 若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】由与正弦定理可得的值，再根据A的范围，得出A的大小； 由余弦定理得c的大小，由可得结果． 【详解】解：，根据正弦定理,将上式中的a，b，c替换为，得： ， 而， , ，，，又，； 由余弦定理可得， ，，，， ． 【点睛】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力． 16. 已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据点在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为，联立方程即可得解； （2）由，求得极值点处函数值和端点处函数值，进行比较即可求得最大值和最小值. 【小问1详解】 由 根据题意可得： ， 解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知： ， 令， 解得， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 由，， ，， 所以，. 17. 已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，，是与的等差中项. （1）求数列，的通项公式； （2）若，是数列的前项和，求. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差的前n项和公式以及通项公式求出首项与公差即可求出等差数列通项公式，再结合等差数列中的项与等比数列的通项公式求出首项与公差从而求出等比数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出数列的和. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，是与的等差中项， 则； ，， 即， ，， ； （2）， 所以， ， 两式相减可得， ， 化简得，. 18. 如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可得出； （2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：四边形为矩形，， 且平面，平面，平面， 又平面，平面平面，； （2）四边形为矩形，则， 又面面，且面面，面， 由（1）知，，又，， 所以，、、两两垂直， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、. ，，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，即，令，解得， 由，即，令，解得， 于是， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 19. 已知圆经过椭圆的左焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解圆与轴，轴交点，进而得，，即可得答案； （2）根据题意，联立方程，设，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可. 【小问1详解】 解：对于圆, 令得，解得，即与轴的交点为， 令得，解得，即与轴的交点为 因为圆经过椭圆的左焦点和上顶点，椭圆的焦点在轴上， 所以为椭圆的左焦点，为椭圆的上顶点， 所以，， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 解：因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河溪中学2023—2024学年度第二学期期中考试 高二级数学科试卷 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卷上． 2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卷各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 、、、、等名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）.已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这人最终名次的不同排列有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 已知向量，，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 40 6. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ） A. B. C D. 7. 已知数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为第四象限角，且，则=（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案填写在答题卷相应位置上． 9. 若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 渐近线方程为 C. 最小值是 D. 焦点到渐近线的距离是 10. 对于式子，下列说法正确的有（ ） A. 它的展开式中第4项的系数等于135 B. 它展开式中第3项的二项式系数为20 C. 它的展开式中所有项系数之和为64 D. 它的展开式中第一项的系数为 11. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. 函数不存在最小值与最大值 C. 当时，函数最大值为 D. 当时，函数最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率为_____. 13. 复数、在复平面内的对应点分别为、，已知点与关于轴对称，且，则______ 14. 已知，则_____，若，则实数k的值为_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． 求A的大小； 若，，求的面积． 16. 已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． （1）求函数解析式； （2）当时，求函数的最值． 17. 已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，，是与的等差中项. （1）求数列，的通项公式； （2）若，是数列的前项和，求. 18. 如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 19. 已知圆经过椭圆的左焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$