精品解析：陕西省安康市安康市高新中学，安中分校2024届高三下学期5月模拟预测理科数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，．若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，．设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为100，则输出的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 4 C. D. 8 8. 已知数列对任意满足，则（ ） A B. C. D. 9. 已知，满足约束条件，若的最小值为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 1或2 10. 若函数在第一象限内的图象如图所示，则其解析式可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 12. 已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数__________． 14. 已知函数的部分图象如图所示，且，，则______． 15. 已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为______． 16. 对于两个实数a，b，定义运算如下：若，则；若，则．若，则的最小值是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动.该校学生会从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分（满分：100分）统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示. （1）现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上（含80分）的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上（含80分）的人数，按分层抽样比例分配，则男生组､女生组分别得多少张该戏剧的演出票？ （2）假定学生竞赛成绩在80分以上（含80分）被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列列联表表示参加竞赛的学生成绩： 男生 女生 合计 合计 根据列联表，判断是否有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关？ 参考公式：（其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若的平分线交于点，且，，求的面积． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，于点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20. 已知抛物线，准线与轴交于点为抛物线上一点，交轴于点.当时，. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线的另一交点为（点在点之间），过点且垂直于轴的直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数． （1）若在定义域内是单调函数，求a取值范围； （2）若有两个极值点，，求证：． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 已知直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设是曲线上两点，且.若直线上存在点，使得，求的取值范围. [选修4-5：不等式选讲] 23. 设函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，函数有两个零点，且满足，求实数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 2 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合和集合，然后求出. 【详解】因为，，所以． 故选：C． 3. 已知向量，．若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的和差公式和同角三角函数的平方公式得到，， 再依据向量垂直的条件建立方程求解即可. 【详解】由题意得，． ，因为， 所以，所以，所以，解得． 故选：A． 4. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，．设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】当时，取为平面内一条与l垂直的直线，得，充分性不成立； 当时，因为，，所以．结合，所以，必要性成立．综上可知，甲是乙的必要不充分条件． 故选:B． 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为100，则输出的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】结合循环结构，逐步运行程序即可. 【详解】逐步运行程序可得： ，；，； ，；，； ，；，； ，；，； 此时输出． 故选：D． 6. 若函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【详解】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式通项公式得到，的系数分别为，，从而得到的系数为． 【详解】在的展开式中，通项公式为， 故，的系数分别为，， 所以在的展开式中，的系数为． 故选：D． 8. 已知数列对任意满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解. 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 9. 已知，满足约束条件，若的最小值为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，即可根据经过点，结合可行域可知直线经过或时满足题意，代入即可求解. 【详解】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示（包含边界），其中，，， 所以的最小值为等价于直线的纵截距的最大值为4， 所以直线经过点． 结合图象，知直线经过点或时满足题意， 所以的值为2或1．经检验成立 故选:D． 10. 若函数在第一象限内的图象如图所示，则其解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊函数值排除A，C，利用单调性排除D即可. 【详解】对于A，，点，，， 在同一条直线上，与图象不符，舍去； 对于C，，与图象不符，舍去； 对于D，，， 所以在上单调递增，与图象不符，舍去． 故选：B． 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义得到，，由勾股定理逆定理得为直角，在中，由勾股定理得，故，设的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，得到方程组，联立得 【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上， 所以． 又，，，所以， 解得，， 所以，所以是直角． 在中，，所以， 解得， 所以，即． 又的外接圆交双曲线的一条渐近线于点， 所以，所以点的坐标满足，解得， 所以，故. 故选：D． 12. 已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取点D在母线SA上且，可证明三棱锥与三棱锥外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圆半径即为外接球半径得解. 【详解】如图， 设点D在母线SA上且， 因为是直角三角形，所以三棱锥外接球的球心E在SO上， 由 ≌，可得， 即三棱锥外接球的球心E也是三棱锥外接球的球心，且两个外接球的表面积相等． 由，得的外心即为三棱锥外接球的球心E． 在中，， 所以的外接圆的直径， 所以三棱锥外接球的表面积是， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出曲线在点处的切线斜率，结合该切线与平行即可求解． 【详解】因为，所以，所以， 故答案为：2． 14. 已知函数的部分图象如图所示，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图中信息可得，进而，根据可得或，由，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，知，最小正周期①．注意到②． 结合①②，解得． 将点代入，得． 因为，所以或． 依题意，得．当时，，取，得，满足题意； 当时，，不存在使成立的整数，舍去． 故答案为：． 15. 已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据题目条件求出和，然后根据椭圆定义进行转换，求出的最小值. 【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意，得，，所以，． 设椭圆C的左焦点为，则， 所以． 故答案为：． 16. 对于两个实数a，b，定义运算如下：若，则；若，则．若，则的最小值是______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据函数的新定义结合绝对值三角不等式计算求解即可. 【详解】依题意，得，所以 设，则， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，取等号． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动.该校学生会从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分（满分：100分）统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示. （1）现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上（含80分）的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上（含80分）的人数，按分层抽样比例分配，则男生组､女生组分别得多少张该戏剧的演出票？ （2）假定学生竞赛成绩在80分以上（含80分）被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列列联表表示参加竞赛的学生成绩： 男生 女生 合计 合计 根据列联表，判断是否有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关？ 参考公式：（其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）男生组､女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票 （2）表格见解析，没有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合条件即可求出男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票； （2）根据（1）得计算结果得出列联表，再进行卡方检验计算，根据临界值表可得出结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， 男生组得分在80分以上（含80分）的有（人）， 女生组得分在80分以上（含80分）的有（人）， 男生占比为，女生占比为， 所以男生组分得票数为， 女生组分得票数为， 所以男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票. 【小问2详解】 由（1）知，男生组得分在80分以上（含80分）的有9人，80分以下的有51人；女生组得分在80分以上（含80分）的有21人，80分以下的有39人， 所以得如下列联表： 男生 女生 合计 9 21 30 51 39 90 合计 60 60 120 根据列联表中数据计算，得 ， 根据临界值表可知，没有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若的平分线交于点，且，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理，再结合两角和差公式计算求值即可； （2）先应用角平分线表示面积求出,最后应用面积公式计算. 【小问1详解】 由正弦定理及，得， 所以， 整理，得． 因为，所以，即． 因为，所以． 【小问2详解】 因为为的平分线，所以， 即， 化简，得， 由，得， 所以 ． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，于点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直性质定理和判定定理证明平面，再根据线面垂直则线线垂直即可证明； （2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以． 因为，，所以． 结合，得， 因为平面，平面，所以 又，平面，且，所以平面． 又平面，所以， 又，，平面，且，所以平面. 又平面，所以, 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点，过点且平行于的直线为轴，，所在的直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设，，,， 则，得， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 20. 已知抛物线，准线与轴交于点为抛物线上一点，交轴于点.当时，. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线的另一交点为（点在点之间），过点且垂直于轴的直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由于，所以四边形为平行四边形，得到代入抛物线方程，解出即可． （2），即．设直线方程，与抛物线联立方程组，用韦达定理，得到.将式子线段长度全部用坐标表示，消元后，结合韦达定理的结论，即可求解． 【小问1详解】 因为当时，，所以四边形为平行四边形， 所以即所以 将代入，得，解得 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 如图， 由题意，得.设直线斜率不能为0， 故其方程为，则. 由，得， 所以. 假设存在实数，使得，即. 由题意，知， 所以. 又， 所以， 即存在实数，使得成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 21. 已知函数． （1）若在定义域内是单调函数，求a的取值范围； （2）若有两个极值点，，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分在定义域内是单调递增函数和单调递减函数求解； （2）由有两个极值点，，得到，且，是的两个根，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，不妨设，将证，转化为证即可． 【小问1详解】 解：函数的定义域是，． ①若在定义域内是单调递增函数， 则在上恒成立． 注意到，当且仅当时取等号， 所以， 若，即当时，取，则； 若，即当时，取，则， 所以在上不可能恒成立，舍去． ②若在定义域内是单调递减函数，则在上恒成立． 令， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，所以由恒成立，得， 即当在上单调递减的，的取值范围是． 综上，当在定义域内是单调函数时，的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）知在定义域内是单调函数时，必有， 所以有两个极值点，，必须， ，是的两个根， 所以，． 由（1）知在上单调递增，在上单调递减． 不妨设． 要证，即证． 因为，，所以亦即证，所以要证． 注意到， ， ， 令，，则， 所以， 所以在上单调递减， 所以，所以． 【点睛】思路点睛：本题第二问的思路是由（1）得到，是的两个根，再将证，转化为证，从而由而得证． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 已知直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设是曲线上的两点，且.若直线上存在点，使得，求的取值范围. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线l的参数方程消去参数得到直线的普通方程，根据极坐标和直角坐标的关系，可将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）由（1）可知，曲线C表示圆，根据已知条件判断P点的轨迹得出，从而转化为点到直线的距离问题的不等式，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 由（为参数，，消去参数，得直线的普通方程为， 由，得， 将代入得曲线的直角坐标方程为， 即； 【小问2详解】 由（1），知曲线表示圆心为，半径为的圆，为一条直线， 设弦的中点为，因为，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 又，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 依题意，直线上存在点，使得， 所以点到直线的距离，即， 所以， 所以取值范围为. [选修4-5：不等式选讲] 23. 设函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，函数有两个零点，且满足，求实数的值. 【答案】（1）. （2）3 【解析】 【分析】（1）由，代入函数得，再两边平方即可求解； （2）根据，分析函数的单调性，并计算，当时，分别讨论和两种情况，并计算对应的. 【小问1详解】 若，则， 即 两边平方，得，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 因， 所以函数. 观察图象，知函数在上单调递减， 在和上单调递增，且， ①当时，. 由，解得； ②当时，， 此时，与矛盾，舍去. 综上，实数的值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$