精品解析：江苏省射阳中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

高二年级第二学期期末考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 2. 已知，，且，则（ ） A 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为，，且，所以， 解得. 故选：D 3. 过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 4. 已知二项式中第项与第项的二项式系数相等（），则n的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，进而根据组合数性质可得答案. 【详解】解：由题知 ，所以或， 又因为，所以 故选：A 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】由条件概率公式得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题. 6. 某班联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有种方法，第二步插入第二个节目，此时有个空，故有种方法. 因此不同的插法共有种. 故选：B. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 7. 定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于的不等式，解出即可. 【详解】令，则，故单调递减， 即，得，解得：. 故选：B. 8. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 二、多选题（每题6分，共18分.全对6分、部分选对得部分分、错选不得分） 9. 设数列满足：，且对任意的，都有，为数列的前n项和，则（ ） A. 为等比数列 B. C. 为等比数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用凑配法化简，结合等比数列的有关知识确定正确选项. 【详解】依题意，则， 因为，故，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以是首项为，公比为等比数列. ， ，所以不是等比数列. . 所以AD选项错误、BC选项正确. 故选：BC 10. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 【答案】CD 【解析】 【分析】利用捆绑法可计算出A、B选项中的排法种数，利用特殊位置法可计算出C选项中的排法种数，利用插空法可计算出D选项中的排法种数，综合可得出结果. 【详解】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误； B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误； C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确； D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊位置法，考查计算能力，属于中等题. 11. 已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 二面角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用数量积为0得线线垂直，根据线面垂直的判定定理证明，判断A正确；求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解，判断B正确；利用二面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理及同角三角函数关系求解，判断C错误；利用等体积法求点面距离，判断D正确. 【详解】对于AB，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图： 正方体的边长为1，，，，，，， ，所以，， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 又，平面，所以平面，故A正确； 设平面的一个法向量为，， 则，即，不妨令，得，故， 又因为， 设直线与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，如图： 连接交于，连接， 因为，O为BD的中点， 所以，，平面，平面， 所以是二面角的平面角， 又， 故， 所以二面角的正弦值为，故C错误； 对于D，如图： 设点到平面的距离为，因为， 所以，， 因为，所以， 所以，即点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知ξ服从正态分布，且，则___________. 【答案】0.2 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，求概率. 【详解】ξ服从正态分布，正态密度曲线关于对称， . 故答案为： 13. 高二（1）班准备组织一场辩论赛，共有六名同学报名参加.将他们随机平均分为两组，其中甲､乙两名同学不在同一组的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列，组合分别写出分组情况，再按照古典概型求概率. 【详解】六名同学随机平均分为两组，共有种方法， 其中甲、乙两名同学不在同一组包含种方法，所以甲、乙两名同学不在同一组的概率. 故答案为： 14. 已知，若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】双变量问题根据题干转化为，对于，通过求导判断单调性得到，对于根据的正负得到，通过解关于的不等式得到的取值范围. 【详解】因为任意的，总存在，使得，所以， ，令得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当时，，所以，解得； 当时，不合题意； 当时，，所以，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）30° 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，再证明，最后得到，即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和法向量，根据线面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 连接，在正方体中，因为平面， 平面，所以. 因为，，所以，且均在同一平面内， 所以，因为为的中点，所以为的中点. 【小问2详解】 在正方体中，，，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，则.于是. 设直线与平面所成的角为，则 因为，所以直线与平面所成角的大小为30°. 16. 已知圆M过，，且圆心M在直线上. （1）求圆M的标准方程； （2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)首先由条件设圆的标准方程，再将圆上两点代入，即可求得圆的标准方程；（2）分斜率不存在和存在两种情况，分别根据弦长公式，求得直线方程. 【小问1详解】 圆心在直线上，设圆的标准方程为：， 圆过点，，，解得 圆的标准方程为 【小问2详解】 ①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意 ②当斜率存在时，设直线m：，圆心M到直线m的距离为 根据垂径定理可得，，，解得 直线m方程为或. 17. 为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率： （2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果； （2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分步乘法计数原理可求得结果； （3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》；②三位同学都选择《数学史》.分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）三位同学选择课程共有种情况； 三位同学选择的课程互不相同共有种情况，所求概率为； （2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有种情况，丙有种不同选择， 所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有种情况； （3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有种不同的情况； ②有三位同学选择《数学史》共有种情况. 综上所述，总共有种不同的选课种数. 【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本应用，属于中等题. 18. 已知椭圆的离心率为. （1）证明：； （2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且. ①求直线的方程； ②求椭圆的标准方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由可证得结论成立； （2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； ②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1），，因此，； （2）①由（1）知，椭圆的方程为，即， 当在椭圆的内部时，，可得. 设点、，则，所以，， 由已知可得，两式作差得， 所以， 所以，直线方程为，即. 所以，直线的方程为； ②联立，消去可得. ， 由韦达定理可得，， 又，而，， ， 解得合乎题意，故， 因此，椭圆的方程为. 19. 数列中，，，设. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2021 【解析】 【分析】（1）对两边都加得到，即可证明数列是等比数列； （2）由，利用错位相减法求和； （3）由得到，，裂项相消法求和得到，所以不超过的最大的整数为2021. 【小问1详解】 将两边都加，得，而，所以， 即有，又，即，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知，，则， ， 则， 因此，两式作差得到，， 所以； 【小问3详解】 由（2）知，于是得，则， 因此，， 所以， 所以不超过的最大的整数是2021. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级第二学期期末考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 2. 已知，，且，则（ ） A 2 B. 3 C. D. 3. 过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知二项式中第项与第项的二项式系数相等（），则n的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 某班联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分.全对6分、部分选对得部分分、错选不得分） 9. 设数列满足：，且对任意，都有，为数列的前n项和，则（ ） A. 为等比数列 B. C. 为等比数列 D. 10. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 11. 已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 二面角正弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知ξ服从正态分布，且，则___________. 13. 高二（1）班准备组织一场辩论赛，共有六名同学报名参加.将他们随机平均分为两组，其中甲､乙两名同学不在同一组的概率为___________. 14. 已知，若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 如图，正方体棱长为2，为的中点，点在上，. （1）求证：为中点； （2）求直线与平面所成角的大小. 16. 已知圆M过，，且圆心M在直线上. （1）求圆M的标准方程； （2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程； 17. 为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率： （2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 18. 已知椭圆的离心率为. （1）证明：； （2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且. ①求直线的方程； ②求椭圆的标准方程. 19. 数列中，，，设. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$