指数运算讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 指数运算 年 级 高一 知 识 梳 理 一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 2．运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）. 二．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 三.根式的性质 1.负数没有偶次方根. 2.0的任何次方根都是0，记作＝0. 3.()n＝a(n∈N*，且n>1). 4.＝a(n为大于1的奇数). 5.＝|a|＝(n为大于1的偶数). 四.分数指数幂 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 四.有理数指数幂的运算性质 1.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1) (2) (3) （4）. 2.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 例题讲解 知识点一、根式的意义求范围 例1、(多选)若，则下列四个式子中有意义的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误.故选：AC 练习： 1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A． B． C． D． 【解析】当时，的偶次方根无意义.故选：D 2．已知，求 【解析】因为，所以，解得，所以， 3．若代数式有意义，则 . 【解析】因为代数式有意义，所以且，故， 所以，故答案为：8. 知识点二、根式的性质化简或求值 例1、(多选)下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确； 当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确.故选：BD. 例2、(多选)若，化简的结果可能(    ) A． B．. C． D． 【解析】由化简可得， 所以，所以或， 又， 所以， 当时，， 当时，，故选：AC. 例3、求下列各式的值： （1） 【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （1）； （2）； （3）； （4） 例4、计算：（1）； （2）. 【解析】 （1） =+- = =||+||-||=+-（）=2 （2） === 练习： 1． (多选)已知xy≠0，且，则以下结论错误的是(    ) A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 【解析】由知，所以异号，所以A对，BCD错；故选：BCD． 2．化简的结果是 ． 【解析】.故答案为：. 3．化简 . 【解析】.故答案为：. 4．计算下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）. 5．化简：（1）； （2） 【答案】（1）；（2） 知识点三、根式与指数幂的互化 例1、用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可． （1） （2）； （3）； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂 == 例2、[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(    ) A．() B．() C．() D．() 【解析】当时，，，故A错误．()，故B正确． ()，故C错误．()，故D正确．故选：  BD 例2、已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【解析】(1)将两边平方，得，即； (2)将两边平方，得，即； , 所以． 例3、计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【解析】(1)原式=1+=1+= (2)原式===100 例4、计算下列各式： （1）（2） 【解析】（1）原式= == （2）原式= 例5、计算：（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）原式； （2）； （3）原式． 例6、已知，求的值． 【解析】 ，，， == 练习： 1．化简(式中各字母均为正数)： (1)；(2)；(3)． 【解析】(1)原式. (2)原式. (3)方法一(从里向外化)． 方法二(从外向里化) 2．计算下列各式的值. (1)(2)(3) (4)；(5). (6)计算：；(7)(，). 【解析】(1)原式 (2)原式 (3)原式. (4)解： . (5)解： (6)原式. (7)原式. 3．已知，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) 【解析】(1)将两边平方，可得，解得. (2)将两边平方，可得，解得. (3) 4.化简 【解析】原式 . 5.化简下列式子： (1) (2) (3) 【解析】(1)原式 (2) ∴由平方根的定义得： (3) . 6.（1）已知，求的值． （2）化简 【解析】（1），． （2） 举一反三 1．化简(    ) A． B． C． D． 【解析】由.故选：C 2．化简(a，b为正数)的结果是(    ) A． B． C． D． 【解析】.故选：C. 3．若，则的值是(    ) A．2 B．0 C． D．1 【解析】由，得，即，解得． ∴．故选：D 4．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误.故选：C. 5．计算，结果是(    ) A．1 B． C． D． 【解析】.故选：B 6．方程的解集是(　　) A． B． C． D． 【解析】原方程可化为：，即，解得：．故选：B． 7．已知正数m，n满足，则的最小值为(    ) A．3 B．5 C．8 D．9 【解析】由正数m，n满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号.故选：D. 8．计算下列各式． (1)＝ ；(2)＝ ；(3)＝ . 【解析】(1). (2). (3). 故答案为：(1)；(2)；(3) 9． ． 【解析】 . 10． . 【解析】原式 =. 11． . 【解析】 . 12．若实数满足，则的最小值为 ． 【解析】,当且仅当，即时取到等号. 13．(2022·高一课时练习)方程， ． 【解析】】因为，所以或8，解得或． 14．已知，则的取值可能是 ． 【解析】因为，当，即时，，满足要求， 当，即时，，满足要求， 当且时，由可得，所以，所以的取值可能是2或或0， 15．若，则 . 【解析】因为,所以， 所以 .所以. 16．若，= 【解析】， 因为，所以原式. 17． 【解析】原式 . 18．= 【解析】 . 19.(1)计算 (2)化简：. (3)已知，求的值. 【解析】(1) (2) (3)因为，两边同时平方可得：，再将两边同时平方可得：， 所以. 20．求下列各式的值. (1)若，求；(2)已知，求的值；(3)若，求； (4)若，求. 【解析】(1)利用指数运算法则可知，将代入可得. (2)易知，又，所以 (3)化简得， 将代入可得 (4)易知 又，所以 21．已知，求的值． 【解析】因为， ． 22．计算下列各式的值： (1)；(2) 【解析】(1) (2) 23.化简下列各式： (1)；(2)(，)； (3)(且)． 【解析】(1)原式． (2)方法一(由内向外化) ． 方法二(由外向内化) . (3)方法一  原式． 方法二  原式． 24．解下列方程：； 【解析】由，可得，所以， 所以或，由，可得，故， 由，可得，即，所以，即，所以或； 课 堂 小 结 一．与()n的区别 1.是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2.()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.　　　 二．根式与分数指数幂互化 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 2.根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 3.利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 课 后 作 业 1．已知，，且，，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】，∵，∴等号不成立，故； ，∵，∴等号不成立，故， 综上，.故选：A. 2．(2022秋·高一课时练习)化简的结果为(    ) A． B． C． D． 【解析】 = == == == 3．已知，，则的值为 ． 【解析】由，，可得， 设，则，则，解得，(舍去)， 故，故答案为： 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 指数运算 年 级 高一 知 识 梳 理 一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 2．运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）. 二．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 三.根式的性质 1.负数没有偶次方根. 2.0的任何次方根都是0，记作＝0. 3.()n＝a(n∈N*，且n>1). 4.＝a(n为大于1的奇数). 5.＝|a|＝(n为大于1的偶数). 四.分数指数幂 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 四.有理数指数幂的运算性质 1.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1) (2) (3) （4）. 2.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 例题讲解 知识点一、根式的意义求范围 例1、(多选)若，则下列四个式子中有意义的是(    ) A． B． C． D． 练习： 1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A． B． C． D． 2．已知，求 3．若代数式有意义，则 . 知识点二、根式的性质化简或求值 例1、(多选)下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 例2、(多选)若，化简的结果可能(    ) A． B．. C． D． 例3、求下列各式的值： （1） 例4、计算：（1）； （2）. 练习： 1． (多选)已知xy≠0，且，则以下结论错误的是(    ) A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 2．化简的结果是 ． 3．化简 . 4．计算下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 5．化简：（1）； （2） 知识点三、根式与指数幂的互化 例1、用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）；（2）；（3）；（4）． 例2、[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(    ) A．() B．() C．() D．() 例2、已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 例3、计算下列各式： (1)； (2)； (3). 例4、计算下列各式： （1）（2） 例5、计算：（1）；（2）；（3）． 例6、已知，求的值． 练习： 1．化简(式中各字母均为正数)： (1)；(2)；(3)． 2．计算下列各式的值. (1)(2)(3) (4)；(5). (6)计算：；(7)(，). 3．已知，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) 4.化简 5.化简下列式子： (1) (2) (3) 6.（1）已知，求的值． （2）化简 举一反三 1．化简(    ) A． B． C． D． 2．化简(a，b为正数)的结果是(    ) A． B． C． D． 3．若，则的值是(    ) A．2 B．0 C． D．1 4．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(    ) A． B． C． D． 5．计算，结果是(    ) A．1 B． C． D． 6．方程的解集是(　　) A． B． C． D． 7．已知正数m，n满足，则的最小值为(    ) A．3 B．5 C．8 D．9 8．计算下列各式． (1)＝ ；(2)＝ ；(3)＝ . 9． ． 10． . 11． . 12．若实数满足，则的最小值为 ． 13．(2022·高一课时练习)方程， ． 14．已知，则的取值可能是 ． 15．若，则 . 16．若，= 17． 18．= 19.(1)计算 (2)化简：. (3)已知，求的值. 20．求下列各式的值. (1)若，求；(2)已知，求的值；(3)若，求； (4)若，求. 21．已知，求的值． 22．计算下列各式的值： (1)；(2) 23.化简下列各式： (1)；(2)(，)； (3)(且)． 24．解下列方程：； 课 堂 小 结 一．与()n的区别 1.是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2.()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.　　　 二．根式与分数指数幂互化 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 2.根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 3.利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 课 后 作 业 1．已知，，且，，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 2．化简的结果为(    ) A． B． C． D． 3．已知，，则的值为 ． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$