第13讲 函数与方程、不等式之间的关系（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第13讲 函数与方程、不等式之间的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数零点的概念，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.了解零点存在定理、二分法，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 3.会应用二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系，解答相关问题. 知识点 1 函数的零点 1.函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2.三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点 拓广：1．若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 知识点 2 二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根（函数零点）的个数 2 1 0 ax2＋bx＋c>0（a>0） 的解集 （-ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ) （-ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ) R （注：a<0的情况，类似可以给出） 拓广：穿根法（根轴法）解不等式： （1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正； （2）求相应方程的根； （3）将上述根标在数轴上； （4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）； （5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立. 类似如图所示： 知识点 3 零点存在性定理及其近似值的求法 1．函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 2.二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 考点一：求函数的零点 例1.（23-24高一下·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ． 【变式1-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·河北廊坊·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1，-4 B．4，-1 C．1，3 D．不存在 【变式1-3】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点． (1)． (2)． (3)． 考点二：函数零点所在区间的判断 例2．（23-24高一上·江西景德镇·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·全国·单元测试）在区间上有零点的一个函数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023高一·全国·课后作业）已知函数，用“二分法”求函数零点时，首先计算，，，则可确定函数在区间 内必有零点． 考点三：函数零点个数的判断 例3.（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且时，. (1)求的解析式； (2)在给定坐标系中画出函数的图象，并讨论方程（为常数）根的个数（写出结果即可）. 【变式3-1】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-3】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数． (1)若，作出的函数图象并求的单调递减区间； (2)讨论关于的方程的解的个数． 考点四： 函数零点、方程的根与不等式的解 例4.（23-24高一上·山东济宁·开学考试）关于的不等式的解集是，求不等式的解集． 【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【变式4-2】（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式4-3】（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 考点五：已知函数零点或方程根的个数，求参数取值范围 例5.（2023高一·全国·课后作业）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 【变式5-1】（20-21高一上·广东佛山·期中）“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2023高一·全国·课后作业）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ． 【变式5-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 考点六：根据函数零点所在区间，求参数取值范围 例6.（22-23高一上·全国·单元测试）若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【变式6-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【变式6-3】（2023高一·全国·课后作业）已知函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，那么实数k的取值范围是 ． 考点七：“二分法”与零点的近似解 例7.（2023高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点.（精确到0.1） 【变式7-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（    ）次函数值的计算． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.13 15.55 -3.12 10.66 -52.32 -12.34 则函数至少有 个零点． 【变式7-3】（21-22高一上·全国·课后作业）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下: 据此数据，可得方程的一个近似解为 （误差不超过0.01）. 考点八：函数零点相关综合问题 例8.（23-24高一上·北京·期中）已知:函数 . (1)判断函数的奇偶性并加以证明 (2)利用单调性的定义证明：函数在上单调递减; (3)直接写出方程（）的根的个数． 【变式8-1】（21-22高一上·山东菏泽·期末）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围. 【变式8-2】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【变式8-3】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)若关于的方程恰好有三个不同的解，求实数的取值范围. 1．（18-19高一·山东菏泽·期中）若函数的零点在区间内，则b的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·开学考试）下列各图象表示的函数有零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   4.（多选）（2023春·浙江杭州·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5．（22-23高一下·浙江·期中）函数的零点是 6．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）已知一元二次方程的根是和2，则对应二次函数的零点是 ，对应一元二次不等式的解集是 . 7.（23-24高一上·山东淄博·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则 . ①定义域为，值域为 ②在定义域内是偶函数 ③有3个零点 8.（20-21高一上·全国·课前预习）如图所示，已知A，B都是函数图象上的点，而且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种的可能的图象. 判断是否一定存在零点，总结出一般规律. 9．（2023高一·全国·课后作业）已知函数，是否存在自然数n，使？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 10．（18-19高一上·湖北·期末）已知函数 （1）设,为的两根，且，，试求的取值范围 （2）当 时，的最大值为，试求. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数与方程、不等式之间的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数零点的概念，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.了解零点存在定理、二分法，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 3.会应用二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系，解答相关问题. 知识点 1 函数的零点 1.函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2.三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点 拓广：1．若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 知识点 2 二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根（函数零点）的个数 2 1 0 ax2＋bx＋c>0（a>0） 的解集 （-ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ) （-ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ) R （注：a<0的情况，类似可以给出） 拓广：穿根法（根轴法）解不等式： （1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正； （2）求相应方程的根； （3）将上述根标在数轴上； （4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）； （5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立. 类似如图所示： 知识点 3 零点存在性定理及其近似值的求法 1．函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 2.二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 考点一：求函数的零点 例1.（23-24高一下·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ． 【答案】 【分析】直接解方程求零点即可. 【详解】由已知可得，当时，； 当时，由，得， 故的零点是． 故答案为：. 【变式1-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求出的解，即可求得函数的零点. 【详解】令， 即函数的零点是， 故选：C 【变式1-2】（22-23高一上·河北廊坊·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1，-4 B．4，-1 C．1，3 D．不存在 【答案】B 【分析】令，根据函数的零点与方程的根的关系，解之即可求解. 【详解】令，也即， 解得：或，所以函数的零点为， 故选：. 【变式1-3】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)存在；两个零点和 (2)存在；两个零点和 (3)没有零点 【分析】根据方程的根即为函数的零点可得. 【详解】（1）由，得，． 所以二次函数有两个零点和． （2）由，得，． 所以二次函数有两个零点和． （3）由，得． 所以方程没有实数根，所以二次函数没有零点． 考点二：函数零点所在区间的判断 例2．（23-24高一上·江西景德镇·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点存在性定理即可求解. 【详解】由题可知，为增函数，再由， 所以，根据零点存在定理知，零点在范围内． 故选：B. 【变式2-1】（23-24高一上·全国·单元测试）在区间上有零点的一个函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合选项，利用零点的存在性定理进行验证，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得，则； 对于B中，由函数，可得，则； 对于C中，由函数，可得则； 对于D中，由函数，可得则， 所以只有C项，符合函数零点的存在性定理，所以在内存在零点. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可直接求的对应方程的根，即可. 【详解】由，解得，因为， 所以，则函数的零点所在区间为. 故选：C 【变式2-3】（2023高一·全国·课后作业）已知函数，用“二分法”求函数零点时，首先计算，，，则可确定函数在区间 内必有零点． 【答案】 【分析】利用零点存在定理求解. 【详解】解：由，， 得， 所以函数在区间内必有零点． 故答案为： 考点三：函数零点个数的判断 例3.（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且时，. (1)求的解析式； (2)在给定坐标系中画出函数的图象，并讨论方程（为常数）根的个数（写出结果即可）. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意利用函数的奇偶性求函数在上的解析式，结合奇函数的性质可得函数的解析式. （2）根据函数的解析式，画出函数的图象；数形结合即可写出方程（为常数）根的个数的情况. 【详解】（1）函数是定义域为的奇函数 ， 当时， 当时，有 ，则 （2）函数的图象如图所示： 方程（为常数）根的个数即为函数与的图象交点的个数. 由图象可得：当或时，方程（为常数）根的个数为1个； 当或时，方程（为常数）根的个数为2个； 当时，方程（为常数）根的个数为3个. 【变式3-1】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分类求出函数零点即可. 【详解】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据给定函数，分段解方程即可得解. 【详解】函数，由，得或， 解得或，解得， 所以方程有3个解. 故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数． (1)若，作出的函数图象并求的单调递减区间； (2)讨论关于的方程的解的个数． 【答案】(1)图象见解析；单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数解析式可作出函数图象，结合图象可得单调区间； （2）将问题转化为与交点个数的讨论问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】（1）当时，，由此可作出图象如下图所示，    结合图象可知：的单调递减区间为. （2）当时，，是方程的一个解； 由得：， 令，则方程解的个数即为与的交点个数， 作出图象如下图所示，      结合图象可知：当时，与有两个不同交点； 当时，与有四个不同交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，方程有三个解；当时，方程有五个解；当时，方程有唯一解. 考点四： 函数零点、方程的根与不等式的解 例4.（23-24高一上·山东济宁·开学考试）关于的不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】 【分析】结合一元二次方程与一元二次不等式的关系可得的关系及范围，然后结合一元二次不等式的求法即可求解. 【详解】不等式的解集是， 和2是方程的两个根，且， 由韦达定理可得，，解得， 不等式可化为， 又，不等式化为，解得， 即不等式的解集为． 【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和2，且， 则，解得， 故函数， 则与轴的交点坐标为和，所以零点为和. 故选：D. 【变式4-2】（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 【变式4-3】（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 【答案】ACD 【分析】由题意，方程的根为和，由韦达定理可知，，判断；结合二次函数的图象知当时，，判断；由不等式的解集为，判断；由韦达定理可知，，代入，求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 所以根据一元二次不等式解法可知， 且，，，，则，正确； 由二次函数的图象知当时，，故，错误； 方程的根为和，显然正确； 由,可知:，， 代入，得， 由可得，解得或， 故的解集为或，正确； 故选：. 考点五：已知函数零点或方程根的个数，求参数取值范围 例5.（2023高一·全国·课后作业）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】令，画出的图象，由图象知直线与的图象有两个交点即可. 【详解】令， 令，则， 画出的大致图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点，符合题意， 故a的取值范围为，    【变式5-1】（20-21高一上·广东佛山·期中）“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分性，必要性的定义判定即可. 【详解】若，则方程为， 即，则其只有一个解； 若方程只有一个解，则或，所以或， 所以“”是“方程只有一个解”的充分不必要条件. 故选：B 【变式5-2】（2023高一·全国·课后作业）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的性质，作出图象，数形结合即可求解作答. 【详解】当时，函数是增函数，函数值集合是， 当时，是减函数，函数值集合是， 关于的方程有两个不同的实根， 即函数的图象与直线有两个交点， 在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，    观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点， 即方程有两个不同的实根， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意问题转化为方程有4个不相等的实数根，作出函数与函数的图象，数形结合可得解. 【详解】原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示： 可得当时，两图象有4个不同的公共点，即方程有4个不相等的实数根， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点六：根据函数零点所在区间，求参数取值范围 例6.（22-23高一上·全国·单元测试）若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】先确定当时，不满足条件；再看时，利用二次函数的零点存在定理进行求解. 【详解】在上恰有一个零点，显然. 有两种情形： ①，得，得； ②且方程的根在内， 令，得，，得， 此时的根. 综上知，即实数的取值范围为. 【变式6-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】设， 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数与一元二次方程之间的关系，需限定，区间两端点处函数值大于0，且对称轴在区间内部，解不等式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点， 所以需满足，解得； 所以可得的取值范围是. 故选：B 【变式6-3】（2023高一·全国·课后作业）已知函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，那么实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】由题意可知函数有两个零点，所以， 若，则为开口向上的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 若，则为开口向下的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 综上可知：或， 故答案为： 考点七：“二分法”与零点的近似解 例7.（2023高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点.（精确到0.1） 【答案】1.2. 【分析】利用二分法求解. 【详解】解：易知函数在R上递增， 又，且， 所以在上存在唯一的零点， 又，且， 所以在上存在唯一的零点， 又， ， 由精确度为0.1得：需计算， 又， 所以的零点精确到0.1约是1.2. 【变式7-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（    ）次函数值的计算． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并比较区间的长度与精确度的大小，直到符合要求为止． 【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下： ， ， 取区间的中点， 且， 所以. ， 取区间的中点， 且， 所以. ， 取区间的中点， 且， 所以. 因为， 所以区间的中点， 即为零点的近似值，即函数的零点， 所以至少需进行3次函数值的计算. 故选：B. 【变式7-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.13 15.55 -3.12 10.66 -52.32 -12.34 则函数至少有 个零点． 【答案】3 【分析】根据函数的零点存在性定理即可判断. 【详解】由题设可得，，则在区间内至少有一个零点； 同理，则在区间内至少有一个零点； ，则在区间内至少有一个零点； 则函数至少有3个零点. 故答案为：3. 【变式7-3】（21-22高一上·全国·课后作业）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下: 据此数据，可得方程的一个近似解为 （误差不超过0.01）. 【答案】1.56 【分析】判断方程的近似解所在的区间端点的函数值的符号相反即可得出结论. 【详解】由图表知, , 函数 的一个零点在区间 上, 故函数的零点的近似值（精确到 0.01 ) 为 1.56 , 可得方程 的一个近似解 (精确到 0.01 ) 为 1.56 , 故答案为: 1.56 . 考点八：函数零点相关综合问题 例8.（23-24高一上·北京·期中）已知:函数 . (1)判断函数的奇偶性并加以证明 (2)利用单调性的定义证明：函数在上单调递减; (3)直接写出方程（）的根的个数． 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）定义法判断并证明函数的奇偶性； （2）定义法证明函数的单调性； （3）结合函数的单调性和奇偶性，判断方程根的个数 【详解】（1）函数为奇函数，证明如下： 函数，定义域为， ，所以函数为奇函数. （2）由题意：，任取 ，且 ， ， 由 ，则 ，， 所以 ，即 ， 故 在 上单调递减； （3）由（2）知 在 上单调递减，同理可证 在 上单调递增， 又函数为奇函数，图象如图所示，    其中，， 当或时，方程有两个根； 当时，方程有一个根； 当时，方程没有根. 【变式8-1】（21-22高一上·山东菏泽·期末）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可设，代入，根据系数对应相等可求a，b进而可求 （2）由题意得，，即对恒成立，令，根据在上的单调性可求，可求m的范围. 【详解】（1）由，可设, ∵， ∴, 由题意得，，解得； 故. （2）由题意得，, 即对恒成立， 令，又在上递减，故, 故. 【变式8-2】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围； （2）由题意易知，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据的零点和的零点的等价性，列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由题意，可得，则或. （2）由的两个零点一个在内，另一个在内，故， 法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得. 当的图象开口向下时，，所以，解得； 综上，的取值范围为. 法二：的零点和的零点相同，则， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 【变式8-3】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)若关于的方程恰好有三个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，结合函数为奇函数，即可求解函数的解析式； （2）根据二次函数的图象与性质，结合函数为奇函数，即可求解； （3）根据题意，转化为函数与的图象仅有三个公共点，结合（2）中函数的图象，即可求解. 【详解】（1）解：当时，则， 因为时，，且是上的奇函数， 可得， 又因为是上的奇函数，所以，满足. 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，函数，其图象如图所示： （3）解：由题意知，关于的方程恰好有三个不同的解， 即函数与的图象仅有三个公共点， 由（2）中，函数的图象，数形结合可以得到， 所以实数的取值范围为 1．（18-19高一·山东菏泽·期中）若函数的零点在区间内，则b的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的零点的判定定理可得f（0）f（2）＜0，解不等式求得实数b的取值范围． 【详解】函数在区间上存在一个零点，则，即，解得， 故选A． 2．（22-23高一上·北京·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分解因式求解方程的根. 【详解】函数的零点，即方程的实数根. 由解得，或. 故函数函数的零点个数是. 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·青海西宁·开学考试）下列各图象表示的函数有零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】由函数零点的定义对比选项即可得解. 【详解】对比各选项函数图象可知，其中与轴有交点的选项是ABC. 故选：ABC. 4.（多选）（2023春·浙江杭州·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确， 故选：ABD 5．（22-23高一下·浙江·期中）函数的零点是 【答案】/ 【分析】令，解方程即可求解. 【详解】令， 则，解得， 故答案为：. 6．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）已知一元二次方程的根是和2，则对应二次函数的零点是 ，对应一元二次不等式的解集是 . 【答案】 和 . 【分析】根据题意，结合零点的定义，求得函数的零点，再由一元二次函数与一元二次不等式的关系，即可求得不等式的解集. 【详解】由一元二次方程的根是和， 根据函数零点的定义，可得二次函数的零点是和， 结合一元二次函数与一元二次不等式的关系， 可得不等式的解集为. 故答案为：和；. 7.（23-24高一上·山东淄博·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则 . ①定义域为，值域为 ②在定义域内是偶函数 ③有3个零点 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合函数的性质，可构成函数，即可求解. 【详解】根据题意，取函数， 可得函数的定义域为，值域为，故①符合； 因为，所以函数为偶函数，故②符合； 令，解得或，所以的图象与轴有三个零点，所以③符合， 综上，所以函数符合题意. 故答案为：. 8.（20-21高一上·全国·课前预习）如图所示，已知A，B都是函数图象上的点，而且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种的可能的图象. 判断是否一定存在零点，总结出一般规律. 【答案】图象见解析（图象不唯一，符合题意即可），一定存在零点，规律见解析（结论不唯一，符合题意即可） 【分析】依题意直接画出三种满足题意的可能的函数图象，观察图象可猜测一定存在零点，并由此总结出规律即可. 【详解】第一种可能的图象如图所示：    第二种可能的图象如图所示：    第三种可能的函数图象如图所示：    观察图象可知，一定存在零点，且可以总结出一般规律如下： 若A，B都是函数图象上的点，而且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，且，则函数一定存在零点. 9．（2023高一·全国·课后作业）已知函数，是否存在自然数n，使？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析. 【分析】利用零点存在定理求解. 【详解】解：不存在． 因为单调递增，且， 所以不存在自然数n，使． 10．（18-19高一上·湖北·期末）已知函数 （1）设,为的两根，且，，试求的取值范围 （2）当 时，的最大值为，试求. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）根据题意结合二次函数的图象与性质得，解不等式即可得答案； （2）根据题意，分，两类情况求解即可. 【详解】（1）由题意可得,为的两根，且，， ∴ 根据二次函数的图象与性质得：，解得， ∴ . 即的取值范围为. （2）当时，的最大值为， 由，可知抛物线开口向上，对称轴为， ①若时，则当时取得最大值，即 ，解得， ②若时，则当时取得最大值，即，解得. 所以或 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$