第10讲 函数及其表示方法（思维导图+2知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第10讲 函数及其表示方法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数的概念及其表示方法，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.会求简单函数的定义域、值域，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能利用待定系数法求简单函数的解析式，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 函数的概念 1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，y称为因变量. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） 拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数. 知识点 2 函数的表示方法 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2.分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 考点一：函数关系的判断 例1.（23-24高一·全国·课堂例题）的自变量是x，那么的自变量是x还是2x？ 【变式1-1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·陕西安康·期末）下列各图中，是函数图象的是（    ） A． B．   C．   D．     考点二：求函数值 例2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-1】（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2-2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 【变式2-3】（23-24高一上·北京·期中）已知:函数，，则 . 考点三：求函数的定义域 例3.（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为 ． 【变式3-1】（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高二下·陕西西安·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 考点四： 求函数的值域 例4.（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【变式4-1】（2024·云南曲靖·二模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【变式4-3】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数. (1)已知，求实数m的值； (2)当时，求在区间上的值域. 考点五：求函数的解析式 例5.（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【变式5-1】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 【变式5-3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数满足，且，. (1)求函数的解析式； (2)若，比较与的大小. 考点六：根据f[g(x)]求函数解析式 例6.（多选）（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 考点七：分段函数及其应用 例7.（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【变式7-1】（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-2】（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数，若，则的所有可能值为（    ） A． B．， C．， D．，， 【变式7-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 考点八：常见求参数（范围）问题 例8.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【变式8-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-2】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（15-16高三上·江西宜春·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（23-24高二下·广西崇左·期末）下列图象中，表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 5.（多选）（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数的值域为，则的定义域可以是（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 . 7.（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数，则的值为 ； 8.（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 9．（2024高一·全国·专题练习）已知是二次函数且，，求. 10．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数及其表示方法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数的概念及其表示方法，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.会求简单函数的定义域、值域，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能利用待定系数法求简单函数的解析式，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 函数的概念 1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，y称为因变量. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） 拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数. 知识点 2 函数的表示方法 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2.分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 考点一：函数关系的判断 例1.（23-24高一·全国·课堂例题）的自变量是x，那么的自变量是x还是2x？ 【答案】答案见解析 【详解】的自变量是x，其定义域应该是x的取值的全体构成的集合．函数与有相同的对应关系f，但施加的对象不同，一个是x，一个是2x，它们都以x为自变量，但却是不同的函数．例如：函数的自变量是x而不是2x，因为随x的变化而变化．若将函数变形为，用换元法将“2x”代换成“t”得到，则此时自变量变为t，t的取值范围与2x的取值范围相同，但不可以认为2x为自变量．自变量要针对函数而言，t为的自变量，x为的自变量． 【变式1-1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 【变式1-2】（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义判断即可得. 【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象. 故选：D. 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·陕西安康·期末）下列各图中，是函数图象的是（    ） A． B．   C．   D．     【答案】BD 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个值都有唯一的一个值与之对应， 可看出BD满足. 故选：BD 考点二：求函数值 例2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据表格中的数据及图象可求函数值. 【详解】， 故选：A. 【变式2-1】（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 【答案】 【分析】代入及即可得. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高一上·北京·期中）已知:函数，，则 . 【答案】 【分析】由已知的函数解析式，代入法求复合函数的解析式. 【详解】函数，，则. 故答案为： 考点三：求函数的定义域 例3.（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3-1】（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式的被开方非负得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 【变式3-2】（2024高二下·陕西西安·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得. 【详解】由有意义，可得，解得且. 故选：D. 【变式3-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义列式计算即可. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 考点四： 求函数的值域 例4.（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【变式4-1】（2024·云南曲靖·二模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把的值代入解析式计算即可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故的值域为. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 【变式4-3】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数. (1)已知，求实数m的值； (2)当时，求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列等式求解m的值； （2）根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）当时，， 因为，所以的值域为，，， 即在区间上的值域. 考点五：求函数的解析式 例5.（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 【变式5-1】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 【变式5-3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数满足，且，. (1)求函数的解析式； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出二次函数代入，以及对称轴，求解即可； （2）依题意，分类讨论，得到结果. 【详解】（1）设二次函数. 由，得图象的对称轴为， 所以，解得. 由得，， 可得. 由得，，解得. 所以. （2） ， 当或时，，此时. 当时，，此时. 当或4时，，此时. 考点六：根据f[g(x)]求函数解析式 例6.（多选）（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，则，A错误； 当时，，当且仅当时取等号，B错误； 在中，，解得，因此的定义域为，C正确； 显然，，于是，因此 的值域为，D正确. 故选：CD 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 考点七：分段函数及其应用 例7.（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【答案】(1)，定义域为，值域为； (2)，. 【分析】（1）根据图象结合待定系数法计算解析式，定义域和值域即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； （2）由上可知，， 即，. 【变式7-1】（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 故由，得， 故选：A 【变式7-2】（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数，若，则的所有可能值为（    ） A． B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】分与两种情况，解方程，求出答案. 【详解】若，则，解得， 若，则，解得或1（舍去）， 故的所有可能值为，. 故选：C 【变式7-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】. 故答案为： 考点八：常见求参数（范围）问题 例8.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 【变式8-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可求出的表达式，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知，且， 用代换x，则， 即得， 故选：B 【变式8-2】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域求得的正确答案. 【详解】当时，； 当时，， 要使的值域为，则需， 解得，所以的取值范围是. 故选：A 【变式8-3】（15-16高三上·江西宜春·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据为一次函数列式计算即可. 【详解】由题意知为一次函数，则 所以. 故答案为：. 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 3．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果. 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 4.（多选）（23-24高二下·广西崇左·期末）下列图象中，表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数概念逐一判断即可. 【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意x，都有唯一确定的y和它对应， 由图象可看出，表示函数关系的有AD． BC项的对应关系中，均出现了一个x对应两个y值的情况，不符合函数的定义，不是函数． 故选：AD. 5.（多选）（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数的值域为，则的定义域可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据的图象求得正确答案. 【详解】画出的图象如下图所示，由解得， 的图象是函数的图象的一部分， 依题意，的值域为， 由图可知，的定义域可以是、. 故选：AB 6.（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 . 【答案】14 【分析】根据给定的函数关系，令求出即可求出函数值. 【详解】在中，令，解得， 所以. 故答案为：14 7.（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数，则的值为 ； 【答案】1 【分析】代入即可求解. 【详解】,, 故答案为：1 8.（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）要使函数有意义，解出，即可得到答案； （2）由，即可得到答案. 【详解】（1）要使函数有意义， 则有，解得且， 所以其定义域为. （2）， 所以函数的值域为. 9．（2024高一·全国·专题练习）已知是二次函数且，，求. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可得解. 【详解】依题意，设，所以， 而， 所以， 由待定系数法可知，解得， 所以. 10．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$