精品解析：2024年山东省济南市莱芜区九年级下学期4月中考模拟数学试题

2024年莱芜区数学中考综合成果展示二 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当是负有理数时，的绝对值是它的相反数，据此求出的绝对值是多少即可．此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 【详解】解：的绝对值是7． 故选：B． 2. 如图是由4个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单组合体三视图的意义，得出从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，所得到的图形有两列，其中左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方形， 因此选项A中的图形符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的意义，得到各种视图的形状是正确判断的前提． 3. 2022年12月30日，济莱高铁开通运营，济莱高铁由济南站至钢城站，线路全长约米，数字117500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 如图，直线，的直角顶点A在直线上，边与相交于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得，再根据平角的定义可得结论． 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴ 又且 ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行同旁内角互补”是解答本题的关键． 5. 某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置确定a、b的符号，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简即可． 【详解】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提． 7. 在一个不透明的袋子中有三个形状完全相同的小球，小球的标号分别为2，，5，若随机摸出一个小球，记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号，把两次记下的标号分别当做点P的横坐标、纵坐标，则点P在第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到点P在第四象限的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中点P在第四象限的结果数有2种， ∴点P在第四象限的概率为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，第四象限内点的坐标特点，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 8. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，，，对分子进行因式分解后，利用整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m，n是的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系等知识，关键在于利用因式分解正确变形，用整体代入方法解决． 9. 如图，，在的两边上分别截取，使；分别以A，C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接线段，若，点F为的中点，连接交于点G，连接．则下列4个结论中正确的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知四边形是菱形，可判断②；由可证明，可判断①；根据菱形的面积公式，可判断③；由相似三角形的性质求得，作于G，求得、、的长，即可判断④. 【详解】解：∵，，∴是等边三角形，∴，由作图知，∴，∴四边形是菱形，故②正确； ∵四边形是菱形，∴，∴，，∴，故①正确； ∵四边形是菱形，∴，故③错误； 作于G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，故④正确； 综上，①②④正确，共3个， 故选：C. 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 10. 在平面直角坐标系中，若点，是抛物线上的两点，且满足时，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将，两点代入抛物线解析式，表示出，根据已知得出，因为和，求出的取值范围即可． 【详解】，是抛物线上的两点， ，， ，满足时，都有， 将代入得， ， ， ， 解得：， ， 的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据二次函数性质列出不等式是解答本题的关键． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：  ． 12. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求即可得出，阴影部分面积为平行四边形的四分之一． 【详解】解：如图： 平行四边形的对角线把平行四边形分成了四个面积相等的三角形， 根据平行四边形的性质即可得， ， 阴影部分面积即为四个三角形里的一个， 飞镖落在阴影区域的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的计算、平行四边形的性质和三角形面积，根据平行四边形性质得到是解答本题的关键． 13. 一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍， ∴， 解得：， 所以这个多边形的边数为12． 故答案为：12． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及多边形的内角和与外角和等，理解题意，列出方程是解题关键． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意容易漏掉二次项系数不为零这一条件． 15. 已知边长为4的正方形，分别以各边为直径作半圆，则这个正方形与四个半圆所形成的阴影部分的面积是________．（结果保留π） 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知：阴影部分面积个半圆的面积正方形的面积，可得答案． 【详解】解：由题意可得： 阴影部分面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，得到“阴影部分面积个半圆的面积正方形的面积”是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④连接，则的最小值为；其中正确的结论是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质得，在中，求得的长，在中，求得，故②错误；利用等角的余角相等可判断①正确；作，证明，可判断故③正确；点H在以的中点K为圆心的圆上，当在同一直线上时，有最小值，可判断④正确. 【详解】解：由折叠的性质得，，， 在中，， ∴， 设， ∴， 在中，， 解得，即，故②错误； ∵， ∴， ∴，故①正确； 作， 则四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴点H在以的中点K为圆心的圆上，当在同一直线上时，有最小值， 作， ∵， ，即， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，明确点H的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值的知识化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的加减等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键． 19. 如图，在中，点M、N分别是对角线上的两点，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质，，再证明，从而证明，得到，由此即可证明． 【详解】略. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 根据国家教育部和体育总局颁发的《学生体质健康标准》精神，为提高学生的自我保健能力和体质健康水平，近日，某校开展了学生体能测试活动中的一项：女生一分钟跳绳比赛，并随机抽取了60名女生一分钟跳绳次数进行调查统计，根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图： 等级 次数 频数 不合格 a 合格 良好 优秀 b 请结合上述信息完成下列问题： （1） ________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是________； （4）若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数． 【答案】（1）3；18 （2） 解：如图，即为补全的频数分布直方图； ； （3） （4）估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是2850人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图中可得，再求得合格的人数，根据总人数减去其余各项的人数即可求解； （2）由（1）可得； （3）由（1）得出良好的人数除总人数，再乘即可． （4）先求出60个人合格及以上的人数占总人数的频率再乘3000即可解答. 【小问1详解】 解：根据频数分布直方图得， 合格的人数（人）， ∴（人）， 故答案为：3；18； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是； 故答案为：； 【小问4详解】 解：因为人， 所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是2850人． 【点睛】本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用扇形统计图获取信息的能力、用样本估计总体．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息． 21. 某景区在建筑物附近新建了一座高的建筑物，小明在此建筑物底端的点D处测得建筑物的顶端B的仰角是，当他到达建筑物的顶端A时，测得B点的俯角是． （1）求的度数； （2）请你帮小明计算建筑物的高（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】（1）； （2）建筑物的高约为73米． 【解析】 【分析】（1）作于点G，推出，利用平行线的性质即可求解； （2）设，求得，，利用，建立方程，解之即可求解． 【小问1详解】 解：作于点G， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：建筑物的高约为73米． 【点睛】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，解题的关键是清楚仰俯角定义和几何关系． 22. 如图，已知是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，是的切线，D为切点，交的延长线于点P，连接． （1）求证：； （2）若的半径为1，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵是的切线，D为切点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义可得出，从而得出，进而得出．由切线的性质得出，即可证明；（2）根据勾股定理结合（1）和题意可求出．再证明出，即得出，代入数据，即可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的半径为1， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理的推论，三角形相似的判定和性质等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． 23. 生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单价是乙种树苗的倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵． （1）求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？ （2）为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1314元，问最少购进多少棵乙种树苗？ 【答案】（1）甲种树苗单价的为15元，则乙种树苗单价的为10元； （2）乙种树苗至少购买38棵． 【解析】 【分析】（1）设乙种树苗单价的为x元，则甲种树苗单价的为元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x的值即得出答案； （2）设购买乙种树苗m棵，则购买甲种树苗棵，利用总价=单价×数量，结合购买两种树苗的总费用不超过1314元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙种树苗单价的为x元，则甲种树苗单价的为元， 根据题意有， 解得：， 经检验是原方程的解． ， ∴甲种树苗单价的为15元，则乙种树苗单价的为10元； 【小问2详解】 解：设购买乙种树苗m棵，则购买甲种树苗棵， 依题意得：， 解得：． 答：乙种树苗至少购买38棵． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴上，且的面积为4，求点M的坐标； （3）将线段在平面内平移，当一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C的坐标，再根据求出，由此即可得到答案； （3）设，则，，，再分当为边时，则，当为对角线时，则，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ∴， 联立，解得或， ∴， ∵点M在y轴上，且的面积为4， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴，，， 当为边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25. 如图，在同一平面内的和，连接，点分别是线段的中点，绕点自由旋转时，三点会在同一条直线上． （1）如图1，当和都是等边三角形时，判断线段的数量关系，并给出证明； （2）如图2，当和都是等腰直角三角形时，请直接写出线段的数量关系________； （3）如图3，当，，时，求点到直线的距离． 【答案】（1）， 证明如下：和都是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， 点分别是线段的中点， ， ， 连接，    ， 在和中， ， ， ，  ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2） （3）点到直线的距离为 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质证明和，从而得到是等边三角形形，即可得到三边的数量关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质证明和，从而得到是等腰直角三角形形，即可得到三边的数量关系； （3）连接，通过证明、及，得到，过点作于点，则，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 证明如下和都是等腰直角三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， 点分别是线段的中点， ， ， 连接， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接， ， ， ， ，即， ， ，， 点分别是线段的中点， ， ， ，， ， ，即， ， 过点作于点， ， ， 点到直线的距离为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 26. 抛物线的顶点坐标为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图1，点M是直线上的一个动点，连接，求的最小值，并求出此时M点的坐标； （3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接与相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）这条抛物线的函数表达式为； （2）的最小值为5，M点的坐标为； （3）点． 【解析】 【分析】（1）设这条抛物线的函数表达式为，代入，即可求解； （2）作点O关于直线的对称点，连接交于点M，此时有最小值，求得直线和的解析式即可求解； （3）证明，设点，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设这条抛物线的函数表达式为， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：作点O关于直线的对称点，连接交于点M，此时有最小值， 令，则， 解得，， 令，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理得直线的解析式为， 解方程，得， ， ∴M点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由： ∵，，， ∴， ∴， 过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G， ∵， ∴， 即，则， 则； 过点Q作轴于点M，则， 则， ∴， 过点P作轴交过点D与x轴的平行线于点N， ∴， ∴， 在中，， 设点， 则， 解得：（舍去）或4， 经检验，是方程的根， 则点． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、两点间的距离公式以及解直角三角形，运用转化思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年莱芜区数学中考综合成果展示二 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由4个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年12月30日，济莱高铁开通运营，济莱高铁由济南站至钢城站，线路全长约米，数字117500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，的直角顶点A在直线上，边与相交于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的袋子中有三个形状完全相同的小球，小球的标号分别为2，，5，若随机摸出一个小球，记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号，把两次记下的标号分别当做点P的横坐标、纵坐标，则点P在第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，，在的两边上分别截取，使；分别以A，C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接线段，若，点F为的中点，连接交于点G，连接．则下列4个结论中正确的个数是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在平面直角坐标系中，若点，是抛物线上的两点，且满足时，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：______． 12. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是________． 13. 一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 15. 已知边长为4的正方形，分别以各边为直径作半圆，则这个正方形与四个半圆所形成的阴影部分的面积是________．（结果保留π） 16. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④连接，则的最小值为；其中正确的结论是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点M、N分别是对角线上的两点，且，连接．求证：． 20. 根据国家教育部和体育总局颁发的《学生体质健康标准》精神，为提高学生的自我保健能力和体质健康水平，近日，某校开展了学生体能测试活动中的一项：女生一分钟跳绳比赛，并随机抽取了60名女生一分钟跳绳次数进行调查统计，根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图： 等级 次数 频数 不合格 a 合格 良好 优秀 b 请结合上述信息完成下列问题： （1） ________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是________； （4）若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数． 21. 某景区在建筑物附近新建了一座高的建筑物，小明在此建筑物底端的点D处测得建筑物的顶端B的仰角是，当他到达建筑物的顶端A时，测得B点的俯角是． （1）求的度数； （2）请你帮小明计算建筑物的高（结果精确到）．（参考数据：） 22. 如图，已知是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，是的切线，D为切点，交的延长线于点P，连接． （1）求证：； （2）若的半径为1，，求的长． 23. 生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单价是乙种树苗的倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵． （1）求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？ （2）为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1314元，问最少购进多少棵乙种树苗？ 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴上，且的面积为4，求点M的坐标； （3）将线段在平面内平移，当一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在同一平面内的和，连接，点分别是线段的中点，绕点自由旋转时，三点会在同一条直线上． （1）如图1，当和都是等边三角形时，判断线段的数量关系，并给出证明； （2）如图2，当和都是等腰直角三角形时，请直接写出线段的数量关系________； （3）如图3，当，，时，求点到直线的距离． 26. 抛物线的顶点坐标为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图1，点M是直线上的一个动点，连接，求的最小值，并求出此时M点的坐标； （3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接与相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $