精品解析：重庆市永川区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

永川区2023-2024学年下期期末教学质量监测 七年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 3. 下列调查中，适合用全面调查方式是( ) A. 了解某班学生“50米跑”的成绩 B. 了解一批灯泡使用寿命 C. 了解一批炮弹的杀伤半径 D. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂 4. 在，，，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），这5个实数中，无理数的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 下列命题中假命题的个数有（　　） ①内错角相等； ②同旁内角互补；③相等的角是对顶角；④邻补角的角平分线互相垂直． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 如果a＜b，那么下列不等式成立的是（ ） A. －3a＞－3b B. a－3＞b－3 C. D. a－b ＞0 7. 用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ） A. ，消去x B. ，消去x C. ，消去y D. ，消去y 8. 如果方程组的解也是方程的一个解，那么的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段两端点的坐标分别为，，若将线段向右平移1个单位后，点A，B的对应点的坐标是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有（ ） ①； ②的最小值是0； ③的最大值是0； ④存在实数x，使成立 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”，这个命题是______命题（填“真”或“假”）． 12. 若关于，的二元一次方程的一个解为，则实数____________． 13. 不等式的解集是_______． 14. 若，则的值为__________． 15. 某校数学老师组织了七年级学生“数学知识”竞赛，赛后老师随机抽取了100份试卷的竞赛成绩（满分为100分，成绩都为整数），绘制成如图所示的统计图．由图可知，抽取学生成绩低于60分的有 ___________人． 16. 如图，与交于点O，平分，平分，若，则______． 17. 已知点在第一象限，则满足已知条件的所有正整数的和是_____． 18. 已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积为，请写出所有满足条件的点的坐标___________． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算：． 20. (1)解方程组 (2)解不等式组 21. 如图，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 22. 某中学组织学生参加书法比赛，对参赛作品按A、B、C、D四个等级进行评定．现随机抽取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并制作扇形统计图和条形统计图如下（如图①、图②），根据图中信息完成下列问题： （1）求这次抽样的样本的样本容量； （2）请在图②中把条形统计图补充完整，并说明理由； （3）已知该校这次活动共收到参赛作品1500份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）的共有多少份？ 23. 已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． （1）求常数，的值； （2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 24. 重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ （2）已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 25. 如图1，在长方形中，，点O为平面直角坐标系原点，点B在第一象限内． （1）如图1，直接写出点B的坐标； （2）如图2，过点的直线交于点D，若直线把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标； （3）如图3，若将（2）中的线段向左平移，点、分别在线段上移动，当四边形的面积是长方形面积的一半时，求点、的坐标． 26. 直线与直线相交于点O，点A射线上运动，点B在射线上运动． （1）如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） （2）如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） （3）如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永川区2023-2024学年下期期末教学质量监测 七年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，平面直角坐标系内，第一象限的坐标符号为，第二象限的坐标符号为，第三象限的坐标符号为，第四象限的坐标符号为，由此即可得出答案，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：平面直角坐标系中，点在第二象限， 故选：B． 2. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握正数的平方根有两个，互为相反数． 3. 下列调查中，适合用全面调查方式的是( ) A. 了解某班学生“50米跑”的成绩 B. 了解一批灯泡的使用寿命 C. 了解一批炮弹的杀伤半径 D. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂 【答案】A 【解析】 【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查． 【详解】A、了解某班学生“50米跑”的成绩，是精确度要求高的调查，适于全面调查； B、C、D了解一批灯泡的使用寿命，了解一批炮弹的杀伤半径，了解一批袋装食品是否含有防腐剂，都是具有破坏性的调查，无法进行普查，故不适于全面调查． 故选A． 【点睛】考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 在，，，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），这5个实数中，无理数的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，注意0.1010010001…（每个1后面依次多一个0）是一个无限不循环小数，所以是无理数．根据无理数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），这5个实数中，，，是有理数， ，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），是无理数， ∴无理数共有3个， 故选：B． 5. 下列命题中假命题的个数有（　　） ①内错角相等； ②同旁内角互补；③相等的角是对顶角；④邻补角的角平分线互相垂直． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握平行线的性质、对顶角的性质和邻补角的性质． 根据平行线的性质、对顶角的性质和邻补角的性质逐项分析可得答案． 【详解】解：①没有两直线平行，内错角不一定相等，故①是假命题； ②没有两直线平行，同旁内角不一定互补，故②是假命题； ③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故③是假命题； ④邻补角的平分线互相垂直，故④是真命题． ∴①②③都是假命题，共3个． 故选：B． 6. 如果a＜b，那么下列不等式成立的是（ ） A. －3a＞－3b B. a－3＞b－3 C. D. a－b ＞0 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据不等式的基本性质1可得，选项B、D错误； 根据不等式的基本性质1，2可得，选项C错误； 根据不等式的基本性质3可得，选项A正确． 故选A． 【点睛】本题考查不等式的基本性质． 7. 用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ） A. ，消去x B. ，消去x C. ，消去y D. ，消去y 【答案】D 【解析】 【分析】利用加减消元法逐一分析即可． 【详解】解：∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6， ∴方程，方程时，x的系数相同， ∴，能够消去x，故A选项不符合题意； ∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6， ∴方程，方程时，x的系数互为相反数， ∴，能够消去x，故B选项不符合题意； ∵方程①中y的系数为，方程②中y的系数为，而2与3的最小公倍数为6， ∴方程，方程时，y的系数互为相反数， ∴，能够消去y，故C选项不符合题意； ∵方程①中y的系数为，方程②中y的系数为，而2与3的最小公倍数为6， ∴方程，方程时，y的系数互为相反数， ∴，不能消去y，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 8. 如果方程组的解也是方程的一个解，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，解二元一次方程组常用加减消元法和代入法，本题运用的是加减消元法． 运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的x、y的值代入中，即可得出m的值 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②学，得， 解得：， ∴， 把代入，得 ， 解得：， 故选：A． 9. 如图，线段两端点的坐标分别为，，若将线段向右平移1个单位后，点A，B的对应点的坐标是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，解答的关键是熟记平移的点的坐标变化规律：上加下减，左减右加．根据平移的点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵将线段向右平移1个单位，，， ∴点A的对应点的坐标是，即， 点B的对应点的坐标是，即， 故选：D． 10. 设表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有（ ） ①； ②的最小值是0； ③的最大值是0； ④存在实数x，使成立 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【详解】解：①，故①错误； ②，但是取不到0，故②错误； ③，即最大值为1，故③错误； ④存在实数，使成立，例如时，故④正确 故选：A 【点睛】此题考查了实数的运算，仔细审题，理解[x）表示大于x的最小整数是解答本题的关键，难度一般． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”，这个命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】根据邻补角的定义，举出反例即可判断真假命题． 【详解】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角； 如图1所示： 由图1可知：互为补角，但不满足邻补角的定义， ∴如果两个角互补，那么它们不一定是邻补角 即原命题为假命题 故答案为：假 【点睛】本题主要考查了邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义，并能够举出反例是解题的关键，属于基础知识题． 12. 若关于，的二元一次方程的一个解为，则实数____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握满足二元一次方程的未知数的值叫二元一次方程的解是解题的关键． 把代入方程，得到关于a方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ． 故答案为：2． 13. 不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 故答案为：． 14. 若，则的值为__________． 【答案】125或-125 【解析】 【分析】首先根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】， ， ． 当时，； 当时，， 故答案为：125或-125． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握绝对值和二次根式的非负性是解题的关键． 15. 某校数学老师组织了七年级学生“数学知识”竞赛，赛后老师随机抽取了100份试卷的竞赛成绩（满分为100分，成绩都为整数），绘制成如图所示的统计图．由图可知，抽取学生成绩低于60分的有 ___________人． 【答案】5 【解析】 【分析】根据各组频数之和等于样本容量可得答案． 【详解】解：（人）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查频数分布直方图，理解各组频数之和等于样本容量是正确解答的关键． 16. 如图，与交于点O，平分，平分，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，对顶角，角度之间的计算等知识．熟练掌握角平分线，对顶角，角度之间的计算是解题的关键． 由平分，平分，则设，，则，，，可求，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∴，， 解得，，， ∴， 故答案为：． 17. 已知点在第一象限，则满足已知条件的的所有正整数的和是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查各象限内点的坐标特征，求不等式组的整数解．解题关键是根据第一象限内点的坐标特征建立不等式组． 根据第一象限内点的坐标特征得不等式组，再根据a为正整数，利用不等式性质得到，解之，求出不等式的整解，即可求解． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 又∵a为正整数， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， ∴满足已知条件的的所有正整数的和， 故答案为：9． 18. 已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积为，请写出所有满足条件的点的坐标___________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点在轴上和点在轴正半轴上和点在轴负半轴上上三种情况，利用三角形的面积公式求出或的长度，即可求解． 【详解】解：若点在轴上，则， 解得， 所以，点的坐标为或，即或， 若点在轴正半轴上，则， 解得， 所以，点的坐标为， 若点在轴负半轴上，则， 解得， 所以，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题． 先计算乘方与开方，并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. (1)解方程组 (2)解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）①-②×5得出-27y=-27，求出y，把y=1代入②求出x即可； （2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ①-②×5得：-27y=-27， 解得：y=1， 把y=1代入②得：x+5=6， 解得：x=1， 所以原方程组的解为； （2） ∵解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≥， ∴不等式组的解集为：≤x＜3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键． 21. 如图，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）由于，可判断，则，由得出判断出； （2）由，得到，由得出，得出的度数． 【小问1详解】 解： ，理由如下： ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， ． 22. 某中学组织学生参加书法比赛，对参赛作品按A、B、C、D四个等级进行评定．现随机抽取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并制作扇形统计图和条形统计图如下（如图①、图②），根据图中信息完成下列问题： （1）求这次抽样的样本的样本容量； （2）请在图②中把条形统计图补充完整，并说明理由； （3）已知该校这次活动共收到参赛作品1500份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）的共有多少份？ 【答案】（1）140 （2）见解析 （3）825份 【解析】 【分析】（1）根据级人数为28人，以及在扇形图中所占比例为，即可得这次抽样的样本的样本容量； （2）根据级在扇形图中所占圆心角为，则级占的比为，得出级人数为：人，即可得出级人数，补全条形图即可； （3）根据级和级作品在样本中所占比例为：，即可得出该校这次活动共收到参赛作品1500份，参赛作品达到级以上的份数． 【小问1详解】 解：级人数为28人，在扇形图中所占比例为， 这次抽样的样本的样本容量为：； 答：这次抽样的样本的样本容量为140． 【小问2详解】 解：∵级占的比为 ∴级人数为：（人）， 级人数为：（人）， 补画条形统计图为： 【小问3详解】 解：∵级和级作品在样本中所占比例为：， ∴估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）的共有：（份）， 答：估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）的共有825份． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本容量，用样本估计总体等知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． （1）求常数，的值； （2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了新定义，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义得到关于、的方程组，解方程组求出与的值即可； （2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，建立关于c的不等式组，求解，即可得出的范围． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：． 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：． 要使恰有3个整数解，必有， 解得：． 24. 重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ （2）已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 【答案】（1）七一班男队胜了3场 （2）七一班男队最少负了2场． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设七一班男队胜了场，平了场，根据七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）因为该校七年级共有16个班，所以七一班男队共比赛15场，设七一班男队负了场，则平了场，是整数，根据七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，即可得出关于z，k的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得出结论． 【小问1详解】 解：设七一班男队胜了场，平了场． 依题意得：， 解得：． 答：七一班男队胜了3场． 【小问2详解】 解：∵该校七年级共有16个班， ∴七一班男队共比赛15场， 设七一班男队负了场，则平了场，是整数． 依题意得：，解得：． 因为为整数，所以只能是奇数．即为30的正奇数约数， 所以只可能为1、3、5、15． 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 当时，； 当时，． 经比较可知，七一班男队最少负了2场． 25. 如图1，在长方形中，，点O为平面直角坐标系的原点，点B在第一象限内． （1）如图1，直接写出点B的坐标； （2）如图2，过点的直线交于点D，若直线把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标； （3）如图3，若将（2）中的线段向左平移，点、分别在线段上移动，当四边形的面积是长方形面积的一半时，求点、的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了点坐标，平移的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握点坐标，平移的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）由长方形，，可得B； （2）设，则，，，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由平移的性质可知，，由，四边形的面积是长方形面积的一半，可得，可求，进而可得点、的坐标． 【小问1详解】 解：∵长方形，， ∴B； 【小问2详解】 解：设，则，， ∴，， 依题意得，或， 解得，或(舍)， ∴； 【小问3详解】 解：由平移的性质可知，， ∵，四边形的面积是长方形面积的一半， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴． 26. 直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动． （1）如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） （2）如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） （3）如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）不变，理由见解析， （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义和三角形内角和定理即可得出结果； （2）由角平分线的定义、三角形内角和定理和角的关系即可得出结果； （3）由角平分线的定义和角的关系即可得出结果． 【小问1详解】 解：当直线与直线垂直时，， ． 、分别是和的角平分线， ，． ． ． 【小问2详解】 解：由已知得：． ，， ． ． 小问3详解】 解：在中，， ． ． （2）知 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$