微专题3 三角形的证明-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·八年级下册(北师大版 微专题3 3 三角形的证明 类型1 直角三角形全等 类型2 直角三角形中的计算 1.如图,在△ABC中,CE1AB于点E. 2.如图,等腰三角形ABC的底边BC一20cm,点D (1)用直尺和圆规作BD AC于点 是AC上的一点,且BD-16cm D;(不写作法,保留作图痕迹) CD-12cm. (2)在(1)所画的图中,若BE= (1)求证:BDAC: CD,求证:AB一AC (2)求入ABC的面积 类型3 等边三角形的性质应用 3.如图,在等边三角形ABC中,BD=CE,AD,BE相交于点F (1)求证:AFE-60*; (2)过点A作AG 1BE,垂足为G.若DF-1,GF=4,求BE的长 20 第一章 三角形的证明 类型4 类型5 线段的垂直平分线性质应用 等边三角形的判定 4.如图,在△ABC中,AD是BC 5.如图,点D在等边△ABC的外部 边上的高,AD的垂直平分线分 点E为BC边上的一点,AD=CD 别交AB,AC于点E,F DE交AC于点F,AB//DE. (1)若 DAC-20*,求 FDC的度数; (1)判断△CEF的形状,并说明理由 (2)试判断 B与 AED的数量关系,并说明 (2)若BC=10,CF-4,求DE的长. 理由。 类型6 等腰三角形判定与性质 6.如图所示, A= D=90*},AB=DC,点E,F在BC上,且 BE=$CF (1)求证:E-F; (2)若PO平分 EPF,则PO与线段BC有什么关系?请说明理由参考答案 (2)①当PE⊥OA时.如图1，由(1)得PE=PF: CE是△ABC的中线，∴，AE=BE ②当PE与OA不垂直时，如答图，作PMLOA于 在△BEF和△AEC中. 点M.PN⊥OB于点N, BE=AE. :∠POM=∠PON=45, ∠BEF=∠AEC,∴.△BEF≌△AEC(SAS. ∴PM=PN, EF=EC. :∠OMP=∠ONP=∠MON=90°，且∠OMP+ ∴∠EBF=∠A.BF=AC 答图 ∠ONP+∠M)N+∠MPN=360, 又，AB=AC,.∠ABC=∠ACB. .∠MPN=90, ∴∠(BD=∠A十∠ACB=∠EBF+∠AEBC=∠CBF :∠EPF=90,.∠MPE=∠NPF=90°-∠EPN, ,:CB是△ADC的中线，，AB=BD :∠PME-∠PNF=90,△PME≌△PNF(ASA),∴.PE 又：AB=AC,AC=BF,.BF=BD. PF,综上所述，PE=PF. CB=CB, 微专题2特殊三角形常见辅助线的作法 在△CBF和△CBD中， ∠CBF-∠CBD, BF=BD. 1.证明：如答图，连接AD. △CBF≌△CBD(SAS),.CF=CD,.CD=2CE. ABAC.BDCD, 6.证明：如答图，过点D分别作直线BC,AC G.A .AD⊥BC 的垂线，分别交于点F,G,则DF=DG, ,EF∥BC,AD⊥EF :AE=AF,AD垂直平分EF,.DE=DF. 答图 :AB=AC,∠A=100:∠B=∠ACB=B∠ 40°. EF 2.证明：如答图，过点E作EG∥AC.且EG交BC于点G,则∠F 答图 ,BE=DE,,∠B=∠BDE=40', ∠DEG,∠ACB=∠EGB. :CD平分∠ACB,∠ACD=∠BCD=20°， AB=AC,∴∠ACB=∠B. ∴∠CDE=∠CDB-∠BDE=18O°-∠B-∠BCD-∠BDE= ∠B=∠EGB.∴BE=EG. 80, BE=CF...EG=CF. ∠CED=180-80-20°=80，.CD=CE. ∠EDG=∠FDC :DF⊥BC.DG⊥CG,∴∠DAG=180°-∠DAC=80. 在△EGD和△FCD中， ∠DEG=∠F, 答图 ,在△DEF和△DAG中， EG-FC. ∠DAG=∠DEF=80. .△EGD2△FCD(AAS)..DE=DF ∠IDGA=∠DFE=90, 3.证明：如答图，过点D作DF∥BC,DF交AB DG-DF. 于点F .△DEF≌△DAG(AAS),.DE=DA=BE. :△ABC是等边三角形，DF∥BC, ∴，BC=CE+BE=CD+AD. ..AB=AC=BC. 7.证明：如答图，过点D作DF∥AB, ∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A :△ABC是等边三角形， =60°. ∴.AC=BC,∠A=∠ABC=∠ACB=60. .△ADF是等边三角形，.AD=DF=AF, :DF∥AB,∴∠DFC=∠AX=0,∠FC=∠A=60. CD=BE. △CDF是等边三角形，.CD■DF,∠DCF■∠DFC■60°，. AD-CE,..FDCE. ∠BCD=∠EFD, 又∠DFB=∠DE=120°. .CE-AD.CD-CF.CE-CF=AD-CD.EF=AC.EF= △BFD≌△DCE(SAS),.DB=DE. BC. (BC-EF, 4,解：如答图，将△BCP绕点B逆时针旋转 A(C 在△BCD和△EFD中， ∠BCD=∠EFD: 60.点C和A重合，点P对应点P',连接P以： CD-DF. PP', ∴△BCD2△EFD(SAS),∴.DB=DE. :∠PBP=60 答图 8.解：如答图，延长AB至点E使BE=AD,连接CE BP=BP'. ∴，AE=AD+DB+BE=2AD+BD=AC △PBP是等边三角形， :∠A=60..△AEC是等边三角形，·∠E ∠BPP'=60, ∠ACE=60 :PP=8,AP=PC=10,PA=6, :∠ABC=4∠ACD.设∠ACD=r·则 ∴PP+P=APa. ∠ABC=4B在△ADC与△EBC中，AD= 答困 ∠APp=90, BE,∠A=∠E,AC=EC..△ADC2△EBC(SAS),.∠ACD .∠APB=60°+90=150 =∠ECB=.'∠ABC=∠E+∠BCE.∴4r=60+r..r= 5,证明：如答图，延长CE到点F,使EF=CE, E:B 20°，.∠DCB=60°-20°-20°=20 连接FB.则CF=2CE. 答国