微专题2 特殊三角形常见辅助线的作法-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·八年级下册(北师大版 微专题2 特殊三角形常见辅助线的作法 类型1 利用“三线合-” 类型2 作腰的平行线 1.如图,在 ABC中,AB=AC,点D 2.如图,在ABC中,AB=AC,EF 是BC的中点,过点A作EF/BC 交AB于点E,交AC的延长线于 且 AE=AF.求证:DE-DF. 点F,交BC于点D,且BE=CF.求 证:DE-DF. 底边平行线 类型3 类型4 绕顶点旋转 3.如图,在等边三角形ABC中,点 4.点P是等边三角形ABC内一点; D在AC上,延长BC至点E,使 且 PA=6,PB=8,P$C= 0$$$ CE=AD,DG BC于点G.求 求 APB. 证:BD-DE. 第一章 三角形的证明 类型5 倍长中线法 类型6 截长补短法 5.如图,CE,CB分别是△ABC. 6. 如图,△ABC中,AB=AC. △ADC的中线,且AB一AC.求 A=100”,CD平分 ACB 证:CD-2CE. 交AB于点D,点E为BC上 一点,BE=DE.求证:BC=CD+AD 类型7 以底或腰为边作等边三角形构造全等 类型8 根据60度的角构造等边三角形 7.如图,△ABC是等边三角形,D 8.如图,已知△ABC中,A=60^*$ 为AC延长线上一点,E是BC 点D为AB上一点,且AC=2AD+ 延长线上一点,CE一AD.求证; BD.B=4/ACD,求 DCB的 DB-DE 度数.参考答案 (2)①当PE1OA时,如图1.由(1)得PE-PF; .CE是△ABC的中线...AE-BE ②当PE与OA不垂直时,如答图,作PMIOA于 在△BEF和△AEC中, 点M.PN1OB于点N. BE-AE, .POM- PON-45. BEF=AEC..△BEF△AEC(SAS). .PM-PN. LEF-FC. OMP=ONP=MON-90且OMP+ 答图 '. EBF- A.BF=AC ONP+ MON+MPN-360* 又.AB-AC..ABC ACB .. MPN-90. . /CBD=AACB=EBF+ABC-CBF . EPF-90.MPE- NPF-90- EPN. “.CB是△ADC的中线...AB-BD ·PME-PNF-90..'△PME△PNF(ASA)...PE 又·AB-AC,AC-BF,..BF-BD PF,综上所述,PE一PF [CB-CB. 微专题2 特殊三角形常见辅助线的作法 在△CBF和△CBD中.乙CBF一乙CBD. #.# BF-BD. 1.证明:如答图,连接AD '.△CBF△CBD(SAS)...CF-CD...CD-2CE. “:AB-AC.BD-CD. 6.证明:如答图,过点D分别作直线BC,AC .'.AD1BC 的垂线,分别交于点F,G,则DF-DG. ·EF/BC...ADIEF. 答图 "AB-AC. A-100.B- ACB .AF-AF...AD垂直平分EF.*.DE-DF 40. 2.证明;如答图,过点E作EG//AC.且EG交BC于点G,则乙F 答图 ■'BFDE.. B/BDE40'. DEG. ACB- EGB. :AB-AC...ACB- B .CD平分 ACB../ACD BCD20 *.CDE= CDB- BDE=180- B- BCD- BDE . B- EGB...BE-EG. ##71# 80. .BE-CF.'.FG=CF. .CED-180-80-20=80$CD-CE。 [乙EDG- FDC. .DF 1BC.DG 1CG... DAG-180*- DAC=80$ 在△EGD和△FCD中,DEG-F. 答图 .在△DEF和△DAG中. 1EG-FC. DAG- DEF-80. '.△EGD△FCD(AAS).'.DE=DF DGA- DFE-90. 3.证明:如答图,过点D作DF/BC,DF交AB pG-DF. 于点F. '.△DEF△DAG(AAS)...DE-DA-BE ?△ABC是等边三角形,DF/BC. ..BC-CE+BE-CD+AD .AB-AC-BC. 答图 7.证明:如答图,过点D作DF/AB, ABC= ACB= AFD= ADF= A$$$ -60. .△ABC是等边三角形, '.AC=BC.A- ABC- 乙ACB-6 . '.ADF是等边三角形...AD-DF=AF .DF//AB$DFC- ABC-60 FDC= A=6 . .CD-BF. *.△CDF是等边三角形...CD-DF.DCF-DFC-60.. .AD-CE...FD-CE. BCD- EFD. 又 DFB- DCE-120. ·CE-AD.CD-CF..$CE-CF-AD-CD.即 EF-AC...FF= '.△BFD△DCE(SAS)...DB-DE. BC. #。 BC-EF: 4.解:如答图,将△BCP绕点B逆时针旋转 在△BCD和△EFD中,乙BCD=EFD. 60.点C和A重合,点P对应点P,连接 CD-DF. PP. '.△BCD△EFD(SAS)..'DB-DE “.PBP'-60”. 答图 8.解:如答图,延长AB至点E使BE一AD.连接CE BP-BP. '$AE-AD+DB+BE-2AD+BD-AC '.△PBP是等边三角形, .A-60..△AEC是等边三角形..F- .BPP-60. 乙ACE-60”. ·PP-8.AP-PC-10.PA-6. .ABC-4乙ACD..设乙ACD=r.则p 'Pp+PA-AP. 乙ABC-4r.在△ADC与△EBC中,AD= 答图 .APP-90. BE.A= E,AC=EC...△ADC△EBC(SAS)...ACD ./APB-60+90-150”。 =ECB=x..ABC=E+ BCE.4r-60+x'= 5. 证明:如答图,延长CE到点F,使EF三CE. 20..DCB-60*-20-20-20 连接FB.则CF-2CE 答图 5