第8课时 线段的垂直平分线(2)-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·八年级下册（北师大版） 第8课时 线段的垂直平分线(2) 知识储备 如图，已知△ABC三边的垂直平分线交于点P,连接PA,PB,PC,则 新课标“理解三角形三边的垂直平分线 核讲 解 核心考点了三角形三边的垂直平分线及其性质 例D在正方形网格中，△ABC的位置如图，且顶点 例2兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗 在格点上，在△ABC内部有E,F,G,H四个格点，则 想捕捉免子，最佳的位置是到三个洞口的距离都 到△ABC三个顶，点距离相等的点是 相等，则猎狗应蹲守在 A.点E A.三个角的角平分线的交点 B.点F B.三条边的垂直平分线的交点 C.点G C.三角形三条高的交点 D.点H D.三角形三条中线的交点 例3如图，在△ABC中，点O是 例目如图，△ABC中，D为BC上 △ABC内一点，OD垂直平分 一点，△ACD的周长为12cm, AB,若∠OBC=∠OCB,OC=4, DE是线段AB的垂直平分线， 则点A,O之间的距离为( AE=5cm,则△ABC的周长是 A.4 B.8 C.2 D.6 ( A.17 cm B.22 cm C.29 cm D.32 cm 核心考点2与垂直平分线有关的作图 例固（易错题）如图所示，已知△ABC(AC<AB< 例6对于问题：如图1，已知∠AOB,如何只用直 BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得PA十 尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的 PC=BC,则符合要求的作图痕迹是 方法如图2：在OA,OB上分别取点C,D,以点C 为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线 于点E,若测量得OE=OD,则∠AOB=90°.则 小意同学判断的依据是 A.等角对等边 B.线段中垂线上的点到线段 两端距离相等 图2 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” 16 第一章三角形的证明 基础训练 1.如图，在△ABC中，DE是 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分 AB的垂直平分线，BC上 线MN交AC于点D,∠CBD=42°，则∠ADB 的点F在AC的垂直平分 的度数为 线上，若BC=12,则△AEF的周长是( A.58 B.96 A.6 B.8 C.10 D.12 C.106 D.116 3.在联欢晚会上，有A、BC三名同学站在一个三角 4.如图，在△ABC中，AC=6cm,线 形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求 段AB的垂直平分线交AC于点 在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为 N,△BCN的周长是11cm,则BC 使游戏公平，则凳子应放在△ABC的 的长为 A.三边中线的交点 A.5 cm B.6 cm B.三条角平分线的交点 C.7 cm D.11 cm C.三边上高的交点 D.三边垂直平分线的交点 宝能力训练 5.如图，在△ABC中，AB=AC=5,AD⊥BC于点D.AD=4,BD=3,点P为AD边上的动 点.点E为AB边上的动点，则PE十PB的最小值是 入号 B.4 C.24 D.5 5 中拓展训练 6.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心 举例：如图1所示，若PA=PB,则点P为△ABC的准外心 图1 图2 (1)如图2所示，CD为等边三角形ABC的高，准外心点P在高CD上，且PD= 号AB,求∠APB的度数 (2)已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5,AB=3,准外心点P在边AC上，试探究PA的长. 17参考答案 【例】A (2)解：ABLAC理由如下： 过关检测 问(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.∴.∠DAB=∠ECA, 1.D2.B3.B ∠DBA=∠EAC, 4,等边三角形的三个角都相等真 :∠CAE+∠ECA=90°， ∴.∠CAE+∠BAD=90,即∠BAC=90, 5.1:326.90 ∴AB⊥AC 7,解：(1)由题意得BE=21,:点F为BE的中点， BF=EF=号BE= 第7课时线段的垂直平分线(1) AD=4,BD=8. 知识储备 :.DF=BD-BF=8-1.DE-BE-BD-21-8. 1,两个端点2.垂直平分线 AD BC.AE-AF...DE=DF, 核心讲解 即2一8=8-，解得-兰当1-曾时，AE=AF, 【例1】B 【例2】解：：点P与P,关于OA对称， (2)△ABE是直角三角形， ∴OA为线段PP,的垂直平分线， 理由：当1=5时，BE-21=10,.DE=BE-BD=10-8=2, ∴MP=MP, 在R△ADB中，AB=AD+BD=4+82=80. 同理.P与P:关于(OB对称 在R△ADE中，AE=AD+DE=4+2=20, ∴OB为线段PP:的垂直平分线， AB+AE=100,BE=10=100,.AB+AE=BE, ∴.NP=NP, ∴△ABE是直角三角形. PP:=P:M+MN+NP:=MP+MN+NP=5 cm, 第6课时直角三角形(2) ∴.△PMN的周长为5cm. 知识储备 【例3】(1)证明：：△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥ AB.DF⊥AC, 一条直角边 ∴∠DEA=∠DFA=90°，∠1=∠2， 核心讲解 在RI△ADF和R△ADE中， 【例1】D【例2D ∠DEA=∠DFA, 【例3】证明：：BE=CF, ∠1-∠2， ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, AD=AD. :∠A=∠D=90, ,R1△ADF≌Rt△ADE(AAS), .△ABF与△DCE都为直角三角形， .AF=AE: BF=CE. 在R△ABF和Rt△DCE中， (2)解：AD垂直平分EF AB=CD. 过关检测 .Rt△ABF2Rt△DCE(HI.). 1.C2.B3.B4.垂直平分5.C6.7 【例4】B 7.证明：(1)如答图，连接BE,CE. 【例5】解：由题意得AB=DE,BC=EF,∠BAC=∠EDF-90', :AE平分∠BAC,EF⊥AB,EBG⊥AC, .Rt△AB2Rt△DEF(HL), ∠AFE=∠AGE=90°，∠EAF=∠EAG,且 ·∠ABC=∠DEF, AE-AE. :∠DFE=55, ∴△AEF≌△AEG(AAS),.EF=EG, ∴.∠DEF=90°-∠DFE=35, ∠ABC=35 :DE垂直平分BC,∴BE=CE. 在R1△EBF和Rt△ECG中，BE=CE,EF=EG 过关检测 .Rt△EBF≌Rt△ECG(HI)..BF=CG: 1.C2.D3.C4.1355.5或106.75 (2)AB+AC=(AF-BF)+(AG+CG)=AF+AG.由(1)可知 7.(1)证明：BDLDE,CE⊥DE. △AEF2△AEG..AF=AG. .∠ADB=∠AEC=90, 在Rt△ABD和R△ACE中， .2AF-AB+AC.AF(AB+AC). :AB=ACR△ABD2R△CAEH 第8课时线段的垂直平分线(2) AD=CE. .∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC. 知识储备 '∠DAB+∠DBA=90',∠EAC+∠ACE=90. PA=PB=PC .∠BAD+∠CAE=90. 核心讲解 ∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90'..AB⊥AC 【例1】B【例2】B【例3】A【例4】B【例5】D【例6】D 3 数学·八年级下册（北师大版）】 过关检测： 即点D在∠A的平分线上. 1.D2.D3.D4.A5.C 过关检测 6.解：(1)①若PB=PC.连接PB.则∠PCB=∠PBC 1.C2.B3.C4.115.D6.(-4.3) :CD为等边三角形ABC的高， 7,(1)证明：OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP, AD=BD=2AB,∠PCB=∠ACB=30, PE⊥OB于点E,PD⊥OA于点D..∠PEO=∠PDO=90°， 在△POD与△POE中， ∴.∠PBC=30°..∠PBD=30, I∠POE=∠POD. 在Rt△PDB中，∠PBD=30°，，.PB=2PD. ∠PEO=∠PDO. ∴.BD=√PB-PD=V(2PD)-(PD)=5PD, PO-PO. :PD-号BD-号AB,与已知PD-之AB矛盾， △POD2△POE,∴.PD=PE. (2)解：根据垂线段最短可知：当PMLC时，PM最小 PB≠PC: ②若PA=PC,连接PA.同现可得PA≠PC: OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,.PM=PD=3,PM的 最小值为3. @若PA=PB,由PD=专AB,得PD=AD=BD, 第10课时角平分线(2) ∠APD=∠BPD=5",∴.∠APB=90° (2):BC=5.AB=3. 知识储备 ∴AC=√BC-AF=√-3=4. 三边 ①若PB=PC,设PA=x, 核心讲解 则了+3=4-，解得=名，即PA=名 【例1】D【例2】D 【例3】解：如答图，过点D作DM⊥BF于点M,DN上AC于点N, ②若PA=PC,则PA=2: DP⊥BA交BA延长线于点P, ③若PA=PB,则点P不可能在边AC上，故此种情况不符合题 :BD,CD分别平分△ABC的内角∠AC,外角 意，舍去 ∠ACF, PA的长为2或 ∴.DM=DP.DM=DN. ∴.DN=DP, 第9课时角平分线(1) ,AD平分∠PAC, 知识储备 ∴∠PAC=2∠PAD. 1.相等2.平分线 :∠PAC是△ABC的一个外角，∠ABC ∠ACB, 核心讲解 ·∠PAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC, 【例1】A【例2】A ∠PAD=∠ABC. 【例3】1)证明：AD平分∠BAC,CE⊥AD. ∴AD∥BC ·∠EAF=∠CAF,∠AFE=∠AFC=90, 【例4】解：(1)作∠CAB的平分线交BC于点P,如答图，点P即为 :AF=AF,.△AFE≌△AFC(ASA), 所求： ..EFCF: (2):∠C=90°，∠B=30°， (2)解：由(1D可得△AFE2△AFC, .∠AEC=∠ACE, ∴AC=号AB.即2AC=AB.∠CAB=60, '∠ACB=60°，∠BCE=20', 又：在R1△ABC中，AB=AC+BC.BC= ∠AEC=∠ACE=40°. 6, ∴.∠ABC=∠AEC-∠ECB=20. ∴4AC=AC十6，∴AC=23(负值舍去)， 【例4】证明：如答图，连接AD. 'DE⊥AB,DF⊥AC, :AP平分∠CAB∠CAP-号∠CAB=30, .∠DEB=∠DFC=90, CP=号AP,m2CP=AP :点D为BC的中点，BD=CD, 在Rt△DEB和Rt△DFC中， 又：在R1△APC中，AP=AC+PC,AC=25, BD=CD. ∴4CP=(23)+CP, BE-CF. ∴CP=2(负值舍去). Rt△DEB≌Rt△DFC(HL), 过关检测 .DE=DF. 答 1.A2.D3.D4.C5.C6.9 ,DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC, 7.证明：(1)(OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB..PE=PF,