第一章 4 角平分线-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

第2课时 三角形三边垂直平分线的性质与作图 ·'BD为ABC的角平分线,DE AB,DF 1.C 2.A 1BC...DE-DF. 3.证明:如图:连接CP ·AB-12,BC-8. '是CA的垂直平分线..'AP-CP. .S.So-(BC·DF).(AB .A-乙ACP. 同理,得 B- PCB DE =BC:AB-8:12-2:3 · A+ ACP+ B+ P[CB=180*$ .. ACP+PCB-90*。 即△CBD与△ABD的面积之比为2:3. 即乙ACB-90*...△ABC是直角三角形. (2)·△ABC的面积为50,△CBD与△ABD的面积之比为 4.C 5.③ 2.3...△ABD的面积为30. 6.解:如图所示. 又·AB-12.11x12·DE-30.*.DE-5. 4.A 5.证明;.AD是△ABC的中线...BD-CD 又·DF AC.DEAB. . BED- CFD-90*。 在Rt△BDE和Rt△CDF 中. BE-CF, [BD-CD. 由题意,得AD1.BC,BD=CD-BC-×8-4.AB= '.Rt△BDERt△CDF(HL). 1$0. $AD-AB-BD-10-4-2 *.DE-DF...AD平分 BAC 7.A 8.D 9.24' 6.4 7.C 8.B 9.B 10.2+2 10.解;(1):DM垂直平分AB, 11.解;(1)证明:如图,作DF1BC于点F,DH1AB于点H. '.DA-DB.DAB- B ·.BD是△ABC的角平分线, *.DF-DH 'ADE+ ADB=180$$DAB+ B+ ADB-180{$ ## #nC.Df *. ADE- DAB+ B-2 B. _A# 同理可得EA-EC. AED-2C. ADE+AED+ DAE-180*,DAE-40$ AB·DH 'ADE+ AED-180*- DAE=140. (2)证明:如图,作BEIAC于点E. 2B+2C-140*. . B+C-70”. 过. .BAC-180*-(B+C)-110"。 AD·BE (2)·△ADE的周长为18. .1. .DA+DF+EA-18. 由(1)可知,DA-DB,EA-EC (3)2 *.DB+DE+FC-18. .BC-18. 12.解;(1)证明:·AC平分 DAB, DAB-60。 B= D 11.解;(1)如图,连接A0 -90. ' DAC- BAC-30*,DC=BC ·AB,AC边的垂直平分线交于 在Rt△ABC中,设BC=x.则AC=2r,AB- (2x)- 点O, .AO-BO-CO. -③r. .OAB- OBA.OCA-OAC 同理可得AD-3x. ..BAC-a. 'AB+AD-3x+3-23- 32-3AC .OBA+OCA-a. (2)AB+AD-3AC依然成立.理由如下; .OBC+OCB=180-OBA-BAC-OCA= 如图,过点C分别作CE1AD于点E,CF 180-2. AB,交AB的延长线于点F. *. BOC=180-(OBC+0CB)=180*-180*-2) .CEIAD.CFIAF. 一2. . DEC= BFC-90”. (2)乙ABO+ACB为定值 又.AC平分DAB...CE-CF 由(1)知,BO-CO. 在Rt△DEC和Rt△BFC中, CD-CB. .OBC-OCB. 1CE-CF. '. 0BC-1(180*-2a)-90--。. ..Rt△DECRt△BFC(HL). :'ABO+ ACB+OBC+BAC-180 , *.DE-BF. '. ABO+ ACB=180$-BAC-OBC=180$- .$AB+AD=AB+AE+DE-AF+AE (90”-a)-90”. 由(1)同理可得AE十AF-3AC, 4 角平分线 .AB+AD-3AC. 第1课时 角平分线的性质与判定 第2课时 三角形三条角平分线的性质与作图 1.B 2.3 1.B 2. B 3.135* 4.1 5.C 6.3:2:4 7.45 3.解:(1)如图,过点D作DF1BC于点F 8.解:如图所示.(1)角平分 数学八年级BS版 ?点P的速度为2cm/s,移动时间为1s. *.CP-2tcm.*BP-BC-CP-(9-2tem. .点Q的速度为5cm/s,移动时间为1s. ..BQ-5tcm. (2)当△PBQ为等边三角形时,BQ-BP. (2)如图:过点G作GM AB干点M,GN BC干点N. 由(1),得BG为乙ABC的平分线..'.GM-GN. .当-- 时,△PBQ为等边三角形. AB.GM # 4.B 5.2/③ BC·GN 6.解:(1)证明::BD平分/ABC.ABC=60{* .S-27. . DBC-/ABC-30°. 9.D 10.6 11.解:如图,连接OC. :C-45*ADB= DBC+ C-75. : OP BC. OO I AC. OR AB. BAC-180- ABC- C-180*-60*-45*-75”。 之BAC.乙ABC的平分线交于点O. . BAC- ADB..AB-BD. .OR-OQ-OP. (2)在Rt△ABE中.ABC-60*,AE-3 由勾股定理,得AR-OA-OR,AQ '. /BAE-30*..'AB-2BE -OA-OQ: '由勾股定理,得BE一/③ *.AR-AQ.同理,得BR-BP.CQ-CP. 在Rt△AEC中,C-45*,AE-3. 设BP-BR-x.CP-CQ-y.AQ-AR-:. '. EAC-45”..'EC-AE-3. (y十z-9. (r=3. 则x+y-8.解得y-5. BC-3十3.. s-BC·AF-+33 -7, 一4. 7.A 8.D 9.B 10.2.4 *BP-3.CQ-5.AR-4. 11.解;(1)B-D.理由如下: '.BP+CQ-AR-3+5-4-4. : BAD-CAE.BAD-CAD- CAE-CAD 12.解:(1)FE一FD.理由如下: ./BAC- DAE. 如图①,过点F作FM1AB于点M,FN1BC于点N,则 又:AB-AD.AC-AE. FME- FND-90°。 '.△ACB△AED(SAS)...B- D ·AD.CE分别是BAC.BCA的平分线,ACB一90”. (2)80{ 乙B-60{. 12.C '. BAC-90*-乙B-30”,ACE- ACB-45^。 13.证明.(1)*:DF 1AB...DFB-90 DE-DB '. BAD- BAC=15,FEM= BAC+ ACE- '.Rt△CDERt△FDB(HL).'.CD-FD 30+45-75{, 又:DCAC.DFIAB. * FDN- B+$BAD-60*+15$-75$$ .FEM-FDN. '点D在/CAB的平分线上. 'BAC.BCA的平分线AD,CE交于点F. (2)由(1)可知,CD-FD. AD-AD. FMI AB.FNI BC..'.FM-FN. 在Rt△ADC和Rt△ADF中. CD-FD. *.△FEM△FDN(AAS)...FE-FD '.Rt△ADCRt△ADF(HL)...AC-AF. ##### 又.BF-CE '.AE+AB-AC-CE+AF+FB-AC+AF-2AC,即AE +AB-2AC. 第二章 一元一次不等式 图① 围② 与一元一次不等式组 (2)成立,理由如下: 不等关系 如图②,过点F作FM1AB于点M.FNIBC于点N,则 FME- FND-90*.且由(1)可知,FM-FN 1.C 2.D FDN-乙B+BAD-60+乙BAC. FEM- 3.解:(1)r十(-3)0. (2)“+3<5. BAC十ACE=乙BAC+(180*-乙B- BAC)= (3)(a十b)三3. 4.A 5.A 6./<3 <BAC+(180”-60”-乙BAC)-60*+乙BAC. 7.解:1.8km-1800m. 根据题意,得210x+90(15-x)1800. .FEM- FDN. 2 不等式的基本性质 ..△FEMC△FDN(AAS)...FE-FD. 1.C 2.A 3.(1)(2)(3)< (4一 4.A 本章小结 1.B 2.C 5.解:(1)不等式两边都加1,得x>3. (2)不等式两边都乘一1,得x一 3.解:(1)在等边三角形ABC中,BC-AB-9cm. 下册 参考答案4角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 要点提示 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的边的硬需相等. 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边跟离相等的点在这个角的平分线上， O1固基础 知识点2角平分线的判定定理 4.在△ABC中，将两个完全一样 知识点1角平分线的性质定理 的三角板按如图所示的方式摆 1.如图，∠A=90°，AB=3,BD=5,BC=AD, 放，它们的一组对应直角边分 BD平分∠ABC,则△BCD的面积为( 别在AB,AC上，且这组对应边 A.4 B.8 C.12 D.16 第4题图 所对的顶点重合于点M处，则点M一定在 B 0 A.∠A的平分线上 D 第1题园 第2题图 B.AC边的高上 2.(2024吉安期中)如图，OC平分∠AOB,点 C.BC边的垂直平分线上 P在OC上，PD⊥OA于点D,PD=3cm, D.AB边的中线上 OP=8cm.E是射线OB上的动点，则PE 5.如下图，AD是△ABC的中线，DF⊥AC, 的最小值为 cm. DE⊥AB,垂足分别为F,E,BE=CF,求证： 3.如下图，BD为△ABC的角平分线，DE」 AD平分∠BAC. AB,垂足为E,AB=12,BC=8. (1)求△CBD与△ABD的面积 之比： (2)若△ABC的面积为50，求 DE的长. ●易错点因考虑问题不全面而出错 6.(教材变式)如图，直线 4,2,山表示三条两两相 互交叉的公路.要拟建一 第6题因 个货物中转站，使它到三条公路的距离都相 等，则可供选择的地址有 处 下册第 02提能力◆ …… 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BD 平分∠ABC,DC=号AD,则点D到AB的 距离为 A.4 B.3 C.2 D.1 第7题图 第8题图 8.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM …O3拓思维 。。。 平分∠ADC,且∠ADC=110°，则∠MAB的 12.已知在四边形ABCD中，AC平分∠DAB, 度数是 ( ∠DAB=60. A.30° B.35° C.45° D.60° (1)如图①，若∠B=∠D=90°，求证：AB+ 9.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB AD=3AC: 于点F,且DE=DG,SAA=24,S△AED= (2)如图②，若CB=CD(AD>AB),AB十 18,则△DEF的面积是 ( A.2 B.3 C.4 D.6 AD=3AC是否依然成立？请说明理由. 图① 图2 D 第9题国 第10题图 10.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°， AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作 DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长 为 11.我们已经学习过角平分线的性质定理：角 平分线上的点到这个角的两边的距离 相等 如下图，已知△ABC的角平分线BD交边 AC于点D ,S△D=BC (1)求证：5A。AB BC CD (2)求证：AB一AD (3)如果BC=4,AB=6,AC=5,那么CD 致学八年级BS版 第2课时三角形三条角平分线的性质与作图 要点提示 三角形三条角平分线的性质：三角形的三条角平分孩相交于一点，并且这一点到三条边的距商相等 O1固基础念 B.△ABC三边的垂直平分线的交点处 C.△ABC三条角平分线的交点处 知识点1三角形三条角平分线的性质 D.△ABC三条高所在直线的交点处 1.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 线相交于点O,连接OA,则∠1与∠2的大 小关系是 A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 第5题图 第6题图 C.∠1<∠2 D.不能确定 6.(2024广州荔湾区期末)如图，△ABC的三 边AB,AC,BC的长分别为6,4,8，其三条角 平分线将△ABC分成3个三角形，则S△4 :S△ac:SsoBc= 7.如图，在△ABC中，△ABC 第1题图 第3题图 2.已知点P是三角形的两条角平分线的交点， 的三条角平分线相交于点 关于这个点，下列说法正确的是 () O,OM⊥AB于点M.若OM 第7题图 A.到三角形的三个顶点的距离相等 =4,S△ABc=90,则△ABC B.到三角形三边的距离相等 的周长是 C.不一定在第三个角的平分线上 8.如右图，在△ABC中，按以下 D.与顶点的连线垂直于该顶点的对边 步骤作图（保留作图痕迹）： 3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为 ①以点B为圆心，任意长为 △ABC两个内角的平分线的交点，则 半径作弧，分别交AB,BC于B 点D,E ∠BDC的度数为 4.如图，在△ABC中，AC=3,O ②分别以点D,E为圆心，大于2DE的长为 是三条角平分线的交点.若 半径作弧，两弧交于点F. △AC0的面积是多，则 第4题图 ③作射线BF交AC于点G. (1)BG是△ABC的 线： △BOC的BC边上的高为 (2)如果AB=8,BC=12,△ABG的面积为 知识点2三角形的角平分线的应用及相关 18,求△CBG的面积. 作图 5.如图所示的是一块三角形的草坪，现要在草 坪上建一凉亭供大家休息.要使凉亭到草坪 三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 A.△ABC三条中线的交点处 下册第一罩 …… 之02提能力之……。 ……… O3拓思维心 … 9.如图，在以∠A为顶角的等腰三角形ABC 12.(教材变式)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB 中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交 =90°，∠B=60°，AD,CE分别是∠BAC, BC于点D,然后又作出一条直线与AB交 ∠BCA的平分线，且AD,CE相交于点F. 于点E,连接DE.若△BED的面积为4，则 (1)请判断FE与FD之间的数量关系，并 △ABC的面积为 说明理由： A.1 B.4 C.12 D.16 (2)如图②，如果∠ACB不是直角，其他条 件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？请 说明理由。 B H D 第9题图 第10题图 10.(教材变式)如图，在△ABC中，∠ABC, 图② ∠ACB的平分线相交于点O,连接AO并 延长交BC于点D,过点O作OH⊥BC于 点H.若∠BAC=60°，OH=3,则OA的长 为 11.推理能力如右图，在△ABC 中，若∠BAC,∠ABC的平分 线交于点O,过点O分别作OPB ⊥BC于点P,OQ⊥AC于点Q,OR⊥AB 于点R.若AB=7,BC=8,AC=9,求BP +CQ-AR的值. 致学八年级BS版