专题04 一元二次方程重难点题型汇编(十大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题04 一元二次方程重难点题型汇编 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 4．若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．1，5， B．1，， C．1，，3 D．1，5，3 6．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【题型02 ：一元二次方程的解】 7．如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 8．若为方程的根，则多项式的值为 ． 9．已知a是方程的一个根，则的值为 ． 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【题型03：解一元二次方程】 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）用指定的方法解一元二次方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 16．（23-24八年级下·山东烟台·期中）解方程 (1)； (2) 【题型04：一元二次方程根的判别式】 17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 18．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 19．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 20．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 22．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若a，b是方程的两个根，则（    ） A． B．1 C． D．56 23．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 24．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 25．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 26．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 28．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 29．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 30．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图所示，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若使所有草坪的面积和为，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为，则满足的方程为 ． 31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． (1)求线段的取值范围； (2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成． (1)设长为x米，则的长为______米； (2)长为多少时，养猪场的面积为平方米？ (3)养猪场的面积能否为平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 33．（23-24八年级下·广东广州·期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． (1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元． (2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）； (3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？    39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程重难点题型汇编 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 3．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数． 根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，解得：， 故选：C． 4．若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选：B． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．1，5， B．1，， C．1，，3 D．1，5，3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，5，． 故选：A． 6．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是（a、b、c为常数，）．据此解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为， 故选：D． 【题型02 ：一元二次方程的解】 7．如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴ ∴ 故答案为：． 8．若为方程的根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，整体代入即可求解． 【详解】解：∵为方程的根， ∴即， ∴， 故答案为：． 9．已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2030 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键；把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】a是方程的一个根， ， ， 故答案为：2030． 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． 将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， ． 故答案为1. 【题型03：解一元二次方程】 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，． 12．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）用指定的方法解一元二次方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2) 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上16即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解：（配方法）， ， ， ， ， ，； （2）解： ，，， ， ， ． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相应解法是解决问题的关键． （1）根据解一元二次方程的方法步骤，选择配方法求解即可得到答案； （2）根据解一元二次方程的方法步骤，选择因式分解法求解即可得到答案 【详解】（1） 移项得： 配方得： 可得： 直接开平方得： 解得：， （2） 移项得： 提公因式得： ， ， 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先变形为，然后利用配方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ， 解得，． 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， 开方，得， ∴，； （2）， 移项，得：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 16．（23-24八年级下·山东烟台·期中）解方程 (1)； (2) 【答案】（1）  （2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法， （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：（1） 解得：； （2） ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ，． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：D． 18．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解． 【详解】由题意可知：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 19．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】A 【分析】本题考查判别式与一元二次方程根的情况，求出，判断符号即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程为， ， 于的一元二次方程的根的情况是没有实数根， 故选：A． 20．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根； （2）把代入方程即可求出． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴该方程总有实数根； （2）解：把代入方程，得：， 解得：， ∴的值为3． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 22．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若a，b是方程的两个根，则（    ） A． B．1 C． D．56 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及已知式子的值，求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 23．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 24．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故选B． 25．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故选A． 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 26．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得， 故选：C． 27．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 28．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： . 故答案为. 29．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 30．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图所示，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若使所有草坪的面积和为，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为，则满足的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；把甬道移到小区的上边及左边，根据草坪的面积得到相应的等量关系即可． 【详解】解：设甬路的宽度为，草坪可整理为一个矩形，长为，宽为， 即列的方程为， 故答案为． 31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． (1)求线段的取值范围； (2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的长和宽分别为， (3)不能围成面积为的自行车车棚，见解析 【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解； （2）表示出矩形面积，求出即可； （3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题． 此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设线段的长为，则的长为， 根据题意得，解得， 线段的取值范围为； （2）解：根据题意列方程，得， 解得，； 当时，， 当时，，而墙长，不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，； （3）解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下： 根据题意得， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成． (1)设长为x米，则的长为______米； (2)长为多少时，养猪场的面积为平方米？ (3)养猪场的面积能否为平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)长为15米时，养猪场的面积为平方米； (3)养猪场的面积不能为平方米．理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根据的判别式，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据木栏长求解即可； （2）结合（1）可求出养猪场的面积为，从而得出方程，解之，再求出x的取值范围，即可得出答案． （3）按照（2）的方法列出方程，求出一元二次方程根的判别式，即可作出判断． 【详解】（1）解：设长为x米，即米， ∴平行于墙的边长为米． 故答案为：； （2）解：由（1）可得养猪场的面积为， 又∵养猪场的面积为150平方米， ∴， 解得：，． ∵， ∴， ∴． ∴垂直于墙的边长为15米，平行于墙的边长为10米． 即长为15米时，养猪场的面积为平方米； （3）养猪场的面积不能为平方米．理由如下： 由（1）可得养猪场的面积为， 又∵养猪场的面积为240平方米， ∴， ∴， ∵， ∴原方程没有实数根， 即养猪场的面积不能为平方米． 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 33．（23-24八年级下·广东广州·期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x， 根据题意得， 故选：A． 34．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元、第三天票房约亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x， 第二天票房约亿元，第三天票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 【答案】(1) (2)2592 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个． 36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． (1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元． (2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）； (3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)应该将每间房每天定价为350元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． （1）根据“当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房”和“利润=(定价-每天支出20元的费用）×房间数”． （2）根据有游客居住的房间数增加的价格，即可求出结论； （3）根据总利润每间房的定价 有游客居住的房间数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：当定价为200元时，(间)． 元， 故答案为：； （2）解：当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆会空闲间房， ∴此时宾馆间房有游客居住． 故答案为：． （3）设房价定为元， 根据题意，得． 整理，得， 解得． 答：应该将每间房每天定价为350元． 38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？    【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为（元），少卖份， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 【答案】每件工艺品单价应降25元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件，根据总利润等于每件的销售利润乘以销售数量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件， 依题意，得：， 整理，得，           解得：， 尽快减少库存，（舍去）， 答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元． 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价降低元，则每天可售出千克，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，依题意， 得， 解得，（不合题意，舍去）． 月平均增长率是； （2）解：设售价降低元，则每天可售出千克，依题意， 得， 整理得， 解得，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低3元． 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】(1)假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； (2)①元，②每件元 【分析】（1）设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，根据2023年“五一”假期，假期接待游客突破81万人次，再建立方程求解即可； （2）①由每件利润乘以销售量可得利润；②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解，然后判断即可． 【详解】（1）解：设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，则 ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； （2）①当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为； （元）， ②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵，要让利给顾客， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)该该商品销售量的月增长率为； (2)该商品的实际售价应定为66元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求得等量关系是解题的关键． （1）设该商品销售量的月增长率为x，可根据2月份到4月份销售量的月增长率相同，列方程，即可解答； （2）设该商品的实际售价为y元，可得销售数量为件，即可解答． 【详解】（1）解：设该商品销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该该商品销售量的月增长率为； （2）解：设该商品的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， （不合题意，舍去）， 答：该商品的实际售价应定为66元. 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴ ， ，， ∴， ∴四边形的面积 ； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$