专题10 指、对、幂形式比较大小的三种题型-2025年高考数学大一轮复习《刷考点刷题型》专练（新高考专用）

专题10 指、对、幂形式比较大小的三种题型 题型一：利用函数的单调性或中间量比较大小 1 题型二：同时扩大范围求值 3 题型三：构造函数，利用函数的单调性比较大小 4 题型一：利用函数的单调性或中间量比较大小技巧秘籍 ①可以根据函数的单调性比较大小； ②找中间值与“0”“1”“2”的大小关系； ③如果数在0-1之间，可以和“”“”“”比较大小； ④常用数据： ≈0.69，≈1.1，≈1.6，≈1.95，≈0.0953， ≈1414，≈1.732，≈2.236，≈2.449， ≈7.39，≈0.368 ⑤可以通过作图来判断与中间量的大小 【例1】．已知 ，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例2】．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型二：同时扩大范围求值技巧秘籍 ①可以粗略估计取值 ②指数形式：可以同时进行n次方的运算，如和比较大小可以先把两数同时取6次方再进行比较； ③对数形式：同时乘以n，如和比较大小，可以先同时乘以2，再比较大小。 【例1】设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知实数，则（      ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．设，则有（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型三：构造函数，利用函数的单调性比较大小 【例1】设，，，则（    ）技巧秘籍：找同构，设函数 ①当出现和的形式的时候，可以两边同时取对数，； 熟记结论：当a、b＜e时，底数大的数大；当a、b＞e时，底数大的数反而小。 ②当题中出现和时，可以两边同时取对数，构造函数； ③构造函数 ④构造函数 ⑤不要拘泥于以上结论，要根据具体的选项构造合适的函数。 A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．设，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（     ） A． B． C． D． 9．已知，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 指、对、幂形式比较大小的三种题型 题型一：利用函数的单调性或中间量比较大小 1 题型二：同时扩大范围求值 5 题型三：构造函数，利用函数的单调性比较大小 9 题型一：利用函数的单调性或中间量比较大小技巧秘籍 ①可以根据函数的单调性比较大小； ②找中间值与“0”“1”“2”的大小关系； ③如果数在0-1之间，可以和“”“”“”比较大小； ④常用数据： ≈0.69，≈1.1，≈1.6，≈1.95，≈0.0953， ≈1414，≈1.732，≈2.236，≈2.449， ≈7.39，≈0.368 ⑤可以通过作图来判断与中间量的大小 【例1】．已知 ，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性求得的范围，根据指数函数的单调性得的范围，即可比较大小. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 综上，. 故选：D 【例2】．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案． 【详解】， ， ，则, 故. 故选：C. 【变式训练】 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为， ，， 因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小. 【详解】依题意，，而且， 所以. 故选：D 3．已知，，，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断，，的范围，即可比较，，的大小． 【详解】因为，， ， 所以． 故选：A． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 所以即； 因为为增函数，故即； 因为为减函数，故即， 综上. 故选：A. 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可. 【详解】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性得到，利用指对运算和指数函数单调性得到，利用对数函数单调性得到，则比较出大小. 【详解】因为，且，则， ， 所以， 故选：A. 7．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数单调性，比较. 【详解】由知，∵，∴.知. 故选：B. 8．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性，即可比较大小. 【详解】令，则在上单调递增函数， 由于， 则，,， 所以， 故选：B 题型二：同时扩大范围求值技巧秘籍 ①可以粗略估计取值 ②指数形式：可以同时进行n次方的运算，如和比较大小可以先把两数同时取6次方再进行比较； ③对数形式：同时乘以n，如和比较大小，可以先同时乘以2，再比较大小。 【例1】设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的单调性求得，根据对数的单调性可得，结合范围，再由对数的运算性质，求得，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，所以， 根据对数的运算性质，可得，所以， 由，，所以，即， 所以. 故选：D 【变式训练】 1.已知实数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值1比较的大小关系，再结合幂函数单调性比较的大小关系. 【详解】因为在定义域内单调递减，则，即； 又因为在定义域内单调递增，则，即； 整理可得，且在内单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：C. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数性质判断即可. 【详解】由已知条件得 ， ， 所以. 故选：B. 3．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为在上递增，得出，又因在上递增，可得. 【详解】在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以， 即，所以， 故选：. 4．设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小即得. 【详解】由，得，， ，且，所以. 故选：B 5．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】由题意得，，， 易知，， 故，则，可得，故B正确. 故选：B 6．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小. 【详解】，，而， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：C 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对和，比较与的大小即可判断，对，同时次方后作差即可比较. 【详解】对：由，，∴， 由，得，∴； 对：由，得，∴； 综上所述：. 故选：A． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可. 【详解】因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 又因为， 且， 所以，所以，所以； 综上所述，. 故选：A. 9．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为， 所以，即， 所以， 因为， 所以，即， 所以， 同时， 所以， 而， 所以． 故选：D． 题型三：构造函数，利用函数的单调性比较大小 【例1】设，，，则（    ）技巧秘籍：找同构，设函数 ①当出现和的形式的时候，可以两边同时取对数，； 熟记结论：当a、b＜e时，底数大的数大；当a、b＞e时，底数大的数反而小。 ②当题中出现和时，可以两边同时取对数，构造函数； ③构造函数 ④构造函数 ⑤不要拘泥于以上结论，要根据具体的选项构造合适的函数。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较，构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较的大小，进而可比较的大小，即可得解. 【详解】因为， 所以， 令，则， 所以在上为增函数， 所以，即，所以， 则，即， 综上所述，. 故选：A. 【变式训练】 1.已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断的单调性，从而得到，再利用对数函数的单调性判断出，从而得解. 【详解】因为， ，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，所以，即，即，所以； 又，所以，即. 综上，. 故选：. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，从而可比较出的大小，再利用对数的性质可比较出的大小，从而可得答案. 【详解】令， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，即. 因为， 所以， 综上. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查比较对数式大小，解题的关键是构造函数比较的大小，考查对数的性质的应用，属于较难题. 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用放缩法可得，，作差可比较的大小. 【详解】令,求导得，所以， 所以， ，，所以， ．所以. 所以. 故选：C. 4．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质判断A，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可利用单调性逐一判断BCD. 【详解】对于A，由于， 所以，故，故A错误； 对于BCD，设，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此， 即，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出，，然后根据作差法结合基本不等式比较. 【详解】由题意，，，， 由换底公式，， ， 由于，根据基本不等式，， 故，即，于是. 故选：A 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性可得且；再构造函数，求导利用单调性可得. 【详解】， 构造函数，所以， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因为，，结合函数单调性可得且； 再构造函数， 求导可得， 所以在上单调递增，因为，所以， 即，所以，也即， 综上：. 故选：A． 7．设，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定数据，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小即得. 【详解】令函数，求导得，即函数在上单调递减， 而，又，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 8．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数求得在单调递增，得到，得到，再由对数函数的性质，得到，再由函数的单调性与奇偶性，即可求解. 【详解】令，可得，所以在单调递增， 又由，所以，即，可得， 又由，所以， 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则在上单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选：A. 9．已知，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可判断D. 【详解】对于AB，因为，所以，故A错误； 因为，所以，但不一定大于1， 故不一定大于0，故B错误； 对于C，因为，则，所以，故C错误； 对于D，不等式等价于，两边取自然对数得， 因为，所以原不等式等价于， 设函数，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 故当时，，所以， 故在上单调递减， 所以，即，故D正确． 故选：D． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$