过关训练10 指、对、幂形式比较大小的三种题型-2025年高考数学大一轮复习《刷考点刷题型》专练（新高考专用）

过关训练10 指、对、幂形式比较大小的三种题型 一、单选题 1．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．若，则（    ） A． B． C． D． 17．已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知，则（    ） A． B． C． D． 19．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 20．设，，，则（    ） A． B． C． D． 21．设，则有（    ） A． B． C． D． 22．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知 则（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 25．已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（    ） A． B． C． D． 26．设，则（    ） A． B． C． D． 27．已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 28．已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 29．若，则（    ） A． B． C． D． 30．已知，若命题，命题：，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 31．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 32．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 33．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 34．已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 过关训练10 指、对、幂形式比较大小的三种题型 一、单选题 1．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 3．故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和对数函数的单调性得出即可. 【详解】， 所以， 故选：D 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，应用导数得其单调性，可判断，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】根据题意，构造函数，则， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此可得，即， 所以， 又指数函数为单调递增，可得，即， 因为，所以. 故选：A. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，的单调性，分别判断的大概范围，即可得出大小. 【详解】由题知，，，因为在定义域内单调递增， 所以，即， 因为在定义域内单调递减，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 综上：. 故选：D 6．已知，，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数对数函数的性质，二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以，则，即， ，即， ，故 故选：B 7．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作商法可得；构建函数，，利用导数判断的单调性，可得，构建，，利用导数判断的单调性，可得. 【详解】显然，， 因为，所以； 又因为， ， 令，．则， 可知在上单调递增， 则，可得， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 则，即，所以； 综上所述：． 故选：A． 8．已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项. 【详解】由，得到对称轴为，则， 而，又在上单调递减， 则 ，得. 故选：D 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用对数运算将a缩为比较a，b；由，利用指数运算将c放为比较b，c. 【详解】解：因为，， 所以． 因为，， 所以． 综上可知，． 故选：B． 10．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可得、对数函数的单调性可得，，从而可得结果. 【详解】由在R上单调递增，可得，又， 则． 由在上单调递增，可得． 由在上单调递增，可得． 所以， 故选：A． 11．若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较与1和，与0和的大小，后利用结合对数函数单调性，可比较与0的大小，即可得答案. 【详解】因对数函数在上单调递增，则，即． 因指数函数在上单调递减，幂函数在上单调递增， 则，即． 又注意到，在上单调递增，所以，即，所以． 故选：D． 12．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断. 【详解】因为，，所以； 又因为，则， 即，所以，即； 所以． 故选：A． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可. 【详解】因为，，又， 所以，又， 所以. 故选：A 14．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先化简，，，再根据即可得解. 【详解】，即， ， ， 又，所以， 所以， 故选：D 15．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较与中间值4的大小关系进而得到与的大小关系；利用幂函数的单调性得到与的大小关系，最终得到的大小关系. 【详解】是上的增函数，，． 在上单调递增，， ，， ，在上单调递增，， ，， 故选：A． 16．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得，，再由对数的换底公式及对数函数的单调性，求得，即可求解. 【详解】由，即， 又由，即，即，所以， 因为， 根据对数函数为定义域上的单调递增函数，可得，所以， 所以. 故选：C. 17．已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果. 【详解】因为，得到，又，函数是减函数， 所以，又，得到， 所以， 故选：A. 18．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用中间值，根据指数函数、对数函数和正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 因为函数是上的减函数， 所以， 即. 又因为函数在上的单调递增， 所以，即. 又因为函数是上的增函数， 所以，即， 故. 故选：D. 19．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可. 【详解】由题意可得：， ，且，则， 因为，则， 故选：B 20．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项. 【详解】，， 而，则，即，所以. 故选：B 21．设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得最小，再利用得出大小. 【详解】由可得， ，， 下面比较， 因为，所以， 所以， 而，故，所以， 综上，. 故选：B 22．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小. 【详解】对，因为，则，即函数在单调递减， 且时，，则，即，所以， 因为且，所以， 又，所以. 故选：B 23．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对数函数单调性比较，与，的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较，的大小，即可求解． 【详解】由题意得，， 因为，即， ，即， 因为，所以， 故． 故选：C． 24．已知 则（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】 利用指对函数单调性a,c的范围，由导数判断单调性结合正切函数单调性判断b的范围. 【详解】因为，所以，所以，即； 又设则恒成立， 则在单调递增，所以，即， 且易知，故； 又，故a<b<c 故选：A. 25．已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，继而判断的取值范围和大小关系，结合函数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案. 【详解】由于是奇函数且在上为增函数，故， 当时，，且为偶函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又， 故， 故选：C 26．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数得到其单调性则比较出，利用指数函数和幂函数以及正弦函数的单调性即可比较出，则最终得到三者大小. 【详解】先变形，令， 下面比较当时，与的大小. ①令，则，令， 得，当时，单调递增， 所以，所以，即，所以. ②，所以，， 所以，则，所以. 综上，， 故选：D. 27．已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数对数函数的单调性即可判断大小. 【详解】由于，即，由，即， 由，即，故. 故选：C 28．已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小. 【详解】令，求导得， 当时，，则在上单调递减， 则，即，而，于是， 所以. 故选：D 29．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可. 【详解】由题意知， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以，即，所以，即，所以， 又，又，所以， 所以，所以． 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断. 30．已知，若命题，命题：，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分析法：、结合复合命题的真假关系即可得解. 【详解】比较与的大小关系，即比较与的大小关系， 即比较与的大小关系，而，故命题为假； 比较与的大小关系，即比较与的大小关系， 即比较与25的大小关系，而，故命题为真. 为真命题，､为假命题. 故选:C. 31．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系. 【详解】，即，，即， 因为，所以，即， 且，则， 所以. 故选：D 二、多选题 32．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先依据题目所给条件得，所以对于A，依据函数的增减性即可判断；对于B、D，对取特殊值为即可判断；对于C，由可直接判断. 【详解】因为， 所以，又为增函数，故， 对于A，因为 为减函数，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，且与均为增函数， 所以，此时，故D错误. 故选：C. 33．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D. 【详解】，，且，， 当且仅当时取等号，故A正确. ，，且，，， ，，故B正确. 由，得，当且仅当时取等号，，故C错误. ，又，，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 34．已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质确定出的范围，即可求解. 【详解】因为， ，且， ， 故， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$