广东省2015年高中数学竞赛-几个重要不等式及其应用 练习

广东数学竞赛几个重要不等式及其应用 2015.6 一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM）不等式设 是非负实数，则 2、柯西（Cauchy）不等式 设 ，则 等号成立当且仅当存在 ，使 变形1）：设 ，则 ；等号成立当且仅当存在 ，使 变形2）设 同号，且 ，则 。等号成立当且仅当 3．排序不等式 设 是 的一个排列，则 . 等号成立当且仅当 或 。（用调整法证明）. 4．琴生（Jensen）不等式 若 是区间 上的凸函数，则对任意的点 EMBED Equation.DSMT4 有 等号当且仅当 时取得 二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。 1. 幂均值不等式 设 ， ，则 。 证：作变量代换，令 ，则 ，则 ① ， ，又函数 是 上的凸函数，由Jensen不等式知①式成立。 2.（切比雪夫不等式） 设两个实数组 ，则 等号成立当且仅当 或 。 证：由排序不等式有： ， ， …………………………………………………………………………… 以上n个等式相加即得。 3. 一个基础关系式 ，其中 证：若x,y中有一个为0，则显然成立。 设x,y均不为零，则原不等式 ，令 ，则上式 ，记 ，则 ，因此，当 时， ，当 时， ，且 ，所以 得极小值为 ,故 ，即 . 4. Holder不等式 设 且 ，则 等号成立当且仅当存在 使得 。 证: 在上面基础关系式中，取 有 ……① ① 式两边对k求和，得： ,令 , 代入上式即证。 5. 一个有用的结论 设 ，则 ，推广得 设 ，则 . 证：原不等式 ,而 EMBED Equation.3 ,它可把含根式的积性不等式化为和式。 三、如何运用几个重要不等式 例1 设 且 ，求证： 。 证：由柯西不等式有 …① 而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，即 …② 由①②有： EMBED Equation.3 ,∴ 方法二：由幂均值不等式有： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM不等式