专题01 绝对值中的六类最值模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·广东七年级课时练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为。当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1）： 当A、B两点都不在原点时，①点A、B都在原点的右边，如图（2）：； ②点A、B都在原点的左边，如图（3）：； ③点A、B在原点的两边，如图（4）：； 总上，数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____． （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_______． 【答案】（1）3；4；（2）；1或；（3）． 【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离；（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离；（3）代数式|x+1|+|x-1|表示数轴上一点到1、﹣1两点的距离的和，根据两点之间线段最短，进而得出答案． 【详解】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是|2﹣5|=3； 数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4故答案为：3，4 （2）数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3； 故答案为：|x+1|，1或-3； （3）∵代数式|x+1|+|x-1|表示数轴上一点到1、﹣1两点的距离的和， ∴根据两点之间线段最短可以得到当-1≤x≤1时，代数式|x+1|+|x-1|的值最小，故答案为：-1≤x≤1． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键在于能够准确读懂题意进行求解． 变式1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，，； 当时，，，； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B． 【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 变式2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与________之间的距离； (3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可） (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________． 【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答； （2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可； （4）根据数轴及绝对值，即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示3的点到表示的点的距离，即为5．故答案为5． （2）解：表示与2之间的距离；表示与之间的距离．故答案为：2，． （3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到2和所对应的点的距离之和为5， ∴当x在与2之间的线段上（即），∴可取整数．故答案为：2（答案不唯一）． （4）解：∵理解为：在数轴上表示x到和6的距离之和， ∴当x在与6之间的线段上（即）时，即的值有最小值，最小值为． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值等知识点，掌握整式加减、去绝对值符号以及数轴的特点是解答本题的关键． 变式3．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6 【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； （3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可． 【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和， 当点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是5； （2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围， 当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意； 当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或； （3）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1)(2)1或(3)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答；（2）直接解绝对值方程即可解答； （3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 变式1．（2023·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______． 【答案】4 【分析】分、、三种情况进行讨论求解，分别确定最大值即可得出结论． 【详解】解：根据题意，表示x到-1和3的距离之差，又-1和3的距离为，则 当时，； 当时，，则，此时无最大值； 当时，， 综上，的最大值为4，故答案为：4． 【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义，理解题意，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【分析】（1）根据题意即可列式解答； （2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案； （3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可． 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（2023·广东·七年级专题练习）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5) 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值； （5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小的最小值是 ； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1021110 （5）a使它到－1，2的距离之和小于4 ①当时，则有解得：； ②当时，则有 ③当时，则有解得： 综上，a的取值范围为：故答案为： 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可． 变式1．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）（1）阅读：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为． （2）理解： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示1和的两点之间的距离是_________； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_________，如果，那么_________； （3）运用： ③当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_________； ④当代数式取最小值时，相应的x的值是_________． 【答案】（2）①3；4；②；1或（3）③；④2 【分析】（2）①根据数轴上两点之间的距离公式计算可得； ②根据数轴上两点之间的距离公式即可解答； （3）③的最小值，意思是表示x和的点之间的距离与表示x和2的点之间的距离之和最小，那么表示x的点应在表示和2的两点之间的线段上，据此求解； ④与③同理可得：当时，取最小值5，结合“当时，取最小值0”，即可得到答案． 【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 如果，那么，所以或故答案为：，1或； （3）③取最小值，意思是表示x和的点之间的距离与表示x和2的点之间的距离之和最小，那么表示x的点应在表示和2的两点之间的线段上，且最小值是和2的两点之间的距离3，否则到表示的点或到表示2的点距离超过与2的距离. 所以，．故答案为：． ④同理可得：当时，取最小值5， 又∵，当且仅当时，取最小值0， ∴当时，取最小值5，故答案为：2． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式． 变式2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|． (1)如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 ___________（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①满足的x的值是 ___________， ②设，当x的取值在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ___________；当x的取值在 ___________的范围时，的最小值是 ___________； (3)求的最小值以及此时x的值； (4)若对任意有理数x都成立，求a的最大值． 【答案】(1)(2)①，4，②4；不小于0且不大于2；2(3)4，2(4)4 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值； （3），根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可； （4）根据两点间的距离公式并仿照（3），可得答案． 【详解】（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为．故答案为：； （2）①满足的x的所有值是、4．故答案为：，4； ②设， 当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4； 当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，取得最小值，这个最小值是2； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3）由分析可知，当时能同时满足要求，把代入原式； （4）根据题意得求a的最大值，就是求的最小值， ∵， 要使的值最小，x的值取到0之间（包括、0）的任意一个数， 要使的值最小，x取1到2之间（包括1、2）的任意一个数， 显然当x取1到2之间（包括1、2）的任意一个数能同时满足要求， ∴当时，得，即a的最大值为4； 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 变式3．（2023·广西·七年级阶段练习）同学们都知道，表示2与的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1)　　；如果，则　　．(2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索已知，则求的最大值与最小值； (4)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【答案】(1)3，3或(2)(3)最大值是，最小值是(4)1018081 【分析】（1）根据绝对值的意义直接计算即可；（2）把理解为：在数轴上表示到和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；（3）先确定、的取值范围，再分类讨论．（4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值． 【详解】（1）解：， ，或 或 故答案为：3，3或； （2）解：理解为：在数轴上表示到4与2的距离之和， 当在2与4之间的线段上（即时，的值有最小值， 最小值为，此时的取值范围为：． （3）解：因为，时，或，，时，或6． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，时，取最小值，此时 当，时，取最大值，此时 所以的最大值是，最小值是． （4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到2018的距离时，式子取得最小值．当时，式子取得最小值， 此时， ． 【点睛】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1”。 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 【答案】(1)；或(2)(3)或(4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在；根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；根据题意对去绝对值即可求解；根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ，或，或．故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ，故答案为：． （3），数的点位于的左边或的右边，或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近；综上可得，式子的最小值为．故答案为：． 变式1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 变式2．（2023·江苏·七年级专题练习）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__． 【答案】8.5． 【分析】法1：先根据-1≤x≤3，确定|x﹣3|+|x+2|为定值5，再求得|x|的最小值与最大值即可。 法2：先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可． 【详解】法1：∵-1≤x≤3，根据绝对值的几何意义得到|x﹣3|+|x+2|为定值5， ∵-1≤x≤3，根据绝对值的几何意义得到|x|的最小值为0，最大值为。 即|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最小值为3.5，最大值为5。 法2：∵﹣1≤x≤3， 当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5； 当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5， ∴最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5． 【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键． 模型5、型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得，若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3；故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 【答案】 2022 2021 【分析】要求的最大值，则需要求出的最小值，根据绝对值的非负性即可进行解答． 【详解】解：要求的最大值，则需要求出的最小值， ∵，∴=0，解得x=2021， ∴最大值为2022．故答案为：2022，2021． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握“正实数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 模型6、绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3(2)；最小(3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或，解得：或1；故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3．故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；    ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题：①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5(2)2．C，12(3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵，∴，∴， ∴或，∴或5．故答案为：；或5． （2）①当时，则有：，∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为，当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，，∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2)(3)(4)(5)(6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．（1）由两点间距离直接求解即可；（2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得；（4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可；（6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：，； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值，原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小，故答案为：； （6）解：， 当时，，， 数a，b满足，求的最小值为． 1．（2023·广东·七年级期末）的最小值是（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和，当x在-1和3之间的1时距离的和最小． 【详解】解：表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和， 当x在-1和3之间的1时距离的和最小，是4．故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，是解决本题的关键． 2．（2023·山东·七年级校联考期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示在数轴上，数到，，的距离之和，则可知当时，取得最小值为，则问题随之得解. 【详解】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a， 结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2； 即当时，取得最小值，为，∴， ∴，∴， 即，∴的最大值为．故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，理解表示在数轴上数到，，的距离之和，是解答本题的关键． 3．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可； ②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断； ③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论． 【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：， 结果不含与e相关的项，故①正确； ②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，共有12种不同的结果，故②错误； ③∵，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， 同理：，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ∴当，，都取最小值时， ， 此时，的最小值为，故③正确；故选C． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ． 【答案】 5 【分析】分，，三种情况计算． 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 故当时，有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 5.（2023·重庆七年级期中）若是有理数，则的最小值是________． 【答案】509040 【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可． 【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小， 最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010） ＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040 ∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040． 【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离． 6．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是 ． 【答案】16 【分析】若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，再代入计算即可求解． 【详解】解：若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为， 的最大值．故答案为：16． 【点睛】此题考查了绝对值，要使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答． 7．（2024七年级·成都市·培优）已知，，代数式的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键． 根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值． 【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和， ∵，， ∴当时，的最小是，故答案为：5． 8．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字______重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值＝______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当x＝______时，取最小值． ④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围______． ⑤若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：M：______，N：______． 【答案】(1)，6(2)9； (3)①3；②4；③2；④或；⑤， 【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合； （3）①当时，有值最小； ②|当-3≤x≤4时，|x-4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解； ③找到2，2，3，4的中间数即为所求； ④判断出到2的距离是7，然后解答即可； ⑤由折叠可知，折痕点对应的数是，根据M、N两点之间的距离为2022，再由对称性即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是，点C表示的数是6， 故答案为：，6； （2）解：∵折叠后点B和点C重合， ∴BC的中点为折痕点， ∴折痕点对应的数是， ∵点A表示的数为， ∴点A与数字：重合， 故答案为：9； （3）解：①表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和， ∴当时，的值最小， ， ∴的最小值为3， 故答案为：3； ②表示数轴上表示x的点到表示的点和4的点的距离之和， ∴当时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴x的整数值为，，，0，1，2，3，4， ∴满足条件的所有整数x的和是4， 故答案为：4； ③表示x到2的距离，到3的距离，到4的距离之和， ∴2，3，4的中间数是3， ∴当时，的值最小， 最小值为：； 故答案为：2； ④∵到2的距离是， ∴时，有理数x的取值范围是或； 故答案为：或． ⑤∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴从数处折叠， ∵M、N两点之间的距离为2022，M在N的左侧， ∴M与数的距离为1010，N数的距离为1010， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律并理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 9．（2023·浙江·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______； （2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____． （3）的最小值为_______．的最小值为_____． （4）的最大值为_______． 【答案】（1）4，3；（2）|x-1|, |x+3|;（3）7, 10;（4）2 【分析】（1）直接代入公式即可; （2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （3）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+ 3|+|x-4|的值最小; 当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+ 2|+ |x-3|+ |x+4|值最小; （4） 分3种情况讨论，|x-1|-|x-3|的值最大. 【详解】解：（1）6﹣2=4,     1-(-2)=3 所以,数轴上表示2和6两点之间的距离是4,数轴上表示1和-2的两点之间的距离为3； 答案为: 4, 3; （2）根据两点间距离公式可知:数轴上表示x和1两点之间的距离为|x-1|,数轴上表示x和-3两点之间的距离为|x+ 3| 故答案为: |x-1|, |x+3|; (3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4； 当x＜-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7 当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7 当x＞4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7 x对应点在点-4和3之间时的任意一点,|x-3|+ |x+4|的最小值为7； 同理,分5种情况说明： 当x＜-4时，原式=-4x-2＞14 当-4≤x＜-2时，原式=-2x+6, 10≤原式≤14 当-2≤x≤1时，原式=10, 当1＜x≤3时，原式=2x+8,   10＜原式≤14 当x＞3时，原式=4x+2＞14 由此可得，当-2≤x≤1时原式值最小，最小值是10， ∴当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+2|十|x-3|+ |x+4|的最小值为10, 故答案为: 7, 10; (4) ∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3 ∴当x≤1时，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)= -2， 当x≥3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2 当1＜x＜3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2 ∴当x≥3时，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2 故答案为: 2 【点睛】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，,体现了数形结合的优点. 10．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】(1)7；数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，(2)2， (3)超市的位置应在B，C两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）由题意可知，，所以超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，    （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，    （3）由题意可知，且， ∴超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 11．（2024七年级上·重庆·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式(2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）法1：先将原式转化为|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x+2|，当|x﹣1|﹣|x+2|取最大值，同时|x+2|取最小值时，取最大值。法2：分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）法1：∵|=|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x+2|， ∴若要取最大值，即|x﹣1|﹣|x+2|取最大值，同时|x+2|取最小值。 根据绝对值的几何意义得到|x﹣1|﹣|x+2|最大值为3，且此时x≤﹣2。 而当x≤﹣2时，|x+2|取最小值为0。则的最大值为3．故答案为：3． 法2：当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为．故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 12．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54 【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度， ∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5； （2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和， ∵，∴，故答案为：7； （3）∵，， ∴，故答案为：4 （4）∵， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小， 只能取， 当时，有最小值， 此时原式＝＝54，故答案为：54． 【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 13．（2023秋·陕西西安·七年级校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________； （2）如果，那么__________；（3）若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是_____，最小距离是______；（4）求代数式的最小值，并写出此时可取哪些整数值？（5）求代数式的最小值．（6）若表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）3,5；（2）1或-3；（3）12，2；（4）最小值为2，x的整数值为： -1，0，1；（5）7；（6）4. 【分析】（1）根据数轴点坐标意义，求出两个数的差的绝对值即可；（2）根据绝对值的意义解方程即可； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可求出最大值和最小值. （4）求的最小值，即找一点到坐标为-1和1的点距离和最小.由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当-1≤x≤1时，有最小值，从而可求得最小值，利用数轴即可找到此时x可取的整数值． （5）可以用数形结合来解题：为数轴上的一点，表示：点到数轴上的3个点-2、3、5的距离之和，进而分析得出最小值． （6）可化为，当取最小值时，取最大值，结合（4）可知当3≤x≤5时，式子取最大值. 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是3；表示和两点之间的距离是5；故答案为3；5. （2）∵，∴，∴解得x=1或-3，故答案为1或-3. （3）∵|a-3|=4，|b+2|=3，∴a=7或-1，b=1或b=-5， 当a=7，b=-5时，则A、B两点间的最大距离是12， 当a=1，b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2；故答案为12；2. （4）根据题意可知，|x+1|+|x-1|有最小值即是x到−1的距离与到1的距离之和最小,那么x应在−1和3之间的线段上． 即当-1≤x≤1时，|x+1|+|x-1|有最小值．∴|x+1|=x+1，|x-1|=1-x，∴|x+3|+|x-4|=x+1+1-x=2； 由数轴可知，-1≤x≤1，x的整数值为： -1，0，1． ∴|x+1|+|x-1|的最小值为2，此时可取的整数值为： -1，0，1． （5）∵表示：点到数轴上的3个点-2、3、5的距离之和，即当x在中间点3时，距离之和最小.∴当x=3时，代数式有最小值， 最小值==7．故代数式的最小值是7． （6）∵=， ∴当取最小值时，取最大值， ∴由题可知，当3≤x≤5时，取最大值， 当3≤x≤5时，，=，=8-2x+6+2x-10=4， 故当3≤x≤5时，取最大值为4， 【点睛】本题考查了绝对值，数轴以及利用数形结合求最值问题，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 14．（2023·浙江·七年级专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题． 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． (1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？ (2)有n台机床时，P应设在何处？ (3)根据（2）的结论，求 的最小值． 【答案】(1)有台机床时，P应设在第台处，有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方(2)当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置，当n为奇数时，P应设在第台的位置 (3)． 【分析】（1）根据阅读材料即可求解；（2）根据（1）中所得结论，可以分两种情况寻找到规律即可求解； （3）根据连续整数的和的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，直线上有3台机床，供应站P应设在最中间一台机床处， 直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方， 有5台机床，P应设在第3台位置…，所以有 台机床时，P应设在第台处， 有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方； （2）解：当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置， 当n为奇数时，P应设在第台的位置； （3）解：∵， ∴当 时，代数式取到最小值， ∵，∴最小值是． 【点睛】本题考查了图形的变化规律、数轴、绝对值，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 15．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15． 【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得； （二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得； （2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可； （4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可． 【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11． （二）（1）解：，，或，故答案为8或． （2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，是整数，共6个；故答案为：6． （3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和， 当时，有最小值， 最小值为：=2025；故答案为：2025． （4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和， 当时，取最小值， 即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031． （5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和， 当时有最小值， 即最小值==15，故答案为：15． 【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 16．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7． 【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得； （2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得； （3）由（2）的方法去绝对值，即可得． 【详解】（1）解：，故答案为：7； （2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、、、0、1、2； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）解：有最小值，最小值是7， 由（2）的探索可得，当时，， 故有最小值，最小值是7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 4 模型3.的最小值模型 6 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 9 模型5.型或型最值模型 10 模型6.绝对值最值模型的实际应用 11 14 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·广东七年级课时练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为。当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1）： 当A、B两点都不在原点时，①点A、B都在原点的右边，如图（2）：； ②点A、B都在原点的左边，如图（3）：； ③点A、B在原点的两边，如图（4）：； 总上，数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____． （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_______． 变式1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 变式2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与________之间的距离； (3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可） (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________． 变式3．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 变式1．（2023·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______． 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（2023·广东·七年级专题练习）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 变式1．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）（1）阅读：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为． （2）理解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_________，如果，那么_________； （3）运用：③当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_________； ④当代数式取最小值时，相应的x的值是_________． 变式2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|． (1)如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 ___________（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①满足的x的值是 ___________， ②设，当x的取值在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ___________；当x的取值在 ___________的范围时，的最小值是 ___________； (3)求的最小值以及此时x的值； (4)若对任意有理数x都成立，求a的最大值． 变式3．（2023·广西·七年级阶段练习）同学们都知道，表示2与的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1)　　；如果，则　　．(2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索已知，则求的最大值与最小值； (4)由以上探索及猜想，计算的最小值． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1”。 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 变式1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·江苏·七年级专题练习）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 变式1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题：①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 1．（2023·广东·七年级期末）的最小值是（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2023·山东·七年级校联考期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ． 5.（2023·重庆七年级期中）若是有理数，则的最小值是________． 6．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是 ． 7．（2024七年级·成都市·培优）已知，，代数式的最小值为 ． 8．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字______重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值＝______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当x＝______时，取最小值． ④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围______． ⑤若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：M：______，N：______． 9．（2023·浙江·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______； （2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____． （3）的最小值为_______．的最小值为_____． （4）的最大值为_______． 10．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 11．（2024七年级上·重庆·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式；(2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 12．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 13．（2023秋·陕西西安·七年级校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________； （2）如果，那么__________；（3）若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是_____，最小距离是______；（4）求代数式的最小值，并写出此时可取哪些整数值？（5）求代数式的最小值．（6）若表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 14．（2023·浙江·七年级专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题． 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． (1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？ (2)有n台机床时，P应设在何处？(3)根据（2）的结论，求 的最小值． 15．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 16．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$