精品解析：江苏省淮安市清河开明中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 1. 观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确； B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误； C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误； D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握形状相同的两个图形为相似图形，是解题的关键． 2. 的值等于（ ） A. B. C 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 3. 某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】千米米厘米， ∴地图上的距离与实际的距离之比是， 故选：． 【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义． 4. 已知反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质．先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第二、四象限， ∴， ∴k的值可以是． 故选：D． 5. 已知关于x的方程的一个根是1，则此方程的另一根为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义， 根据方程的解，求出方程中的参数，再代入求解方程即可； 【详解】解：把代入方程 得：， 解得：， 则方程为： 整理得： 则此方程的另一根为2， 故选：C 6. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件 时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件 时，则不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答． 7. 在中，，， ，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数和勾股定理是解题的关键．由锐角三角函数得，再利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵DE//AB， ∴ ∴的值为． 故答案为A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24 分；请将答案写在答题纸上） 9. 已知为锐角，且，则______°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据特殊的三角函数值即可解出． 【详解】解： ∵ ． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了特殊的三角函数值，熟记三角函数值是解题关键． 10. 已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，则____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：线段c是线段a、b的比例中项， ， ，， ， 或（舍）， 故答案为：6． 11. 两个相似图形的周长比为，则面积比为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：两个相似图形，其周长之比为， 其相似比为， 其面积比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键． 12. 如果是一元二次方程的一个解，则的值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴ ∴ 故答案为：． 13. 如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 【答案】9 【解析】 【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意得，CDAB， ∴△OCD∽△OAB， ∴， 即， 解得AB=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键． 14. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为_____． 【答案】135° 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF， ∴∠BAC＝∠EDF， 又∠EDF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°． 故答案是：135°． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，找到对应边和对应角是解题的关键． 15. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 16. 如图，矩形的面积为9，点A是x轴上的动点，点是的图像上的点，作轴交所在直线于点E，连接，则____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交轴于F，过点B作轴于H，先求出，得到；再证明，得到，根据矩形面积公式得到，则，可得，在中，，则． 【详解】解：如图所示，延长交轴于F，过点B作轴于H， ∵点是图像上的点， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵轴， ∴，，， ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的面积为9， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，坐标与图形，反比例函数与几何综合，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）1；（2），； 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的运算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） （2） 分解因式得，， 或， ， 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值．先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可． 【详解】解： ； 把代入，原式． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 【答案】AB＝4，∠A＝30°，∠B＝60° 【解析】 【分析】由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2， ∴AB＝＝4， ∵tanA＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与△的相似比为 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图和位似作图，掌握关于x轴对称的两点坐标特点和位似图形的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称两点横坐标相等，纵坐标互为相反数找出三个顶点的对应点，再连线即可； （2）根据位似图形的坐标特点，先求出对应点的坐标，再描点连线即可得解． 【小问1详解】 解：∵，，，与关于轴对称， ∴， 作图如下所示：即为所求作的三角形； 【小问2详解】 ∵，与的相似比为， ∴，(排除第三象限内的解) 作图如下所示：即为所求作的三角形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根为负数，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）证明一元二次方程是否有实数根，根据判别式来判断即可，证明，则方程总有两个实数根； （2）用因式分解法求出方程的两根，，，则，，得出答案． 【详解】（1） ∴方程总有实数根； （2） 若方程的一根为负数， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，，方程有两个不相等的实数根； ，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；还考查了解一元二次方程的方法，有因式分解法、直接开方法、公式法、配方法等． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式的解集为或． 23. 如图，． （1）与是否相似？请说明理由． （2）设，，求的值． 【答案】（1）相似，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）相似，由平行线的性质得，结合可证明; （2）根据相似三角形列式求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：相似，理由如下： ∵ ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴． 24. 某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的P点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点Q，测得雷峰塔底端B的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，延长交于点C，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】延长交于点C， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴雷峰塔的高度约为． 25. 漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月均增长率为20% （2）该品牌头盔的销售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题的关键； （1）根据增长率公式列出方程即可； （2）利用单个头盔的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可． 【小问1详解】 设该品牌头盔销售量的月均增长率为x，依题意，得 ． 解这个方程，得，(不合题意，舍去)． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%． 【小问2详解】 设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得 ． 解这个方程，得，(不合题意，舍去)． 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 26. 小明同学在学习了《反比例函数》这一章节后，对反比例函数的图像产生了浓烈的兴趣．经过探索研究，他发现： （1）反比例函数的图像中，某些图形的面积与k的值有密切的关系．如图，点是反比例函数的图像上的一点，轴于点，且的面积为，则的值为 ； （2）反比例函数的图像双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．如图，直线与双曲线交于、两点，将直线绕点逆时针旋转某个度角，与双曲线交于、两点，则四边形的形状为 ； （3）反比例函数的图像中隐藏了许多平行关系．如图，点、为反比例函数的图像上的两点，作轴于点，作轴于点，、的延长线交于点，连接、，判断与的位置关系并说明理由； （4）请你利用以上的知识，解决下面的问题：如图，点、为反比例函数的图像上的两点，仅用无刻度直尺画出平行四边形，使得点、均落在坐标轴上． 【答案】（1） （2）平行四边形 （3），证明见详解 （4）见详解 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，中心对称图形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）设点坐标为，代入反比例函数中，可以求得，再结合面积即可求得值； （2）根据题意可知，双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知对角线互相平分，即四边形ABCD的形状为平行四边形； （3）设点坐标为，点坐标为则点坐标为，可得，从而证明，证明出； （4）根据双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，找点关于原点对称点，连接作延长线交轴于点，同理可得点，四边形即为所求． 小问1详解】 设点坐标为，满足 ， 则，故 【小问2详解】 根据题意作图，可知， 双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形， 可知对角线互相平分，即四边形的形状为平行四边形 【小问3详解】 设点坐标为，点坐标为 则点坐标为， ， ，， ， ， 【小问4详解】 根据双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，找点关于原点对称点，连接作延长线交轴于点，同理可得点，四边形即为所求． 根据题意，作于，轴交延长线于， 设， 点关于原点对称点， 由中心对称性可得： 故四边形为平行四边形 27. 如图1，矩形中，，，点从点出发以每秒的速度沿方向向点运动，同时点从点出发以每秒的速度沿方向向点运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设点的运动时间为秒． （1） （用含的代数式表示）． （2）如图1，当为何值时，与相似？ （3）深入探究：如图，延长至点使得，连接、．根据以上信息，求的最小值． （4）如图，点为的中点，连接、，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； （1）根据题意分析，从而得出， （2）分析两种情况，第一种，则，解得的值；第二种情况，则，解得的值， （3）根据题意可以证明，从而得到，算的长度即为所求； （4）根据题意用含表示，的长度，作比值，根据的取值范围，即可求出最大值． 【小问1详解】 解：设点的运动时间为秒， 则 故 【小问2详解】 解：， 当时，与相似， 则， 解得：，（舍去） 当时，与相似， 则， 解得： 故答案为：或 【小问3详解】 解：，， ，， ， ， ， 故， ， 故的最小值为 【小问4详解】 解：向下作，使， 连接 令，则 则D是在以为半径的圆上运动， ， 则 即可得到的最大值为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 1. 观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C D. 2. 值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3. 某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 5. 已知关于x的方程的一个根是1，则此方程的另一根为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，， ，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24 分；请将答案写在答题纸上） 9. 已知为锐角，且，则______°． 10. 已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，则____． 11. 两个相似图形周长比为，则面积比为_____________． 12. 如果是一元二次方程的一个解，则的值是_________． 13. 如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 14. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为_____． 15. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 16. 如图，矩形面积为9，点A是x轴上的动点，点是的图像上的点，作轴交所在直线于点E，连接，则____． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与△的相似比为 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程一根为负数，求m的取值范围． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 23. 如图，． （1）与是否相似？请说明理由． （2）设，，求的值． 24. 某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的P点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点Q，测得雷峰塔底端B的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：，，） 25. 漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 26. 小明同学在学习了《反比例函数》这一章节后，对反比例函数的图像产生了浓烈的兴趣．经过探索研究，他发现： （1）反比例函数的图像中，某些图形的面积与k的值有密切的关系．如图，点是反比例函数的图像上的一点，轴于点，且的面积为，则的值为 ； （2）反比例函数的图像双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．如图，直线与双曲线交于、两点，将直线绕点逆时针旋转某个度角，与双曲线交于、两点，则四边形的形状为 ； （3）反比例函数的图像中隐藏了许多平行关系．如图，点、为反比例函数的图像上的两点，作轴于点，作轴于点，、的延长线交于点，连接、，判断与的位置关系并说明理由； （4）请你利用以上的知识，解决下面的问题：如图，点、为反比例函数的图像上的两点，仅用无刻度直尺画出平行四边形，使得点、均落在坐标轴上． 27. 如图1，矩形中，，，点从点出发以每秒的速度沿方向向点运动，同时点从点出发以每秒的速度沿方向向点运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设点的运动时间为秒． （1） （用含的代数式表示）． （2）如图1，当为何值时，与相似？ （3）深入探究：如图，延长至点使得，连接、．根据以上信息，求的最小值． （4）如图，点为的中点，连接、，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$