精品解析：湖北省黄石市三区联考2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末教学质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分；考试时间120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（3分×10=30分） 1. 在函数中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5 C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝，b＝，c＝ 4. 已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是( ) A. kb＞0 B. kb＜0 C. k+b＞0 D. k+b＜0 5. 在一次数学测验中，某学习小组的六位同学的分数分别是52，83，91，75，66，83，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 83和83 B. 83和91 C. 91和75 D. 83和79 6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ） A. SABCD=4S△AOB B. AC=BD C. AC⊥BD D. ABCD是轴对称图形 7. 对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是2 B. 众数是1 C. 中位数是3 D. 方差是1.6 8. 若一次函数中 随 的增大而增大，当自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示 与 之间的函数关系式．根据图象信息，下列判断：①甲、乙两地相距；②快车从甲地到乙地行驶了6小时；③慢车从乙地到甲地行驶了16个小时；④点 的坐标为．其中正确的判断有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边AD、CD上的点，且AB＝12，AE＝DF＝3，AF与EB交于点G，M为BF中点，则线段GM的长为（　　） A. 6.5 B. 7.5 C. 8.5 D. 9.5 二、填空题（3分×5=15分） 11. 化简计算：_____________． 12. 一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是 _____． 13. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填 或 ）． 14. 如图，矩形 中，，，沿 折叠，使点D与点B重合，点C与重合． 折痕 的长为_________． 15. 直线经过点，与直线交于点 ， 点横坐标为，则不等式组：的解集为_______． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：． 17. 已知，求值： （1） （2） 18. 如图，四边形 中，，． （1）求的度数; （2）求四边形 的面积． 19. 某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）． 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年 级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 45% 八年级 7.5 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 20. 如图，在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图中画出关于x轴对称的，并写出点的坐标为___________． （2）在y轴上求点P，使得的值最小，求P点坐标． 21. 如图，在中， 的角平分线交于点D，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 22. 某中学计划租用汽车送540名学生到某爱国主义基地接受教育，并安排13名教师同行，每辆汽车上至少要1名教师．现有两种型号的客车可供选择，其座位数（不含司机位）与租金如表中所示， 大巴 中巴 座位数（个/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 300 （1）为保证每人都有座位，设租大巴 辆，根据要求，请你设计出可行的租车方案共有哪几种？ （2）设大巴、中巴的租金共 元，写出 与 之间的函数关系式；在上述租车方案中，哪种租车方案的租金最少？最少租金为多少元？ 23. 某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q． （1）求证：DP=DQ； （2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； （3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积． 24. 某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(1)所示，销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(2)所示．(销售额=销售单价×销售量) (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)分别求第10天和第15天的销售额； (3)若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少元? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期期末教学质量检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分；考试时间120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（3分×10=30分） 1. 在函数中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算及积的乘方，在二次根式的运算中，如能结合题目的特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 根据二次根式的运算法则和积的乘方运算法则计算各选项，然后判断即可． 【详解】解：A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 3. 下列各组线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5 C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝，b＝，c＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是( ) A. kb＞0 B. kb＜0 C. k+b＞0 D. k+b＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数经过一、三、四象限，可知k＞0，b＜0，即可求得答案. 【详解】y＝kx+b的图象经过一、三、四象限， ∴k＞0，b＜0， ∴kb＜0， 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数y=kx+b(k≠0，k，b为常数)的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 5. 在一次数学测验中，某学习小组的六位同学的分数分别是52，83，91，75，66，83，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 83和83 B. 83和91 C. 91和75 D. 83和79 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求众数和中位数，根据题中数据，从小到大排序，结合众数及中位数的求法求解即可得到答案，熟记众数和中位数的求法是解决问题的关键． 【详解】解：将分数按照从小到大的顺序排列52，66，75，83，83，91， 这组数据的众数是83，中位数是， 故选：D． 6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ） A. SABCD=4S△AOB B. AC=BD C. AC⊥BD D. ABCD是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，DO=BO． ∴S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB．∴SABCD=4S△AOB，故此选项正确； B、无法得到AC=BD，故此选项错误； C、无法得到AC⊥BD，故此选项错误； D、ABCD是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选A． 7. 对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是2 B. 众数是1 C. 中位数是3 D. 方差是1.6 【答案】C 【解析】 【分析】将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为1，1，1，3，4， 所以这组数据的平均数为×（1+1+1+3+4）=2， 中位数为1，众数为1， 方差为×[3×（1-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=1.6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义． 8. 若一次函数中 随 的增大而增大，当自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数增减性求参数、二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握根据一次函数增减性求参数的方法． 先根据一次函数增减性得到二元一次方程组，再求解． 【详解】解：依题得：， 且有， 解得． 故选：． 9. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示 与 之间的函数关系式．根据图象信息，下列判断：①甲、乙两地相距；②快车从甲地到乙地行驶了6小时；③慢车从乙地到甲地行驶了16个小时；④点的坐标为．其中正确的判断有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，涉及行程问题，熟记路程、速度及时间的关系，数形结合求解是解决问题的关键． 【详解】解：①由题意可知，当时，确定甲、乙两地相距正确； ②由题意可知，两车在 点相遇，相遇时间是6小时，此时快车还未到达乙地，从而确定快车从甲地到乙地行驶了6小时错误； ③由题意可知，两车在 点相遇，相遇时间是6小时，然后继续行驶，当在 时，慢车到达甲地，从而确定慢车从乙地到甲地行驶了16小时正确； ④由题意可知，慢车的行驶速度为，从而得到快车速度为，即当相遇时，快车走了，则快车到达乙地时间为，从而得到两车相遇到快车到达乙地，两车相距，即点的坐标为正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 10. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边AD、CD上的点，且AB＝12，AE＝DF＝3，AF与EB交于点G，M为BF中点，则线段GM的长为（　　） A. 6.5 B. 7.5 C. 8.5 D. 9.5 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得出BF＝15，由“SAS”可证△BAE≌ADF，得出∠ABE＝∠DAF，证出∠BGF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出，在△BCF中由勾股定理算出BF即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA＝BC＝CD，∠BAE＝∠D＝∠C＝90°， ∵AE＝DF＝3，AB＝12， ∴BC＝DC＝12，CF＝9， ∴BF＝， 在△BAE和△ADF中，， ∴△BAE≌ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠BAG+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠ABE＝90°， ∴∠BGA＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∵M为BF中点， ∴GM＝BF＝7.5， 故选：B． 【点睛】本题借助正方形的性质考查了三角形全等的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理等，熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（3分×5=15分） 11. 化简计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是 _____． 【答案】（0，4） 【解析】 【分析】令x=0，求出y的值即可． 【详解】解：∵令x=0，则y=4， ∴一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）． 故答案为（0，4）． 13. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填 或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解． 【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小； ∴乙地的日平均气温的方差小， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键． 14. 如图，矩形 中，，，沿 折叠，使点D与点B重合，点C与重合． 折痕 的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题以及勾股定理，熟记各性质并作出常用辅助线是解题关键．先证明，在中根据勾股定理列出方程并求解 ；作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形 ， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ， 设，则， 在中，， 解得； ，， 作于， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ． 故答案为： 15. 直线经过点，与直线交于点 ， 点横坐标为，则不等式组：的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数与不等式的关系，根据题意，将向上平移3个单位；则过点，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设，即将向上平移3个单位； ∴当 时，过点， ∴当时，即时， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 17. 已知，求值： （1） （2） 【答案】（1）12；（2）70 【解析】 【分析】先求得a+b＝2，ab＝2， （1）首先把所求的式子变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； （2）利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴a+b＝2，ab＝2， （1）原式＝ （2）原式＝ 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键． 18. 如图，四边形 中，，． （1）求的度数; （2）求四边形 的面积． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）连接 ，如图，分别证明 为等腰直角三角形，为直角三角形，从而可得结论； （2）直接利用割补法求解四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：连接 . ∵在中， ∴. ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 【小问2详解】 ． 19. 某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）． 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年 级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 45% 八年级 7.5 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】（1），， （2）估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人 （3） 解：我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好， 理由如下： 因为七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样均为7.5分，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分．因此我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好． 【解析】 【分析】（1）由条形统计图及统计表中相关信息，结合众数、中位数及条形统计图信息求解即可得到答案； （2）由样本中成绩合格的人数百分比估计该校七、八年级共1600名学生参加此次测试活动的合格人数即可得到答案； （3）由七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题中数据可知七年级20名学生的测试成绩为7分的人数最多， ∴； 八年级学生的成绩按顺序排列后位于最中间的两名同学的成绩分别为7分和8分， ∴； 由题中数据可知八年级学生成绩为8分及以上的人数有人， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查统计综合，涉及条形统计图、平均数、众数、中位数、百分比、用样本估计总体、由相关统计量做决策等知识，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． 20. 如图， 在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图中画出 关于x轴对称的，并写出点的坐标为___________． （2）在y轴上求点P，使得的值最小，求P点坐标． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交y轴于点 P，连接，根据轴对称的性质得出，求出，根据两点间距离最短，得出最小，即的值最小，P为所求的点，求出直线解析式为：，求出． 【小问1详解】 解：即为所求作的三角形，点； 【小问2详解】 解：连接交y轴于点 P，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∵垂线段最短， ∴此时最小，即的值最小，P为所求的点， 设的解析式为，把点，代入得： ， 解得 ， ∴直线解析式为：， 当 时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称作图，轴对称变换，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握轴对称的性质，作出对应点的位置． 21. 如图，在 中，的角平分线交 于点D，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】 （1）四边形AFDE是菱形， 理由： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE， ∴平行四边形AFDE是菱形； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明； （2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠BAC=90°， ∴四边形AFDE是正方形， ∵AD=， ∴AF=DF=DE=AE==2， ∴四边形AFDE的面积为2×2=4． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 22. 某中学计划租用汽车送540名学生到某爱国主义基地接受教育，并安排13名教师同行，每辆汽车上至少要1名教师．现有两种型号的客车可供选择，其座位数（不含司机位）与租金如表中所示， 大巴 中巴 座位数（个/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 300 （1）为保证每人都有座位，设租大巴 辆，根据要求，请你设计出可行的租车方案共有哪几种？ （2）设大巴、中巴的租金共 元，写出 与 之间的函数关系式；在上述租车方案中，哪种租车方案的租金最少？最少租金为多少元？ 【答案】（1）共有三种方案：方案一：大巴11辆，中巴2辆 方案二：大巴12辆，中巴1辆 方案三：大巴13辆，中巴0辆 （2）方案一的租金最少，最少租金为5000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，一次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由师生总数为553人，算出当全部用大巴时所需车辆数，得出车辆数小于或等于13辆，结合教师人数，可知车辆数为13，当需大巴 辆，则需中巴辆，得出，解出不等式组，根据 为整数，得到 的取值，即可得到不同方案； （2）根据租金大巴租金中巴租金，可得，根据（1）中三种方案可算出租金最少方案和最少租金． 【小问1详解】 解：根据题意，当全部用大巴时，需（辆），而每辆车需有一名教师， 所以车辆数小于或等于13辆，故而需要的车辆为13辆． 设：需大巴 辆，则需中巴辆， 解得： 为整数 可取11、12、13 共有三种方案：方案一：大巴11辆，中巴2辆； 方案二：大巴12辆，中巴1辆； 方案三：大巴13辆，中巴0辆； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 由（1）可知，当时，（元） 答：方案一（大巴11辆，中巴2辆）的租金最少，最少租金为5000元. 23. 某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q． （1）求证：DP=DQ； （2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； （3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积． 【答案】（1）见解析；（2）PE=QE，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP=DQ． （2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE=QE． （3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S△DEQ=． 【详解】解：（1）证明： ∵∠ADC=∠PDQ=90°， ∴∠ADP=∠CDQ． 在△ADP与△CDQ中， ∵， ∴△ADP≌△CDQ（ASA）． ∴DP=DQ． （2）猜测：PE=QE． 证明如下： 由（1）可知，DP=DQ． 在△DEP与△DEQ中， ∵， ∴△DEP≌△DEQ（SAS）． ∴PE=QE． （3）∵AB：AP=3：4，AB=6， ∴AP=8，BP=2． 与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ， ∴CQ=AP=8． 与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ ，∴PE=QE． 设QE=PE=x，则． 在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，即：， 解得：，即QE=． ∴． ∵△DEP≌△DEQ， ∴S△DEP=S△DEQ=． 24. 某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(1)所示，销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(2)所示．(销售额=销售单价×销售量) (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)分别求第10天和第15天的销售额； (3)若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少元? 【答案】（1）；（2）第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；（3）此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元 【解析】 【分析】（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解： （2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额． （3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值． 【详解】(1)①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x， ∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2． ∴y=2x（0≤x≤15）； ②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b， ∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上， ∴，解得：． ∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）． 综上所述，可知y与x之间的函数关系式为：． （2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间， ∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n， ∵点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上， ∴，解得：． ∴． 当x=10时，，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元）； 当x=15时，，y=2×15=30，销售金额为：9×30=270（元）． 故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元． （3）若日销售量不低于24千克，则y≥24． 当0≤x≤15时，y=2x， 解不等式2x≥24，得x≥12； 当15＜x≤20时，y=﹣6x+120， 解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16． ∴12≤x≤16． ∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）． ∵（10≤x≤20）中＜0，∴p随x的增大而减小． ∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时=9.6（元/千克）． 故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $