第15讲 抛物线（七大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第15讲 抛物线 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【典例例题】 题型一：抛物线的定义 【典例1-1】（2024·高二·河北邯郸·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·浙江金华·期末）法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【变式1-1】（2024·高二·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型二：求抛物线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程： (1)； (2)． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课堂例题）已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）经过点； （2）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）过点(3,-4)； （2）焦点在直线x+3y+15=0上. 题型三：抛物线的综合问题 【典例3-1】（多选题）（2024·浙江·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的（    ） A．点的坐标为 B．若直线经过焦点，则 C．若，则线段的中点到轴的距离为 D．若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为 【典例3-2】（多选题）（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点则下列结论正确的有（   ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【变式3-1】（多选题）（2024·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）已知点，点，点在抛物线上，则（    ） A．当时，最小值为1 B．当吋，的最小值为4 C．当时，的最小值为3 D．当吋，的最大值为2 【变式3-2】（多选题）（2024·福建福州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（    ） A． B． C．直线的方程为 D． 【变式3-3】（多选题）（2024·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到y轴的距离为 C．线段的长度为 D． 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·竞赛）和y轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（2024·高二·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·广西·阶段练习）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型五：抛物线的几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ） A．(3，2) B．(3，－2) C．(－3，2) D．(－3，－2) 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【变式5-2】（多选题）（2024·高三·江苏·专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（多选题）（2024·高二·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 题型六：抛物线中的范围与最值问题 【典例6-1】（2024·高二·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【典例6-2】（2024·高三·全国·阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离的最小值为 . 【变式6-1】（2024·高二·陕西商洛·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ． 【变式6-2】（2024·高二·吉林·期末）已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为 ． 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 . 【变式6-4】（2024·高二·陕西渭南·期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 . 【变式6-5】（2024·高二·天津·期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 题型七：焦半径问题 【典例7-1】（2024·高二·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高二·吉林·期末）设为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-1】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知为坐标原点，抛物线（）的焦点为，抛物线上的点满足，的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·福建厦门·阶段练习）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式7-3】（2024·高二·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2024·高二·江西景德镇·期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2024·安徽·模拟预测）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．（2024·高二·四川凉山·期中）2022年对每一位西昌市民来说是不平凡的一年，新冠疫情让我们美丽的西昌按下了暂停键，可爱的白衣天使，社区工作人员，市政府的工作人员，每天奋战在了抗疫一线，全体市民齐心协力，共同打赢了这场战役．现有两个核酸检测点都在抛物线上，的中点坐标为，疾控中心位于抛物线的焦点，疾控中心到两个核酸检测点的距离之和为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024·高二·辽宁抚顺·期中）若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（2024·高二·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·高二·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（2024·高二·甘肃天水·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ） A． B． C．3 D．5 8．（2024·河南·模拟预测）已知F是抛物线C：的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，横坐标为的点P在直线l上，且满足，则（    ） A．2 B．3 C． D． 9．（多选题）（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 10．（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（    ） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值 11．（多选题）（2024·高二·河南·阶段练习）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 12．（多选题）（2024·高二·全国·假期作业）对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为的有（    ） A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C．焦点到准线的距离为5 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 13．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）以直线 为准线的抛物线的标准方程为 . 14．（2024·高二·天津河北·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 . 15．（2024·高二·全国·专题练习）已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程为 ． 16．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 17．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 . 18．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 . 19．（2024·高二·河北邢台·期末）已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为 . 20．（2024·高二·吉林通化·期末）抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为 ． 21．（2024·高二·广东惠州·阶段练习）抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程． 22．（2024·高二·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 23．（2024·高二·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 24．（2024·高二·全国·课堂例题）已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 25．（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 26．（2024·高二·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 27．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 抛物线 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【典例例题】 题型一：抛物线的定义 【典例1-1】（2024·高二·河北邯郸·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线化为标准方程为抛物线， 则，所以其焦点到准线的距离是. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·浙江金华·期末）法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【解析】设，以线段的中点为平面直角坐标系原点，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则， 设，则， 即，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 故选：B 【变式1-1】（2024·高二·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由于动圆经过定点，且与轴相切， 所以到定点的距离，等于到轴的距离， 根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线. 故选：D 【变式1-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】因为， 得， 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 且点不在直线上， 则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线. 故选：D. 题型二：求抛物线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程： (1)； (2)． 【解析】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上， 所以可得其焦点为，准线方程为； （2）将化成标准方程为， 可得，且焦点在轴负半轴上， 所以焦点为，准线方程为. 【典例2-2】（2024·高二·全国·课堂例题）已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程． 【解析】根据已知条件可设抛物线的标准方程为， 因为点在抛物线上，所以，因此． 从而可知所求方程为． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）经过点； （2）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6. 【解析】（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为； 当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为. 综上，抛物线的标准方程为或. （2）由焦点到准线的距离为6，知. 又焦点在轴的负半轴上，∴抛物线的标准方程为. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）过点(3,-4)； （2）焦点在直线x+3y+15=0上. 【解析】（1）∵点(3,-4)在第四象限， ∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 (p>0)或 (p1>0). 将(3,-4)的坐标分别代入方程中， ∴由，得：；由，得. ∴所求抛物线的标准方程为或. （2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为或. 题型三：抛物线的综合问题 【典例3-1】（多选题）（2024·浙江·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的（    ） A．点的坐标为 B．若直线经过焦点，则 C．若，则线段的中点到轴的距离为 D．若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为 【答案】BC 【解析】抛物线的焦点为,故A错误； 过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在， 设的方程为，与联立消去整理得0恒成立. 设，则， 故B正确； ∵，根据抛物线定义得，则， 而由中点坐标公式得点P的纵坐标，即为点P到x轴的距离为，故C正确； 由得，又 当 解得：，则直线的倾斜角为， 当， 解得：，则直线的倾斜角为， 故D错误. 故选：BC 【典例3-2】（多选题）（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点则下列结论正确的有（   ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【答案】AC 【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A正确，B不正确. 由，消去得：，所以， 所以，所以C正确； 所以，所以D不正确. 故选：AC 【变式3-1】（多选题）（2024·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）已知点，点，点在抛物线上，则（    ） A．当时，最小值为1 B．当吋，的最小值为4 C．当时，的最小值为3 D．当吋，的最大值为2 【答案】ABD 【解析】当时，作抛物线的准线，过作，过作，如下图所示： 可得恰为抛物线的焦点，由抛物线定义可得， 则，故A、B正确； 当时，连接，如下图所示： 设，则，当时，取得最小值为，故C错误； 则，当在线段的延长线上时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-2】（多选题）（2024·福建福州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（    ） A． B． C．直线的方程为 D． 【答案】BC 【解析】由题知，，故抛物线方程为. 设，易知，则 ，由点差法可得 又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率 因为直线l过焦点，所以l的方程为，即 对于A：将代入可得，A错误； 对于B：B正确； 对于C：C正确； 对于D：将代入得，所以，所以，故D错误. 故选：BC 【变式3-3】（多选题）（2024·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到y轴的距离为 C．线段的长度为 D． 【答案】ACD 【解析】显然抛物线的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点， 即，则，解得，抛物线的方程为，准线方程为，A正确； 由消去并整理得：，设， 则有，线段的中点横坐标为，因此线段的中点到y轴的距离为，B错误； ，因此线段的长度为，C正确； 显然点，， 则， 即，因此，D正确. 故选：ACD 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·竞赛）和y轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设动圆圆心为，显然，依题意有：， 即，；又，解得； 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是. 故选：A. 【典例4-2】（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大， 则， 当时，则有，即， 等式两边平方整理可得； 当时，则有，即， 等式两边平方可得. 综上所述，点的轨迹方程为或. 故选：D. 【变式4-1】（2024·高二·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 【变式4-2】（2024·高二·广西·阶段练习）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 【变式4-3】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 题型五：抛物线的几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，抛物线开口向右，焦点坐标为，在直线上； 对于B，抛物线开口向下，焦点坐标为，在直线上； 对于C，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上； 对于D，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上； 故选：AB. 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ） A．(3，2) B．(3，－2) C．(－3，2) D．(－3，－2) 【答案】AB 【解析】抛物线y2＝8x的准线方程为， 设点P的坐标为(x，y)， ∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3. 把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24， ∴y＝±. ∴点P的坐标为(3，±). 故选：AB. 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 【变式5-2】（多选题）（2024·高三·江苏·专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】AC 【解析】由题可知,由，， 所以，. 故选：AC． 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)．由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO| 又F，所以, 所以，所以y0＝±. 故选: BD 【变式5-4】（多选题）（2024·高二·重庆·期末）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【解析】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误. 故选：AC. 题型六：抛物线中的范围与最值问题 【典例6-1】（2024·高二·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 【典例6-2】（2024·高三·全国·阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】设（），则，显然， 则，当时取等号， 所以所求的最小值为. 故答案为： 【变式6-1】（2024·高二·陕西商洛·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知， 所以使得的最小值，则求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小，即点到准线的距离， 则最小值为. 故答案为：5. 【变式6-2】（2024·高二·吉林·期末）已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，则，， 所以 ． 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则， 故当时，取最小值. 又由圆的切线性质可得此时. 故答案为： 【变式6-4】（2024·高二·陕西渭南·期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】抛物线，所以焦点为，准线方程为， 当时，所以，因为，所以点在抛物线内部， 如图， 过作准线的垂线垂足为，交抛物线于， 由抛物线的定义，可知， 故． 即当、、三点共线时，距离之和最小值为． 故答案为：． 【变式6-5】（2024·高二·天津·期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 题型七：焦半径问题 【典例7-1】（2024·高二·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由焦半径公式可得，解得， 故抛物线， 故， 当时，， 直线的斜率为， 当时，， 直线的斜率为， 综上，直线的斜率为. 故选：D 【典例7-2】（2024·高二·吉林·期末）设为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意得，设， 因为，所以， 故， 由抛物线焦半径公式得， 故. 故选：C 【变式7-1】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知为坐标原点，抛物线（）的焦点为，抛物线上的点满足，的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由可得，解得，故，解得，故. 又，故，解得. 故抛物线的准线方程为. 故选：B 【变式7-2】（2024·高二·福建厦门·阶段练习）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】依题意，，准线的方程为， 因为点是上一点，所以设点，，则， 因为，所以，解得， 又是直线与的交点，所以由抛物线的定义可得． 故选：D. 【变式7-3】（2024·高二·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设点、， 因为，即，可得，解得，即点， 由抛物线的焦半径公式可得. 故选：A. 【变式7-4】（2024·高二·江西景德镇·期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 【过关测试】 1．（2024·安徽·模拟预测）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【解析】方程变形为， 表示动点到点和直线的距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线， 故选：C. 2．（2024·高二·四川凉山·期中）2022年对每一位西昌市民来说是不平凡的一年，新冠疫情让我们美丽的西昌按下了暂停键，可爱的白衣天使，社区工作人员，市政府的工作人员，每天奋战在了抗疫一线，全体市民齐心协力，共同打赢了这场战役．现有两个核酸检测点都在抛物线上，的中点坐标为，疾控中心位于抛物线的焦点，疾控中心到两个核酸检测点的距离之和为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意得，作出准线方程， 过点分别作⊥于点，⊥于点， 过点作⊥于点 由抛物线定义得， 因为的中点坐标为， 所以，故， 故. 故选：C 3．（2024·高二·辽宁抚顺·期中）若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设焦点为F，则，即，又点在抛物线上，代入方程可得，所以． 故选：B 4．（2024·高二·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 5．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动圆M的半径为r，依题意：， 点M到定直线的距离为， 所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离， 即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线， 所以此动圆的圆心M的轨迹方程是. 故选：D． 6．（2024·高二·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 7．（2024·高二·甘肃天水·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】将点代入抛物线方程，得，则， 所以. 故选：B. 8．（2024·河南·模拟预测）已知F是抛物线C：的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，横坐标为的点P在直线l上，且满足，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】设，，由，得， 整理得，由抛物线C的方程，得焦点，准线为． 根据抛物线的定义，知，， 所以． 故选：A 9．（多选题）（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【解析】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 10．（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（    ） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值 【答案】AD 【解析】依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确； 令，显然，即， 取，则，即点，此时， 以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径， 因此该圆与准线不相切，B错误； 以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，， 此时，C错误； 线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确. 故选：AD 11．（多选题）（2024·高二·河南·阶段练习）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 【答案】ACD 【解析】易得的斜率存在，设，，， 由得，则由，得. 由，得， 所以，弦中点的纵坐标为，. 故ACD正确，B错误， 故选：ACD 12．（多选题）（2024·高二·全国·假期作业）对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为的有（    ） A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C．焦点到准线的距离为5 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 【答案】ACD 【解析】[抛物线的焦点在x轴上，A满足；设是抛物线上一点， 则，所以B不满足；因为中，，所以焦点到准线距离为5，所以C满足；由于抛物线的焦点为，设过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，则，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线的有ACD．] 13．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）以直线 为准线的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【解析】因为抛物线的准线为，则，解得， 所以由抛物线的定义可知所求抛物线方程为， 故答案为： 14．（2024·高二·天津河北·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 . 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点是坐标原点，焦点是， 所以，解得， 所以抛物线方程为. 故答案为： 15．（2024·高二·全国·专题练习）已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】或 【解析】直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为． 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为． 所以抛物线C的标准方程为或． 故答案为：或. 16．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 17．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 . 【答案】5 【解析】设抛物线的焦点为，则，由抛物线的定义可得到该抛物线准线的距离等于， 所以，当且仅当P、M、F三点共线时成立. 故答案为：5. 18．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 . 【答案】3 【解析】根据题意画图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，由于为上的一动点，则当三点共线时即， 则，解得. 故答案为：3. 19．（2024·高二·河北邢台·期末）已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，则， 圆的圆心为，半径为 所以. 故答案为：. 20．（2024·高二·吉林通化·期末）抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为 ． 【答案】7 【解析】如图，直线是抛物线的准线，方程为，焦点为，过作于，作过作于， ，易知当三点共线，即与重合时，取得最小值． 故答案为：7. 21．（2024·高二·广东惠州·阶段练习）抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程． 【解析】（1）因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上，直线与轴的交点为， 所以，所以，解得，所以抛物线的方程为：． （2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：， 设，联立直线与抛物线方程：，可得：， 且，解得：且， 因为，即，则有， 整理可得：，即， 所以，又点在直线上， 所以，消得， 由且得且， 所以的轨迹方程为：（且）． 22．（2024·高二·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【解析】设动点Q的坐标，点P坐标， 则， 因为， 所以，， 解得，， 代入得， 整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 23．（2024·高二·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【解析】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 24．（2024·高二·全国·课堂例题）已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 【解析】由条件可知，直线l的方程为，因此点A的横坐标为4． 设P的坐标为，则点A的坐标为．因此 因为的充要条件是，所以，即动点P的轨迹方程为． 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线． 25．（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【解析】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 26．（2024·高二·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【解析】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以该抛物线的方程为； （2），，，设，令， 所以直线与抛物线联立， 由解得，，， 则； （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.1米. 27．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 【解析】（1）法一：抛物线的焦点为，设直线l的方程是． 设，，，由 得，显然， ，， 由可得：，则， 由于，，所以，． l的方程为：即 法二：作出抛物线的准线，设A，B在l上的射影分别是C，D，连接AC，BD， 过B作于E．，设，， 由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，． 因此，中，， ，则l的方程为： （2） 当时即l的方程为：，此时的面积最小值为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$