第06讲 等式性质与不等式性质讲义（知识梳理+5大题型+强化训练）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第06讲 等式性质与不等式性质 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 基本事实………………………………………………………………………………1 知识点2 等式的性质……………………………………………………………………………1 知识点3 不等式的性质…………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 利用不等式表示不等关系 ……………………………………………………………2 题型二 作差、作商比较大小 …………………………………………………………………3 题型三 利用不等式性质判断命题的真假 ……………………………………………………6 题型四 利用不等式的性质求对数式的范围 …………………………………………………9 题型五 利用不等式的性质证明不等式………………………………………………………10 四、强化训练 ………………………………………………………………………13 学习目标 1. 熟悉等式的性质. 2. 理解不等式的概念，掌握不等式的性质。 知识梳理 知识点1 基本事实 依据 ； ； 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点2 等式的性质 性质1　如果，那么； 性质2　如果，，那么； 性质3　如果，那么； 性质4　如果，那么ac＝bc； 性质5　如果，，那么 知识点3 不等式的性质 性质1：如果，那么. 性质2：如果，那么. 性质3：如果，那么. 性质4：如果，那么. 性质5：. 推论1：如果，那么. 推论2：如果，那么. 推论3：如果，那么. 推论4：如果，那么. 推论5：如果，那么. 题型归纳 题型一 利用不等式表示不等关系 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 【方法总结】利用不等式表示不等关系时的注意点 ⑴必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示； ⑵在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一； ⑶若待比较的量中涉及特殊的数集要标明. 题型二 作差、作商比较大小 1．（24-25高一下·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 2．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则与的大小关系为 . 【答案】 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又，∴. 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 6．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【方法总结】比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、平方法. ⑴作差法：依据：；；． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论. ⑵作商法：依据：且；且. 步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论. ⑶平方法：依据：且，且， 步骤：①平方；②用作差法或作商法判断. 题型三 利用不等式性质判断命题的真假 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A选项：如果，，，则，但是，故A错误； 对于选项B：如果，则，根据不等式的性质：不等式两边同时加上 或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，故B正确； 对于选项C：如果，，，，则， 但是，故C错误； 对于选项D：，当时，那么，故D错误. 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】对于A，等时，不成立，错误； 对于B，取，不成立，错误， 对于C，取，不成立，错误； 对于D，因为，不等式两端同除，可得，正确， 故选：D 3．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 4．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误． 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，但，故A错误； ，但，故B错误； 因为，所以，所以，又，所以， 所以，故C正确； ，但，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 7．（多选）（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，即，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确， 对于C，若，则满足，此时，所以C错误， 对于D，若，则满足，此时，所以D错误. 故选：AB 【方法总结】⑴判定一个命题是假命题，有下面两种方法：①从已知条件入手，推出与结论相反的结论；②举出反例. ⑵应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”，其中“乘负反序”“同时取倒反序”两种情况极易被忽视，应特别注意. 题型四 利用不等式的性质求对数式的范围 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 故选：D． 2．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如果，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】,, 又,, 两式相加得, 故答案为:. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以 【方法总结】利用不等式的性质求对数式范围时的注意点 ⑴同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. ⑵同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据. ⑶在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 题型五 利用不等式的性质证明不等式 1．（多选）（24-25高一上·贵州·期末）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 2．（多选）（24-25高一上·福建泉州·期末）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，因为，， 所以，当且仅当且， 即时取等号，故A正确， B，因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误， C，因为，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号，所以，即，故C正确， D，因为，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 3．（多选）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A，若，，， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，取可得，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，D正确； 故选：CD． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2） 因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 【方法总结】 ⑴简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. ⑵对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证明，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. 强化训练 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则，A选项错误； 若，则，B选项错误； 若，则，C选项错误； 若，则，则，D选项正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 5．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）若，，则错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项，当，，，时，，，此时，所以选项错误. 对于选项，由可得，则. 又因为，所以，根据不等式的性质：可得，所以选项正确. 对于选项，由，则，则，，根据不等式的性质：，可得，所以选项正确. 对于选项，由前面分析可知，因为函数在上单调递增，所以，所以选项正确. 故选：A. 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【详解】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误． 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 8．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，不妨设满足条件，则，故A错误； 对于B，因为，，故，故B正确； 对于C，由条件可知：，，所以，故，故C正确 对于D，因为，，所以，即，故D正确． 故选：BCD． 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）下列命题正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】A：由，得，即，故A正确； B：由，得，所以，故B正确； C：由，取，则，故C错误； D：由，得，所以，故D正确. 故选：ABD 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A选项，若，，则，A错误； 对于B选项，若，，则，，B正确； 对于C选项，若且，则， 即，C正确； 对于D选项，若，取，，， 则，，此时，D错误. 故选：BC. 3、 填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）. 四、解答题 13.（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：因为， 所以； （2）设， 于是，解得，则， 由，得，因此，即， 所以的取值范围是 14．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）实数，则，证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由，得，而，则， 于是，又，所以. （2）（i）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （ii）由（i）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式性质与不等式性质 目录： 一、学习目标 ………………………………………………………………………1 二、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 基本事实………………………………………………………………………………1 知识点2 等式的性质……………………………………………………………………………1 知识点3 不等式的性质…………………………………………………………………………2 三、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 利用不等式表示不等关系 ……………………………………………………………2 题型二 作差、作商比较大小 …………………………………………………………………3 题型三 利用不等式性质判断命题的真假 ……………………………………………………4 题型四 利用不等式的性质求对数式的范围 …………………………………………………5 题型五 利用不等式的性质证明不等式 ………………………………………………………5 四、强化训练…………………………………………………………………………6 学习目标 1. 熟悉等式的性质. 2. 理解不等式的概念，掌握不等式的性质。 知识梳理 知识点1 基本事实 依据 ； ； 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点2 等式的性质 性质1　如果，那么； 性质2　如果，，那么； 性质3　如果，那么； 性质4　如果，那么ac＝bc； 性质5　如果，，那么 知识点3 不等式的性质 性质1：如果，那么. 性质2：如果，那么. 性质3：如果，那么. 性质4：如果，那么. 性质5：. 推论1：如果，那么. 推论2：如果，那么. 推论3：如果，那么. 推论4：如果，那么. 推论5：如果，那么. 题型归纳 题型一 利用不等式表示不等关系 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【方法总结】利用不等式表示不等关系时的注意点 ⑴必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示； ⑵在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一； ⑶若待比较的量中涉及特殊的数集要标明. 题型二 作差、作商比较大小 1．（24-25高一下·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则与的大小关系为 . 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 6．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【方法总结】比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、平方法. ⑴作差法：依据：；；． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论. ⑵作商法：依据：且；且. 步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论. ⑶平方法：依据：且，且， 步骤：①平方；②用作差法或作商法判断. 题型三 利用不等式性质判断命题的真假 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 8．（多选）（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【方法总结】⑴判定一个命题是假命题，有下面两种方法：①从已知条件入手，推出与结论相反的结论；②举出反例. ⑵应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”，其中“乘负反序”“同时取倒反序”两种情况极易被忽视，应特别注意. 题型四 利用不等式的性质求对数式的范围 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如果，，则的取值范围是 . 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 【方法总结】利用不等式的性质求对数式范围时的注意点 ⑴同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. ⑵同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据. ⑶在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 题型五 利用不等式的性质证明不等式 1．（多选）（24-25高一上·贵州·期末）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·福建泉州·期末）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【方法总结】 ⑴简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. ⑵对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证明，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. 强化训练 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）若，，则错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）下列命题正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 3、 填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则M与N的大小关系是 ． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 13.（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 14．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$