精品解析：山东省菏泽市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（B）

山东省菏泽市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（B） 2024.4 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷；草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足：，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，然后根据复数相等计算求解；或变形为两边取模后平方，计算求解即可. 【详解】解法1：设，由已知， 由复数相等可得，解得，故. 解法2：由已知得，① 两边取模后平方可得， 所以，代入①得. 故选：B. 2. 设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求出，结合求出答案. 【详解】由正弦定理得，即， 故， 因为，所以，故. 故选：A 3. 已知向量不共线，且，若与反向共线，则实数λ的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，然后将，代入化简，可得，从而可求出实数λ的值. 【详解】解：由于与反向共线，则存在实数k使， 于是， 整理得． 由于不共线，所以有，整理得， 解得或． 又因为，故． 故选：B． 4. 已知的边上有一点满足，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出向量与向量的关系，再利用平面向量基本定理即可求解． 【详解】 因为的边上有一点满足， 所以，则， 所以， 故选：A 5. 已知向量，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为数量积大于0，且不平行，即可求实数的取值范围. 【详解】若与所成的角为锐角，则，且与不平行， 即，解得：， 若向量，则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D 6. 在等腰中，，则（ ） A. -24 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，结合数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，且，， 故选：D 7. 已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可. 【详解】∵是关于的方程（，）的一个根， ∴（，），化简得， ∴，解得， ∴， 如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和， 则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为， 若，则， ∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆， ∴围成的面积为. 故选：A. 8. 设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算结合充要条件分析判断. 【详解】设与的夹角为， 当时，因为， 可得， 整理得，即，则， 且点不共线，所以与的夹角为钝角； 当与的夹角为钝角时，则， 所以，可得， 即； 所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题中正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，则 D. 若复数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的特质，直接判断AD，举例判断BC. 【详解】A.若为实数，则，那么也是实数，故A正确； B.若，，所以不一定是实数，故B错误； C.若，，则，此时，，故C错误； D.若，则，所以，故D正确. 故选：AD 10. 下面有关三角形的描述正确的是（ ） A. 若的面积为，则 B. 在中，．则满足这样的三角形只有一个 C. 在中，若，则最大内角是最小内角2倍 D. 在中，，则边上的高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合三角形的面积公式与余弦定理进行计算，对于B，利用正弦定理可得，从而可求出角判断，对于C，利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理和二倍角公式求解，对于D，由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】对于A，由题意得，整理得， 所以，所以，得， 因为，所以，所以A正确， 对于B，由正弦定理得，则，得， 因为，所以或，所以满足条件的三角形有2个，所以B错误， 对于C，因为， 所以由正弦定理得， 设，解得， 则最大角为，最小角为，由余弦定理得，， 所以， 因为，所以均为锐角，所以， 所以，所以最大内角是最小内角的2倍，所以C正确， 对于D，由余弦定理得，则，即，解得或（舍去）， 因为，，所以， 所以的面积为， 设边上的高为，则，解得，所以D正确， 故选：ACD 11. 对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在使得 D. 设，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由定义变换的新向量，结合向量平行的条件分析判断，对于B，结合向量垂直的条件分析判断，对于C，由向量夹角的坐标运算分析判断，对于D，由新定义向量的变换，得到向量间的关系，求出，再计算验证即可. 【详解】设，则，因为，所以， 对于A，若，则，所以 ，所以，所以A正确， 对于B，若，则， 所以 ，所以，所以B正确， 对于C， ， ， 所以，所以C错误， 对于D，当时，，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接计算即可得解. 【详解】因为， 所以由题意得，. 故答案为：. 13. 如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，若山高米，则山高等于___________. 【答案】300米 【解析】 【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出 【详解】解：在中，，所以米， 在中，，则， 由正弦定理得，， 所以米， 在中，米， 所以米， 故答案为：米 14. _______________． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算，再根据指数运算，化简求值. 【详解】，， 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数． （1）实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析求解； （2）根据题意结合复数的几何意义分析求解； （3）根据题意求得，结合复数的模长公式运算求解. 【小问1详解】 若复数是实数，则，解得； 若复数是纯虚数，则， 解得. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． 【小问3详解】 因为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． 16. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）已知的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合向量加减法求出、，进而得出即可得证. （2）先求出，根据向量垂直得，再结合向量运算法则计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，又与有公共点， 所以A，B，C三点共线. 【小问2详解】 由得， 因为向量与垂直， 所以，即， 整理得. 17. 在锐角中，已知． （1）求； （2）求周长的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及已知条件直接求解即可. （2）解法一：利用正弦定理将周长表示为某一个角的三角函数形式，再利用三角函数的有界性进而求解；解法二：利用余弦定理及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为△为锐角三角形，所以，所以， 所以， 所以，即． 【小问2详解】 解法一：由正弦定理可得， 所以 = ， 在锐角△中，因为 解得，即 所以当，即时，取最大值， 此时. 解法二：由余弦定理可得，． 代入得，即， 因为,所以， 即，解得, 当且仅当时等号成立， 所以. 18. 在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出．如：将向量绕坐标原点逆时针方向旋转得到向量，由，以为终边的角为，则点，进而求得点．借助复数､三角及向量的知识，可以研究平面上点及图象的旋转问题．请尝试解答下列问题： （1）在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针方向旋转至．求点的坐标； （2）设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数． 【答案】（1）点的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正余弦的和差角公式，即可求解， （2）根据复数三角表示，即可由乘法求解. 【小问1详解】 设以为终边的角为，点的坐标为,， 所以，，， 将绕坐标原点逆时针方向旋转至， 则的坐标为，， ， ， 点坐标为； 【小问2详解】 设向量对应的复数为， 则， ． 19. 如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，． （1）求边、的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合正弦定理化简得出，再结合可求得边、的长度； （2）设，由题意可得，利用平面向量数量积的运算性质结合可得出关于的等式，解出的值，进而可得出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）设，，其中、，根据、、三点共线可得出，再利用平面向量数量积的运算性质结合可得出，然后利用三角形的面积公式可求得的值. 小问1详解】 解：因为， 所以，，即， 所以，，即，即． 又因为，所以，. 【小问2详解】 解：设，因为为边上的中线， 所以，， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，所以，，则， 故， 因此，． 【小问3详解】 解：由（2）知，，为的中点，则． 设，，其中、． 所以，得． 又、、三点共线，则、共线， 设，则，所以，， 因为、不共线，则，即， 由，得， 又， 所以， 即， 又因为， 所以，，所以，，解得， 所以：，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省菏泽市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（B） 2024.4 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷；草稿纸上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足：，那么（ ） A. B. C. D. 2. 设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知向量不共线，且，若与反向共线，则实数λ的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 4. 已知的边上有一点满足，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在等腰中，，则（ ） A. -24 B. 12 C. 16 D. 24 7. 已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设点不共线，则“”是“与夹角为钝角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题中正确是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，则 D. 若复数，则 10. 下面有关三角形的描述正确的是（ ） A. 若的面积为，则 B. 在中，．则满足这样的三角形只有一个 C. 在中，若，则最大内角是最小内角的2倍 D. 在中，，则边上的高为 11. 对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在使得 D 设，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数________________． 13. 如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，若山高米，则山高等于___________. 14. _______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数． （1）实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ （2）若在复平面内对应点位于第四象限，求的取值范围． （3）若，求的取值范围． 16. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）已知的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？ 17. 在锐角中，已知． （1）求； （2）求周长最大值． 18. 在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出．如：将向量绕坐标原点逆时针方向旋转得到向量，由，以为终边的角为，则点，进而求得点．借助复数､三角及向量的知识，可以研究平面上点及图象的旋转问题．请尝试解答下列问题： （1）在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针方向旋转至．求点的坐标； （2）设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数． 19. 如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，． （1）求边、的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$