第二节 第1课时 单调性与最大(小)值-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

第三部分 巧对照一初高中知识衔接 x+2,.x≤-1， 6.(多选)已知函数f(x)= 1x,-1<x<2. 关于函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-o,4) C.f(1)=3 D.若f(x)=3,则x的值是3 E.f(x)<1的解集为（一1,1） 7.函数fx)=z”n的图象如图，则fx)≤m-2m的解集为 ( A.(-c∞，-2) 1,》 c(》 D.(-1,1) 8.已知函数f(x)= x十x,0<x<2, 若f(a)=f(a十2)，a∈(0，十o∞)， -2x+8,x≥2. 则（日） A.2 B音 C.6 7 0. 9.已知函数f(x)满足f(2x十1)=4x2+3,则f(x)= x+2,x>0 10.已知函数f(x)= x2,r≤0 若fk)=是，求实数k 第二节 函数的基本性质 第1课时 单调性与最大（小）值 课程标准要求 1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义 2.掌握定义法证明函数单调性的步骤.（重点、难点） 3.掌握求函数单调区间的方法.（重点） 4.理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（难点） 5.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.（重点、难点） 6.掌握求二次函数在闭区间上的最值.（重点） 初中知识回眸 二次函数y=ax十bx十c(u≠0)的图象和性质 二次函数y=a.x2+b.x十c(a≠0)具有下列性质： 1.当a>0时，函数y=a+b十ca≠0)图象开口向上：顶点坐标为一品如。产)，对称轴为直 线x=一会当<一名时y随着x的增大而减小：当x>一品时y随着x的增大面增大：当 x=一 时，函数取最小值)= Aa L59 感在起点·初升高知识衔接 数学 2.当a<0时，函数y=a产十bc+c图象开口向下：顶点坐标为（一名，4如r),对称轴为直线自 会当<一名时y随者x的增大面增大：当>一会时y随着x的增大面减小：当x= 之时，函数取最大值y=如。 Aa 图重温中考 1.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关 系如下表所示 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应 定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ x/元 130 150 165 /件 70 50 35 2.把二次函数y=x十bx+c的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x的 图象，求b,c的值 3.已知函数y=x2,一2≤x≤a,其中a≥一2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和 最小值时所对应的自变量x的值. 3 60I 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 高中新课学习 知识点增函数与减函数 1,增函数与减函数的定义 般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I:如果x1,x2∈D,当x,<x2时 条件 都有f(x)<f(x) 都有fx)>f(x) 那么就称函数∫(x)在区间D上是增 那么就称函数∫(x)在区间D上是减 结论 函数 函数 = y=) 图示 fxih Ax) Ax 02 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严 格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质. (2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调.如f(x)=x等. 1,x是偶数， (3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)= ,它的定义域是N,但不具有单调性， 0,x是奇数 例1（多选）下列命题中，正确的命题是 A.函数y=2.x”十x十1在(0，十o)上是增函数 B函数y=在(-∞，1U1,十∞)上是减函数 C.函数y=√5十4x一x的单调区间是[2，十∞) D.已知f(x)在R上是增函数，若a十b>0,则有f(a)+f(b)>f(一a)十f(一b) AD画数y=2x十x中1的对称轴为=一名=一开口向上，所以画数y=2以十x十1在 (0,十)上单调递增，故A正确：因为当=-2时y=一号当=2时y=1,所以函最y一马在 (-o∞，-1)U(一1，十∞)上不是减函数，故B错误：解不等式5十4x-x2≥0得-1≤x≤5，函数y= √5十4r一z的定义城为[-l,5],故C错误：由a十b>0得a>-b,b>-a,由于f(x)在R上是增函 数，故f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(一a)+f(-b),故D正确.故选AD. 161 藏在起点·初升高知识衔接 数学 知识点数最大值与最小值 最大值 最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：Hx∈I,都有 条件 f(x)≤M f(.x)≥M 3x∈I,使得f(x)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 例2若函数y=ax十1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是 A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 Ca>0时，由题意得2a+1-(a+1)=2,即a=2;a<0时，a十1-(2a十1)=2，∴.a=-2. 综上，a=士2. 知识点。利用函数的单调性求最值 例3 函数八x)=x+千在区间[-号2]上的最大值为 4 () A号 B号 C.3 D.4 B设1=x十1，则问题转化为求函纸g0=4+1-1在区间[23]上的最大值.根据画数的性 质，得画数g)在区同[2,2]上单调递减，在区间[23]上单调递增所以g maxg(）g3)=max 5,10=15 23 ，故选B. 知识点四函数最值的实际应用 例4某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=一x2十21x和L2= 2.x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 () A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 C设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15一x)辆，公司获利为 L-+21+215-)-+19r+30=-(-9+30+1g .当x=9或10时，L最大为120万元.故选C. 随堂达标演练 444444440444444444 L.函数f(x)=x- 2(x∈[1,2])的最大值为 A.-1 B.1 C.2 D.2 621 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 2.设定义在R上的函数f(x)=xx,则f(x) A.只有最大值 B只有最小值 C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值 3.已知函数f(x)=x2一2x在区间[一1,1]上的最大值为3，则实数t的取值范围是 A(1,3] B.[1,3] C.[-1,3] D.(-1,3] 4.（多选)下列关于函数(x)=√一x+2x+3的结论正确的是 A.单调递增区间是[一1,1] B.单调递减区间是[1，十∞) C.最大值为2 D.没有最小值 ax-lr<a, 5.(多选)设函数f(x)= f(x)存在最小值时，实数a的值可能是 x2-2a.x十1，x≥u. A.-2 B.-1 C.0 D.1 6.(多选)关于函数y=√4一(x十1)，下列说法正确的是 A.在区间[一1,0]上单调递减 B.单调递增区间为[一3，一1] C.最大值为2 D.没有最小值 7.设函数)=2票2在区间3，上的最大值和最小值分别为M,m则M+m= 8.已知函数f(x)=x十ax十3，若x∈[1,2]，恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围为 第2课时 函数的奇偶性 课程标准要求 L.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.（难点） 2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.（重点） 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.（重点） 初中知识回眸 二次函数的三种表示方式 L一般式 y=a.x+bx+c(a≠0). 2.顶点式 y=a(x十h)十k(a≠0)，其中顶点坐标是（一h,k). 3.交点式 y=a(x一1)(x一x)(a≠0)，其中x,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 163参考答案 确：当x≤-1时，x十2<1，解得x<-1,当一1<x<2 时，x<1,解得一1<x<1,因此f(x)<1的解集为 名法y=十虹+(=u+会+（一气把它的图象向 (一o,一1)U(一1.1)，故E错误.故速BD. 上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到y= D由图可如，了)=团”n的定义提为 +台十4)+（一冬+2的图象，也就是函数y=子的图 (xx≠士1}，且经过点(0，-1)， 象，所以， 而x一m≠0，解得x≠m,所以m=1. 一4=0 2 所以f(0)=”=”=一1，解得=1. 解得b=一8，c=14. -+2=0. 所以x)=x”-m百 法二：把二次函数y=x+十c的图象向上平移2个单 位，耳向左平移4个单位，得到函数y=的图象，等价于 所以不等式f(x)≤m一2m,得F可≤1-2X1=-1山， 把二次函数y=x的图象向下平移2个单位，再向右平移 4个单位，得到函数y=x+bx+的图象. 卑1+1=<0… 由于把二次函数y=x的图象向下平移2个单位，再向右 等*于ea 平移4个单位，得到函数y=(x一4)十2的图象，即为 y=x2一8x+14的图象，.函数y=x一8.x+14与函数 解得一1<x<1, y=x十br十c表示同一个函数，b=一8，=14. 综上，所求不等式的解集为（一1,1），故选D 3.解：(1D当a=一2时，函数y=x的图象仅仅对应着一个 8A国为函数f()=广+，0<< 点（一2,4），所以，函数的最大值和最小值都是4，此 1-2x+8,x≥2 且f(a)= 时x=一2： (2)当一2<a<0时，由图①可知，当x=一2时，函数取最 f(a+2),4∈(0，十o∞).当0<a<2时，a2+a= 大值y=4:当x=a时，函数取最小值y=a: -2(4+2)+8,肿a+3-4=0,解得a=-4我4=1， (3)当0≤a<2时，由图②可知，当x=一2时.函数取最 当a≥2时，-2a+8=-2(a+2)+8,无解，综上，a=1, 大值y=4:当x=0时，函数取最小值y=0: 所以f(日）=f)=2.故选八 (4)当a≥2时，由图③可知，当x=a时，函数取最大值 y=G:当x=0时，函数取最小值y=0. 9.答案：x-2x十4 【随堂达标演练】 解桥：令1=2十1，则-号，所以f)=4(号） 1.B周为画教y=y=一2在区间[1,2]上均为增画 3=t-21+4,故f(x)=x2-2.x十4 数，故函数f(x)在[1,2]上为增函数，当x∈[1,2]时， 10.答案：-2或 f(r).=f(2)=2-1=1.故选B. 解桥：当6>0时，由了k)=号，得十2=号，解得 2.Df(x)= ≥0，画出图象可知，既无最大值又 1-x2x<0, 无最小值.故法D. 长=子当长0时，由f)=号得=号解得长=号 3.D二次函数f(x)=x2一2x的图象开口向上，对称轴为 (合去)浅=一，棕上=一是或5= 直线x=1. ①当一1<t≤1时，函数f(x)=x一2x在区间 [一1.t门上单调递减，则f(x)=f(-1)=3 第三节品数的装本性质 ②当>1时，函数f(x)=x一2x在区问[一1,1]上单 调递诚，在区间[1,1门上单调递增：此时，函数y一∫(x)在 第】课时单调性与最大（小）值 r=一1成x=1处取得最大值，由于f(r)=3= 【重温中考】 f(-1).所以，f(t)=1一21≤3，脚1-21-3≤0.解得 1,解：由于y是x的一次函数，于是，设y=kx十b, 一11≤3，此时1<3，综上所述，实数1的取值范国是 将x=130,y=70:.x=150,y=50代入方程，有 (一1,3.故选D. 170=130k+b: 4.AC要使西数有意义，则-x十2x十3≥0，得一1≤x≤ 150=150k+b, 3.故B错误：语数f(x)=、一x干2r十3由f(n)=a 解得k=一1，b=200. 与u=一x2+2.x十3=一(x一1)+4复合而成，当x∈ .y=-x+200. [-1,1]时，=一x2+2x+3单调递增，当x∈[1,3]时， 设每天的利润为（元），则 u=一x2+2x+3单调递减，又f(u)=√m在[0，十∞)上 =(-x+200)(:x-120)=-x+320x-24000 单调谨增，所以f(x)=√一x+2x十3在[一1,1门上单 =-(x-160)2+1600, 调递增，在[1,3]上单洞逆减，故了(x)…=f(1)=2,又 ,当x=160时，x取最大值1600. f(-1)=f(3)=0,所以f(x)=0,放A,C正确， 容：当售价为160元/件时，每天的利润量最大，为1600元. D错误，故选AC. 187 藏在起点·初升高知识衔接 数学 (ax-lx<a. 5.ABC因为f(x)= 1x2-2a.x+1,xa. 第2课时孟数的奇偶性 若a>0.当x<a时f(x)=ar一1在（一o,a)上单调递 【重温中考】 增，当x·一∞时f(x)→一©，此时虽数不存在最小值： 1,解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的 若a=0,则f(x)= -1x0, 纵坐标， x2+1,x≥0. 此时f(x)=一1，特 .顶点的纵坐标为2 合题意： 又顶点在直线y=x十I上， 若&<0，当x<d时f(r)=ar一1在（一o∞，a)上单调递 所以，2=x十1，x=1. 减，当x≥a时f(x)=x-2ax十1.二次西数y=x2 .顶点坐标是(1,2)， 2ax十1对称轴为r=a,开口向上，此时f(x)在 设该二次函数的解析式为y=a(x一1)十2， [4,十o)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，只需 :二次函数的图象经过点(3，一1)， 。2-1>≥a-2a+1.解得a≤-1，综上可得a∈ a<0, 六-15a8-1+2.解得a=一是 (一o©，-1门U{0.故法ABC. 6.ABC由4一(x十1)≥0得一3≤x≤1，肿函数y= 二次函数的解析式为y-一子红-1)+2， 、4-(x+1)的定义城为[-3,1]，令1=4-(x+1), 则1=4一(x十1)的图象是开口向下，对称袖为x=一1 的抛物线，所以函数1=4一(x十1)在[一3，一1]上单调 2.解：法一：二次函数的图象过点（一3,0），(1,0)， 递增，在[一1,1门上单调递减，又y■F单调递增，所以 ∴可设二次函数为y=a(x+3)(x一1)(a≠0)， 展开，得y=a.r十24x一3a, y=√4一(x+1)在[-3，一1门上单调递增，在 [-1,1]上单调递诚，故A、B正确；y… 顶点的纵坐标为二12a-a一4a, 4a 、4-(-1+1)=2.当x=-3时y=√4-（一3+1）=0. 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离等于2， 当x=1时y=√4-(1十1)=0，别y=0,故C正确，D错 d-4a=2,即a=士 误.故速ABC 7.答案：10 所以，二次函数的表达式为y一号十一是或y 解析：因为f代x)-2二2)+4=2+4 1 r-一2 -2 所以(x)在[3,4门上是减函数 法二：：二次函数的图象过点（一3,0），(1,0) 所以m=f(4)=4,M=f(3)=6. .对称轴为直线x=一1 所以M十m=6十4=10. 又顶点到x轴的距离为2， 8.答案：[-25，十∞) .顶点的纵坐标为2或一2 解析：法一：若x∈[1,2]，恒有f(x)≥0，只需 于是可设二次函数为y=a(.x+1)”十2.或y=a(x十1) f(x)≥0， -2. 设函数f(x)=x+ar+3在[1,2]上的最小位为g(a),则 由于函数图象过点(1,0)， D当-号<1，即a>-2时，ga)-f(1)=1十a+3 .0=a(1十1)2+2，或0=a(1+1)-2. 4+a≥0，即a≥-4，所以a>-2: a= 或a= (2)当-受>2，即a<-4时，g(a)=f(2)=4+2a+3= 所以，所求的二次函数为y=一号(x十1)+2，或y 7十2a≥0，即a>-号，所以北时不满是题意： r+1)-2. 1 (3)当1长-受<2，即-4长a≤-2时，g(a)=f(-受） 3.解：设该二次函数为y=a.x+bz十c(a≠0). -号-号+3=-号+3：所以-号+8≥0，学d2≤12释 由函数图象过点（一1，一22），(0，-8)，(2,8)，可得 -22=a-b+c -2w5≤a≤25，则-23≤a≤-2. -8=c 综上，实数a的取值范国为{aa≥一25} 8=4a+2h十c 法二±若Hx∈[1,2]，恒有f(x)≥0，即对任意x∈ 解得a=一2，b=12,c=一8. [1,2]恒成立，所以a≥-x-3对任意的x∈[1,2]位成 所以，所求的二次函数为y=一2x十12x一8. 【随堂达标演练】 立而-一是-(+是）K-2,当且仅当r-是 1,B由题意知盛数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(x) 因为|一3<1一3.14<x,当x∈[0，十0∞)时，f（x)是减 即x=时取等号，所以a≥一25.国此，实数a的取值 函数，所以f(|一3)>f八|一3.14)>f(π)，所以f(π) 范国是[-2g,+o∞). f(-3.14)<f(-3).故选B. 88