第一章第一节 集合的概念-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

拓展学科 高效衔接工具 学习策略点拨 第三部分 获 取 识点抢先看 工巧对照一初高中知识衔接 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念 课程标准要求 1.通过实例了解集合的含义.（难点） 2.掌握集合中元素的三个特性.（重点） 3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.（重点、易混点） 初中知识回眸 绝对值理解： 1.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值， a(a>0). 2.正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即α=0(a=0), -a(a<0). 3.两个负数比较大小，绝对值大的反而小 4.两个绝对值不等式：|x<a(a>0)台-a<x<a:x|>a(a>0)白.x<-a或x>a. 国重温中考 1.若x=5,则x= :若|x=|一4，则x= 2.如果a+|b=5,且a=-1,则b= :若1-c=2,则c 3.解不等式：x-1|+|x-3>4. 10 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 高中新课学习 知识点 判断元素是否构成集合 一，集合的含义与表示 1.元素 一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的英文字母a,b,c,…表示. 2.集合 把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的英文字母A,B,C,…表示 二、元素的三个特性 1.确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个 集合中就确定了.简记为“确定性”， 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合，例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很 难的题目等， 2,互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为“互异性” 3.无序性 给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性” 例1考察下列每组对象，能构成集合的是 ( ①中国各地的美丽乡村②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的自然数 ④截止 到2022年1月1日，参与共建“一带一路”的国家. A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④ B对于①，“美丽”标准不明确，不符合集合中元素的确定性，∴.①中对象不能构成集合； 对于②③④，每组对象的标准明确，都符合集合中元素的确定性，∴.②③④中对象可以构成集 合.故选B. 知以点判断元素与集合的关系 L,属于与不属于概念 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a任A. 2.常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N或N Z Q R 感在起点·初升高知识衔接 数学 例2给出下列6个关系：①号∈R,@,∈Z.③0EN,④，4∈N.@xEQ.O1-2引eZ其中正 确命题的个数为 () A.4 B.2 C.3 D.5 A号为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以号R,所以①正确：3是无理数，所以 √3任Z,所以②错误：0不是正整数，所以0任N”,所以③正确：√4=2∈N,所以①正确：π是无理 数，所以π庄Q,所以⑤正确：一2=2∈7，所以⑥错误，故选A. 知以点三利用集合元素的互异性求参数 元素的重要特征之互异性： 一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为“互异 性” 例3已知集合A=(12,a2+4a,a-2},-3∈A,则a= A.-1 B.-3或1 C.3 D.-3 D.-3∈A,∴.-3=a2+4a或-3=a-2. 若-3=a十4a,解得a=一1或a=一3. 当a=一1时，a十4a=a一2=一3，不满足集合中元素的互异性，故含去： 当a=一3时，集合A={12,一3，-5}，满足题意，故a=一3成立. 若一3=a一2，解得a=一1，由上述讨论可知，不满足题意，故含去. 综上所述，a=一3.故选D, 川识点四根据集合中元素个数求参数 【注意】要对方程的二次项系数a进行分类讨论：当4一2=0时为一元一次方程，当4一2≠0时 为一元二次方程 例4集合(x(a一2)x十3x-1=0,.x∈R}为单元素集合，则a= 答案：2或-号 解析：因为集合{x(a-2).x十3r一1=0，x∈R}为单元素集合， 所以(a一2)x2十3.x一1=0有且只有一个解， 当a-2=0,即a=2时， 方程(a-2)r+3x-1=0可化为3江-1=0，解得x=3,满足题意： 当a-2≠0，即a≠2时，4=3-4(a-2)×(-1)=0,解得a=-}, 经检脸：当。=-子，方程(a-2)+3江-1=0的解为x=号，满足题意： 综上：a=2或a=一子故答案为2浅- 121 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 知识点①用列举法与描述法表示集合 集合的表示方法： 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{)”括起来表示集合的方法叫做列举法 【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开： (2)集合中的元素必须是明确的： (3)集合中的元素不能重复： (4)集合中的元素可以是任何事物. 2.描述法 一般地，A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 {xP(x)},这种表示集合的方法简称为描述法， 例5集合A={xx2一3.x十2=0)，用列举法表示为 A.1 B.2 C.(1,2 D.(2 CA={xx-3.x+2=0}=(x(x-1)(x-2)=0}=1,2.故选C. 随堂达标演练 1.下列各组对象不能构成集合的是 A.1~10之间的所有奇数 B.北方学院2024级大学一年级学生 C.滑雪速度较快的人 D.直线y=2x十1上的所有的点 2.(多选)下列选项中能构成集合的是 A.高一年级跑得快的同学 B.中国的大河 C.3的倍数 D.大于6的有理数 3.已知A={xx=3k+1,k∈Z),则下列判断正确的是 A.-4∈A B.4在A C.-7∈A D.7∈A 4.下列集合中，不同于另外三个集合的是 A.{1} B.{y∈R(y-1)2=0 C.{X=1 D.{xx-1=0 5.已知集合A=女∈Z婴∈乙.m≤9，写出一个满足A中有8个元素的m的值 A.5 B.6 C.7 D.9 L13 赢在起点·初升高知识衔接数学 6.已知集合A={xx=2k,k∈Z,B={xx=2m+1,m∈Z},C={xx=4n+1,n∈Z},若a∈A, b∈B,则必有 () A.a+b∈A B.a十b∈B C.a+b∈C D.a十b不属于集合A、B、C中的任何一个 7.(多选)以下命题中正确的是 () A.所有正数组成的集合可表示为{xx>0 B.大于2020小于2024的整数组成的集合为{x2020<x<2024} C.全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形} D.N中的元素比N,中的元素只多一个元素0，它们都是无限集 8.(多选)下列说法，其中正确的是 A.集合{x∈Nx3=x}用列举法表示为{0,1} B.实数集可以表示为{xx为所有实数}或{R x十y=0, C.方程组 x-y=- 的解组成的集合为x=一2小一号 D.方程(x一2)2+(y十3)2=0的所有解组成的集合为{(2，一3)》 9.集合A={a°十u-2,1-a,2},若4∈A,则a= 10.若关于x的方程ax一2x十1=0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的 元素个数为 第二节集合间的基本关系 课程标准要求 1.理解集合之间的包含与相等的含义，（重点） 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.（难点、易混点） 3.在具体情境中，了解空集的含义.（难点） 初中知识回眸 常用乘法公式： 1.平方差公式：a2-b=(a十b)(a-b) 2.立方差公式：a-b=(a-b)(a2十ab+b)》 3.立方和公式：a3+b3=(a+b)(a°-ab十b)》 4.完全平方公式：(a士b)=a”士2ab十b 5.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 6.完全立方公式：(a±b)3=a土3ab+3ab士b 141参考答案 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 所以实致集可以表示为{x|「为实数}或R,B不正确：方 程组 x+y=0 的解是有序实数对，而集合 第一章 集合与常用逻辑用语 x3y=-1 :=一亨=号}表示两个等式组成的集合.C不正确： 第一节集合的概念 由(r一2)'十(y+3)'=0,得x=2且y=一3，则所有解组 成的集合为{(2，-3)}，D正确.故迭AD, 【重温中考】 9.答案：2 1.5或-54或-4 解析：因为4∈A,所以，若ad十4一2=4，则可得a=一3 2.4或-4-1或3 或2， 3,解：由x-1=0,得x=1:由x-3=0,得x=3: ①若x<1,不等式可变为一(x一1)一(x-3)>4, 当a=一3时，1一a=4,不满足互并性，舍去： 即一2.x十4>4，解得<0， 当a=2时，1一a=一1，满足题意： 又x<1, 若1一a=4,别a=-3,此时a+a一2=4，不满足至异 x<0: 性，合去： 综上a=2 ②若1≤x<3,不等式可变为(x一1)一(x一3)>4， 10,答案：2 即2>4， 解析：由题知， .不存在满足条件的x: ③若x≥3，不等式可变为(x-1)十(x一3)>4， 当a=0时。-2z十1=0的解有且仅有一个r=号， 即2x一4>4，解得x>4, 所以a=0符合题意： 又x≥3，.x>4. 当a中0时，要使x的方程ar一2x十1=0的解集有且 综上所述，原不等式的解为x<0或x>4. 仅有一个元本，则有：△=4-4a=0,则a=1.所以实数口 【随堂达标演练】 的值组成的集合中的元素个数为2. L,C由于集合中的元素需满足骑定性，A,B,D选项中的 对象均满足确定性，而C选项中，滑雪速度的快没没有确 第三节集合河的装本关票 切的标准，所以这组对桑不能构成朵合，故选C 【重温中考】 2.CD集合的元素要满足“确定性”，所以A,B选项不符合 1,解：a+6+c2=(a+b+c)2-2(ah+bc+ae)=8. 题意，C,D选项待合题意，故速CD, 2.解：x2一3.x十1=0 3D令3张十1=-4，得k=一号E乙，期-4EA,故A错 …r≠0 误：今3k十1=4，得k=1,则4EA,故B错误：令3k十1= +1=8 -7,得=-号EZ,则-7EA,故C错接：令3十1=7， 原武=+-1+=+[x+'-到 得k=2,则7∈A,故D正确.故选D. =3(3-3)=18 4.C选项A,BD都是数集，且只包含一个元素，而C选项表 示的集合里的元素是X=1,则孩集合不是数集.数选C 3.解：，a+b+c=0, a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b 5.Bm的值可以是6，满足m≤9.要5∈么.所以r=1,-1, 原式=4.+6，“++c.a+b-(-a+- b ab 2,-2,3,-3.6,-6.所以集合A中有8个元素.故选B ac 6.B由题意设a=2k,b=2m十1，其中k,m都是整数，别 +(-2_-。+b+C0 ab a十b=2k十2m十1=2(k十m)+1,其中k十m是整数.可以 a+b=(a+b)[(a+b)-3ab]=-c(c-3ab) 是奇数也可以是偶数，，a十b∈B.故选B =-c+3abc 7.AD正数均大于0，故所有正数的集合应表示为{xx>0}, 故A正确：大于2020小于2024的整数组成的集合应表 a+B十d-3abc②，把②代人①得原式--3ac- abe 示为{x∈Z2020<x<2023}或{2021,2022,2023)，故 -3 B不正确：全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或 【随堂达标演练】 {xx是三角形，故C不正痛：N为自然数集，N为正整 1.C图为{2,3}CM三{1,2,3,4,51，所以集合M可以 致集，故N中的元素比N,中的元素只多一个元素0，它们 为：(2.3)，{1,2,3}，{2,3.4}，(2.3.5)，(1,2,3,5}， 都是无限集，故D正确.故远AD. (1,2.3,4}.{2,3,4,51,1,2.3,4,5共8个.故选C 8.AD对于A,由x=x,得x=0或x=1或x=一1·而 2.D集合A={xx-7<0,x∈N”) 一1任N,圆此集合{x∈Nx=x}月列举法表示为{0,1)， A正确：对于B,桑合表示中的符号“(”已包含“所有” 7eN=1.23.45,61.B=y9∈N “全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数构成的集合， y∈A}={1,2,3,6,故B有2=16个子集，故选D.