第一章第二节 集合间的基本关系-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

赢在起点·初升高知识衔接数学 6.已知集合A={xx=2k,k∈Z,B={xx=2m+1,m∈Z},C={xx=4n+1,n∈Z},若a∈A, b∈B,则必有 () A.a+b∈A B.a十b∈B C.a+b∈C D.a十b不属于集合A、B、C中的任何一个 7.(多选)以下命题中正确的是 () A.所有正数组成的集合可表示为{xx>0 B.大于2020小于2024的整数组成的集合为{x2020<x<2024} C.全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形} D.N中的元素比N,中的元素只多一个元素0，它们都是无限集 8.(多选)下列说法，其中正确的是 A.集合{x∈Nx3=x}用列举法表示为{0,1} B.实数集可以表示为{xx为所有实数}或{R x十y=0, C.方程组 x-y=- 的解组成的集合为x=一2小一号 D.方程(x一2)2+(y十3)2=0的所有解组成的集合为{(2，一3)》 9.集合A={a°十u-2,1-a,2},若4∈A,则a= 10.若关于x的方程ax一2x十1=0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的 元素个数为 第二节集合间的基本关系 课程标准要求 1.理解集合之间的包含与相等的含义，（重点） 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.（难点、易混点） 3.在具体情境中，了解空集的含义.（难点） 初中知识回眸 常用乘法公式： 1.平方差公式：a2-b=(a十b)(a-b) 2.立方差公式：a-b=(a-b)(a2十ab+b)》 3.立方和公式：a3+b3=(a+b)(a°-ab十b)》 4.完全平方公式：(a士b)=a”士2ab十b 5.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 6.完全立方公式：(a±b)3=a土3ab+3ab士b 141 第三部分 巧对照一初高中知识行接 图重温中考 1.已知a+b十c=4,ab+bc+ac=4,求a2十b十e2的值. 2.已知x2-3.x十1=0，求x2+的值， 3已知a+b+c=0,求a(公+之+6+启+（日+方的值， c a 高中新课学习 知识点一判断两个集合的包含关系 1.子集的定义 对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有 包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A二B(或B2A),读作“A包含于B”(或 “B包含A”). B(A B「A】 2.真子集 如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B,且x氏A,就称集合A是集合B的真子集.记 作A军B或(B星A) B① 115 赢在起点·初升高知识衔接数学 例1已知集合A=(x一1<x<6},B={x2<x<3},则 A.B∈A B.BCA C.A=B D.ACB B由题意知， -1023 名，所以B二A.故选B. 知识点□如何确定集合的子集与真子集 子集的个数的确定： 如果集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2"个. (2)A的非空子集的个数有2"一1个 (3)A的真子集的个数有2"一1个. (4)A的非空真子集的个数有2一2个. 例2已知集合A=(x一1<x<3,x∈Z,则集合A的真子集个数为 ( A.8 B.7 C.6 D.5 B集合A={x一1<x<3,x∈Z)={0,1,2},所以集合A的真子集个数为：2一1=7.故选B. 知识点司利用集合相等求参数 集合相等理解： 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的 元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 例3已知A=(1,x,y},B=1,x2,2y},若A=B,则x-y= A.0 B.1 c D. C因为A=B,所以 或 或 y=2y.y=x2. y=0.y=0. x 2 又集合中的元素需满足互异性，所以 1一1=1.故选C 则x一y=2一44 y4 知识点四空集的概念与判断 1.定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为心，并规定：空集是任何集合的子集 161 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 2.0,0},⑦，{0}的关系 0与0 0与{01 0与{0】 都表示无 相同点 都是集合 都是集合 的意思 0是集合： ⑦中不含任何元素： 心不含任何元素： 不同点 0是实数 {0}含一个元素0 0含一个元素，该元素是团 关系 0E0 财军{0 0军{⑦}或0∈{0》 例4下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集：③空集是任何集合的真子集：④若⑦二 A,则A≠g. 其中正确的说法有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；由于空集的子集 还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确：由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故 ③不正确：由于⑦二A,空集是任何集合的子集，所以A≠⑦或A=0,故④不正确：综上，正确 的说法有0个.故选A 知以点根据集合包含关系求参数 有关子集的性质： 1.规定：空集是任意一个集合的子集.也就是说，对任意集合A,都有心二A. 2.任何一个集合A都是它本身的子集，即A二A. 3.如果A二B,B二C,则A二C 4.如果AB,BC,则AC 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A二B(B≠⑦)的含参数的间题时，要注意讨论A=⑦ 和A≠☑两种情况，前者常因思考何题不全面而被忽视， 例5已知集合M={0,4,x},N={0,x},若N二M,则实数x组成的集合为 () A.{0} B.{-2,2 C.{-2,1,2 D.{2,0,1,2 C:NCM,M={0,4,x},N={0,x}, x2=4,x=x, .x≠0，或r≠0，解得x=2或x=一2或x=1, x≠4. x≠4. 故实数x组成的集合为{一2,1,2).故选C L17 感在起点·初升高知识衔接 数学 知识点为Venn图及其应用 Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲 线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. 韦恩图可以直观，形象地表示出集合之间的关系： B A(B) B ACB BCA ACB A车B B车A →A至B →B年A →A=B A≠B B≠A BCA 例6设全集U=R,集合A={xx>3},B={x∈Z1<x<6},则如图所示的阴影部分表示的集 合为 () A.{2,3} B.1,2,3 C.{x|1<x≤3】 D.{x3<x<6} AB={x∈Z1<x<6}={2,3,4,5},图中阴影部分表示的集合为{xx∈B,x任A}={2,3. 故选A. 随堂达标演练 1.已知集合M满足(2,3}CM二{1,2,3,4,5}，那么这样的集合M的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 2.集合A={xx-7<0,x∈N,则B={y日∈N,y∈A的子集的个数为 A.4 B.8 C.15 D.16 3.已知集合A={-1,0),B={1,2},集合C={xx=ab,a∈A,b∈B),则C的子集的个数为 ( A.3 B.8 C.7 D.16 4.下列表示正确的是 A.{0}∈0,1} B.☑二(0,1} C.0=0】 D.0∈{0】 5.已知集合A={x|x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A二B,则a的取值范围是( A.a<-2 B.a>-2 C.a≤-4 D.a<-4 181 第三部分巧对照一初高中知识術接 6.已知集合A={一1,2)，B={xax=1),若B二A,则由实数a的所有可能的取值组成的集合为 () A12 B-1 c0.1,2 D.-1,0号 7.设a,6∈R.若集合1a+b6a=0,合，b小，则a+6m- A.1 B.2 C.3 D.4 8.(多选)若集合{xax十x十b=0=1},则b的值可能为 A.-1 C.0 D. 9.集合M={yy=√4一x,x∈Z的真子集的个数为 10.已知集合A={1,a,b},B={一1，a2,b},若A=B,则a·b= 第三节集合的基本运算 扫 取 拓展学科视野 高效衔接工具 学习策略点拨 知识点抢先看 第1课时并集、交集 课程标准要求 1.理解并、交集的含义，会求简单的并、交集.（重点） 2.借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质，（难点） 3.根据并，交集运算的性质求参数问题.（难点） 初中知识回眸 L.分式的意义 形如含的式子，若B中含有字母，且B≠0，则称合为分式.当M≠0时，分式含具有下列性质： A_AXM AA÷MW BBXM'BB÷MW 2.繁分式 a 五，m+”十上这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 像 2m n十p L19参考答案 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 所以实致集可以表示为{x|「为实数}或R,B不正确：方 程组 x+y=0 的解是有序实数对，而集合 第一章 集合与常用逻辑用语 x3y=-1 :=一亨=号}表示两个等式组成的集合.C不正确： 第一节集合的概念 由(r一2)'十(y+3)'=0,得x=2且y=一3，则所有解组 成的集合为{(2，-3)}，D正确.故迭AD, 【重温中考】 9.答案：2 1.5或-54或-4 解析：因为4∈A,所以，若ad十4一2=4，则可得a=一3 2.4或-4-1或3 或2， 3,解：由x-1=0,得x=1:由x-3=0,得x=3: ①若x<1,不等式可变为一(x一1)一(x-3)>4, 当a=一3时，1一a=4,不满足互并性，舍去： 即一2.x十4>4，解得<0， 当a=2时，1一a=一1，满足题意： 又x<1, 若1一a=4,别a=-3,此时a+a一2=4，不满足至异 x<0: 性，合去： 综上a=2 ②若1≤x<3,不等式可变为(x一1)一(x一3)>4， 10,答案：2 即2>4， 解析：由题知， .不存在满足条件的x: ③若x≥3，不等式可变为(x-1)十(x一3)>4， 当a=0时。-2z十1=0的解有且仅有一个r=号， 即2x一4>4，解得x>4, 所以a=0符合题意： 又x≥3，.x>4. 当a中0时，要使x的方程ar一2x十1=0的解集有且 综上所述，原不等式的解为x<0或x>4. 仅有一个元本，则有：△=4-4a=0,则a=1.所以实数口 【随堂达标演练】 的值组成的集合中的元素个数为2. L,C由于集合中的元素需满足骑定性，A,B,D选项中的 对象均满足确定性，而C选项中，滑雪速度的快没没有确 第三节集合河的装本关票 切的标准，所以这组对桑不能构成朵合，故选C 【重温中考】 2.CD集合的元素要满足“确定性”，所以A,B选项不符合 1,解：a+6+c2=(a+b+c)2-2(ah+bc+ae)=8. 题意，C,D选项待合题意，故速CD, 2.解：x2一3.x十1=0 3D令3张十1=-4，得k=一号E乙，期-4EA,故A错 …r≠0 误：今3k十1=4，得k=1,则4EA,故B错误：令3k十1= +1=8 -7,得=-号EZ,则-7EA,故C错接：令3十1=7， 原武=+-1+=+[x+'-到 得k=2,则7∈A,故D正确.故选D. =3(3-3)=18 4.C选项A,BD都是数集，且只包含一个元素，而C选项表 示的集合里的元素是X=1,则孩集合不是数集.数选C 3.解：，a+b+c=0, a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b 5.Bm的值可以是6，满足m≤9.要5∈么.所以r=1,-1, 原式=4.+6，“++c.a+b-(-a+- b ab 2,-2,3,-3.6,-6.所以集合A中有8个元素.故选B ac 6.B由题意设a=2k,b=2m十1，其中k,m都是整数，别 +(-2_-。+b+C0 ab a十b=2k十2m十1=2(k十m)+1,其中k十m是整数.可以 a+b=(a+b)[(a+b)-3ab]=-c(c-3ab) 是奇数也可以是偶数，，a十b∈B.故选B =-c+3abc 7.AD正数均大于0，故所有正数的集合应表示为{xx>0}, 故A正确：大于2020小于2024的整数组成的集合应表 a+B十d-3abc②，把②代人①得原式--3ac- abe 示为{x∈Z2020<x<2023}或{2021,2022,2023)，故 -3 B不正确：全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或 【随堂达标演练】 {xx是三角形，故C不正痛：N为自然数集，N为正整 1.C图为{2,3}CM三{1,2,3,4,51，所以集合M可以 致集，故N中的元素比N,中的元素只多一个元素0，它们 为：(2.3)，{1,2,3}，{2,3.4}，(2.3.5)，(1,2,3,5}， 都是无限集，故D正确.故远AD. (1,2.3,4}.{2,3,4,51,1,2.3,4,5共8个.故选C 8.AD对于A,由x=x,得x=0或x=1或x=一1·而 2.D集合A={xx-7<0,x∈N”) 一1任N,圆此集合{x∈Nx=x}月列举法表示为{0,1)， A正确：对于B,桑合表示中的符号“(”已包含“所有” 7eN=1.23.45,61.B=y9∈N “全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数构成的集合， y∈A}={1,2,3,6,故B有2=16个子集，故选D. 赢在起点·初升高知识衔接。 数学 3.B由题意得C={一1.一2,0}，所以集合C的子集的个 (2)2019 数为2=8.故这B. 名答案：1)号 4.B{01三(0,11，故A错误：②二(0,1)，故B正确：0 1 {0},故C错误：必二(0，故D错误，故选B. 5.D:A={.zxa+3).B=(rr<-1或x>5},AB, 1 1 141 1X2十2X3十3X4十X5+…+gx0 a十3<-1，a<-4.数选D 1 6.D当a=0时，B=心二A,满足题意. a0时，B-合 10品： 若BA,期=-1或=2，即4=-1或4= 21 故答案为品 综上所述，世的所有取值为0，-1，故选D (2)由规律可得 1 1 7B周为条合1a+b,a={0.么，b,所以0≠0： 得 1一。+m+2m+3十m+3m+4干“大 1a+b=0. 1 1 1 a=一b所以么=一1=4，则b=1,a=一1，所以a'm十 m+2020m+2021m+202I' 方=2.故选B. 即hn+2aa十20a 8.AB根撼题意，ax2十x十b=0只有一个实数根， 解得：n=2019, 当a=0时，a.x十x十b=0化为x=一6，所以b=一1： 检验：当m=2019时，(m十1)(m十2021)≠0， 当a≠0时4=1-4b=0,则ab= .m=2019是原分式方程的解. m的值为2019 又x=1是方程ax2十x十6=0的解，所以a十=一1， 3解：(1)证明：：1-1=(n十1)-” 得a=b=一会故选AB n+1n(n十1)r(m十1) 11 9.答案：7 mDw(其中？是正整数)成立 解析：令x=0,则y=2: (2)由(1)可知 令x=士1，别y=3: 1 22+…+0=0-)+（-子）+… 1 令r=士2，则y=0: 则M中有三个元素，则有7个真子集 付动=10品 19 10.答案：0 解析：由A=(1,a,b可知a≠1，b≠1， (证明：“这十十…十 1 (+1) 因为A=B.所以a=1我6=1. ①当a2=1时，得a=-1我a=1(舍)，则6=，解得b= 0或b■1（舍》， 11 此时A=1,一1,01，B=(一1,1,0)，符合题意， = 此时a·b=(一1)×0=0： ②当6=1时，得b=-1成b=1(会)，则a=a,解得a= 又≥2，且n是正整数，一定为正数。 0或4=1（含）， 1 1 此时A=1,0,一1，B=(-1,0,1),符合题意， 六2x3十3X1十+ n(n十1)2 【随堂达标演练】 此时a·b=0×(一1)=0. 1.B因为M={x|-1<x<1),N={x|0<x<2),所以 粽上所述：d·h=0.故选B. MUN={x-1<x<2,故选B. 第三节集合的兼本通菲 2.A因为A=(1,2.3}.B=〈2,3)，所以AUB=（1,2,3}. 故选A 第1漾时并集、交集 3.C固为(AUB)∩C=3,6}.故元素个数为2.故选C. 4.D设集合A={x-1<x<5,B=〈2,3.4,5}，则A∩B= 【重温中考】 {2,3,4).故远D. 锅 ‘-2xy+yry-xy 5.D图为A={x1<x<4,B={x|x-1≤2)=(x- 2≤x-1≤2}=(x|-1≤r≤3)，因此A∩B=(1,3].故 =+2(x二2,1一，xy(x-2 选D. y (x-y) 6.B由题意可得：A∩B={0,1,故选B =+以， x 7.D由A∩B=B,知BCA.因为A={-1,1,B={xax :/x-3+y2-4y+4=0. =1},若B=⑦，则方程ar■1无解，所以a■0满足题常： ./x-3+(y-2)2=0, 若B≠，则B=rax=1={女=}：周为BeA. x=3,y=2, 4原式-32-号 所以】=士1，期为满足题意口=士1：故实教山取值的集 3 合为{-1,0,1.故逸D. 781