第五节全称量词与存在量词-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

第三部分 巧对照一初高中知识衔接 6.已知x∈R,y∈R,下列各结论正确的是 A.“xy>0”是“二>0”的充要条件 B“>y”是“号>1”的充要条件 C.“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D.“x十y=0”是“工=一1”的充分不必要条件 7,在下列所示电路图中，下列说法正确的是 2 (1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件： (2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件： (3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件： (4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件， 8.在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k幻，即[k]=(4n十k|n∈Z}, k=0,1,2,3.给出下列四个结论. ①2021∈[1]：②-1∈[1]：③Z=[0]U[1]U[2]U[3]:④“整数a,b属于同一‘类”的充要条 件是“a-b∈[0]”. 其中正确的结论是 (填所有正确的结论的序号). 9.方程x2一ax十a一1=0有一正一负根的充要条件是 10.已知A,B二U,则“A∩B=A”是“C,B二CA”的 条件. 第五节全称量词与存在量词 课程标准要求 L.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题， 提升数学抽象核心素养.（重点） 2,会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养，（难点） 3.能写出命题的否定，并会判断真假：会正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定.（重点） 4.理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.（难点） [35 感在起点·初升高知识衔接 数学 高中新课学习 一、全称量词与全称量词命题 1.全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。 2.全称量词命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题， 3,全称量词命题的表述形式 全称量词命题“对M中任意一个x,(x)成立”，可用符号简记为Hx∈M,p(x). 二，存在量词与存在量词命题 1.存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“了”表示 2.存在量词命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 3.存在量词命题的表述形式 存在量词命题“存在M中的元素x。,使p(x。)成立”，可用符号简记为3x。∈M,p(x). 三，如何判断全称量词命题的真假 若判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立： 若判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x。,使得P(x)不成立即可. 例1判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数： (2)Hx∈R,x|+1≥1： (3)对任意一个无理数x,x”也是无理数， 解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题， (2)Hx∈R,总有x≥0，因而x十1≥1.所以，全称量词命题“Hx∈R,x十1≥1”是真命题 (3)√2是无理数，但(2)=2是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数x,x也是无理 数”是假命题， 知识点号 如何判断存在量词命题的真假 要判断存在量词命题“了∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x。,使p(x)成 立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 例2判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x,使x十2x十3=0： (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形。 36 第三部分巧对照一初高中划识衔接 解：(1)由于△=2一4×3=一8<0，因此一元二次方程x2+2.x十3=0无实根.所以，存在量词命 题“有一个实数x,使x2十2x十3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线 垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假 命题 (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真 命题。 知识点 全称量词命题的否定 p p 结论 全称量词命题的否定是存在 全称量词命题Vx∈M,p(x) 3xo∈M,p(x) 量词命题 例3下列全称命题的否定形式中，假命题的个数是 ( ①所有能被3整除的数能被6整除：②所有实数的绝对值是正数： ③Hx∈Z,x的个位数 不是2. A.0 B.1 C.2 D.3 B①“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“存在能被3整除的数不能被6整徐”正 确，如3，是能被3整除，不能被6整除的数，故①的否定形式正确：②所有实数的绝对值是正数， 其否定为：3x。=0∈R,0=0,不是正数，故②的否定形式正确：③因为0=0,12=1,2=4， 3=9,4=16,5=25,6=36,7=49,82=64,9=81,所以Vx∈Z,x2的个位数不是2的否定 形式为：彐x∈Z,x的个位敏是2，错误.综上所述，以上全称命题的否定形式中，假命题的个数 是1个. 知识点四 存在量词命题的否定 P 结论 存在量词命题的否定是全称量词 存在量词命题3x∈M,p(x) Vx∈M,Tp(x) 命题 例4若命题“3x∈R,x°+2a,x+2一a=0是假命题”，则实数a的取值范围是 答案：-2<a<1 解析：等价于Hx∈R,x2+2a.x+2-a≠0，解△=4a2一4(2-a)<0,即得解」 因为命题“3x∈R,x2十2ax十2一a=0是假命题”， 所以Hx∈R,x+2ax+2-a≠0， 所以△=4a2-4(2-a)=4a+4a-8<0,.a2十a-2<0,.-2<a<1. 故答案为-2<a<1. L37 感在起点，初升高知识衔接 数学 随堂达标演练 1.已知命题p:3x∈R,mx+2≤0：命题q:Hx∈R,x2-2.x十1>0.若p、q都为假命题，则实数 m的取值范围是 A.[1,+∞) B.(-o∞，-1] C.(-o∞，-2] D.[-1,1] 2.已知命题p:x∈R,x+2x一a>0.若p为假命题，则实数a的取值范围是 A.a>-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a≤-1 3.命题Hx>1·二>0”的否定是 AY≤1，≤0 BVx>1≤0 C.3≤1<0 D.3>l号<0 4.已知p:3x∈{x一1<x<3},x一a一2≤0.若p为假命题，则a的取值范围为 A.{aa<-2 B.{aa<-1} C.ala<7) D.ala<o 5.(多选)下面四个结论正确的是 A.Ha,b∈R,若a>b,则a2>b B.命题“3x∈(-3，十∞)，x≤9”的否定是“Hx∈(-3，十∞)，x>9” C.“x>y2”是“x>y”的必要而不充分条件 D.“m<0”是“关于x的方程.x2一2.x十m=0有一正一负根”的充要条件 6.(多选)下列存在量词命题中真命题是 A.3x∈R,x≤0 B至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 C.3x∈{xx是无理数)，x是无理数 D.3x∈Z,1<5x<3 7.命题“Hx∈R,x2+3.x十4>0”的否定是 8.已知命题p:3x>0,x2一mx十1≤0是假命题，则实数m的取值范围为 9.对于命题： ①任意x∈N,都有x>0: ②任意x∈Q,都有x2∈Q: ③存在x∈Z,x>1: ④存在x,y∈R,使x+y|>0. 其中是全称量词命题并且是真命题的是 (填序号) 10.若命题“3x∈R,x2一4x十a=0”为假命题，则实数a的取值范围为 381参考答案 【随堂达标演练】 当xy≠0时，能撞出x≠0，所以“r≠0“是“xy≠0”的必要 1.c+h0=(a+b)(a-b)>0=a-6>0=a>6曰 不充分条件，C正扇；由x十y=0可得x=一y,当满足 4-b a>为充要条件，故选C. ≠0时，才可得号-1，即十y=0换不出号--1，反 2.BD对A选项.p→g,但xy<0不一定得到x>0,y<0, 之，当=-1时，可得x=一y,即x+y=0,所以“x十 故争不是？的充受条件：对B速项，p→，且？→，即 p一g,故p是g的充要条件：对C选项，x>5不能得到 y=0是“=一1"的必要不充分条件，故D不正确.故 x>10,但x>10一定x>5,故p不是g的克要条件：对D y 谌项，p→g,且9→p,故p是q的充要条件，故选BD, 选AC 3.D方程x十kr十2=0有实根，枚△=k2一8≥0， 7.答案：(1)(2)(3) 解得k≤-2泛或k≥22， 解析：(1)开关A闭合，灯泡B亮：而灯泡B亮时，开关A 方程x十2x十k=0有实根，故△=4一4k≥0， 不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要 解得k≤1. 条件，选项(1)正扇 综上所速，k≤一2瓦，只有D速项符合题感 (2)开关A闭合，灯泡B不一定亮：而灯泡B亮时，开关A 若方程x十kx十2=0与x十2x十k=0有一个公共实数 必须闭合，所以开关A闭合是刘泡B亮的必要不充分条 根，设公共实根为， 件，速项(2)正确. xi+kx,+2=0, (3)开关A闭合，灯泡B亮：而灯泡B亮时，开关A必须 则 两式相减得(k一2)x,十(2一)=0， x+2x1+k=0, 闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的克要条件，选项(3) 正确， (k-2)x,=k-2, 由于k一2≠0，所以x1=1, (4)开美A闭合，灯泡B不一定亮：而灯泡B亮时，开美A 所以1十k十2=0，k=一3. 不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也 当k=一3时，两个方程分别为7-3十2=0，x十2x-3-0, 不必要条件，选项(4)错误，故答案为（小）(2)(3)正确 方程x一3x十2=0的两个根为1,2： 8.答案：①③④ 方程x十2x一3=0的两个根为1.一3： 解析：对于①，：2021=4×505+1，则2021∈[1]，①正 即方程x+kx十2=0与x2+2x十k=0有一个公共实 确：对于②，一1=4×（一1）十3，则一1∈[3]，②不正 数极 确：对于③，：任意整数徐以4，余数可以且只可以是0,1， 踪上所述，方程x十kx十2=0与x十2x十k=0有一个 2,3四类，则Z=[0]U[1门U[2]U[3],③正确：对于④： 公共实数根的充要条件是k=一3.故选D. 若整致4，b离于同一“类”，则整数a、b被4除的余数相 4,C由1<一2x+m<5得1一m<一2x<5一m,故 同，可设a=4”十k,b=4m十k,其中””∈Z,K∈(0,1， (m-5)K<2(m-1), 1 2,3},则a-b=4(n,-),故d一b∈[0们，若a-b∈[0]， 不粉令a=4n,十k,6=4n十k(nn∈Z,k1,k,∈{0.1， 因为“-1<x<1"是“1<-2x十m<5”的充要条件， 2,3}),别a一b=4(n:一m)十(k一k),显然n,一n∈Z, 2(m-5)=-1, 一k,∈(0,1,2.31，于是得k,一1=0，.k=,即荟数 所以 解得m=3, ab属于同一“类”，“整数ab属于同一‘类”的充要条件 2(m-1)=1. 是“a一E[0们”，①正确.∴.正确的结论是①③①， 所以实数m的取值是3，故选C 9,答案：a<1 5.B不等式一1≤x一<1苹价于：m一1<r<m十1，由题 解析：x2一ar+4一1=0有一正一负根曰 “<<号"是”-1一m<1”成主的充分不必要 意得“ [a-1<0, 4=(-a)-4(a-1)>0,3a<1故答案为a<1. 条件，所以()(m-1,m+1,且（，） 10.答案：充要 解析：由A门B=A可得A三B,所以CB二CcA,由 m-1 CB二CA得A二B,进而A∩B=A,故“A∩B=A"是 (m一1，m十1)，所以 ,且等号不能同时成立， “C,BCCA”的充要条件.故签策为充要 第五节金称量词与存在量词 解得一2 4 ≤m≤3，故实数m的取值范国是 【随堂达标演练】 m一≤m≤}故选B 41 1,Ap,双都是假命题.由p:了r∈R,mr十2≤0为假命 题，得Vx∈R,m.x+2>0,m≥0. 6.AC 因为xy>0与>0等价，救“xy>0”是“>0”的 由q:x∈R,r一2mr+1>0为假命题，得3r∈R,x2 2m.x十1≤0 充美条件A正确：图为=一1>y一兰-名橡不 ,4=(-2m)-4≥0，得m≤-1成m≥1. 出工>1，故B错误：因为当r≠0，y=0时推不出xy≠0， m≥1 故选A. L81 藏在起点·初升高知识衔接. 数学 2.C若命题p为兵，则△=4十4a<0,解得a<-1,刚当命 题p为假命题时，a≥一1，故a的取值范国是a≥一1，故 第二章一元二次函数、方程和不等式 选C 3.D由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再 第一节等式性质与不等式性质 香定结花，则命题V>1>0”的香定是“>1， 【重福中考】 1.答案：一1<x<3 ≤0”，放进D 解析：：不等式ax一kr十c<b可变形为ax2十c< kx十，，，图象上抛物线在直线下方时对应x的范国即为 4.A因为p为低命题，所以p:r∈(x一1<x<3: 不等式的解集，观察西数围象可知：当一1<3时，抛物 x一a一2>0为真命题，故当一1<x<3时，a<x-2幢 线y=ax十c在直线y=kx十b的下方，∴.不等式a:x- 成主.国为当一1<x<3时，y=x一2的最小值为一2，所 k上十c<h的解集为一]<x3. 以a<一2，即a的取值范国为{aa<一2，故选A. 2.解：原不等式可以化为：(x十a一1)(.x一a)>0, 5.BD取a=一1，b=一3.满足a>b.而a<方.A不正确： 若a>-(a-1)即a>2则x>a或x<1-a, 存在量词命题的否定是全称量词命题，则“3x∈（一3， 十∞)，.x≤9”的否定是“Hx∈(-3，十∞)x>9”,B正 若a=-a-1用a=号期：名>0ER 确：取x=一2，y=1.满足x>y,而x<y,即r>y2不能 推出x>y,反之，取x=1,y=一2，满足x>y,而x<y, 若a<-(a-1D即a<号则r<a或x>1-a 即x>y不能推出x>y,所以“x>y”是“x>y”的既不 3.解：4,5是一元二次方程x十m正一n=0的两个不等实根， 充分又不必要条件，C不正确：当方程x一2x十m■0有 由韦达定理厂m=9, -n=20, 得m=一9，n=一20， 一正一负根时，由方程两根之积可得m<0,反之，当m< 不等式-20x2-9.x-1>0,20x2+9r+1<0. 0时，△=4一n>0,方程有两个根，并且两根之积为负 (4x十1)(5x+1)<0. 数，两根异号，所以“m<0”是“关于x的方程x一2x十 m=0有一正一负根”的充要条件，D正确. 不等式解为一<<一方 6.ABC3x∈R,x≤0，如x=一3，一3≤0，所以是真命题： 【随堂达标演练】 1,D由a>b,取a=2,bm一3，则>b不成立，故A错误： 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素致，如1是整 数，它既不是合数，也不是素数，所以是真命题： 由a>≥b时0，取a=1,6=-1,则言不成立，哉B 了x∈{xx是无理数}，x是无理数，如x=,r是无理 错误：当c=0时，ac'>bc不成立，故C错误：因为ac2> 载：所以是真命题：周为1<5<3，所以写<<号，所以 be,所以e>0,故arX>bc×之别>6，故D正 x不是然数，是假命题，故选AC 确，故选D 7.答案：3x∈R,x+3x十M≤0 2.D图为x>>1>>0,所以1<1<1 yr-y>0, 解析：命题“Hx∈R,x十3.x十4>0”为会称量词命题，它 r一e>0,y-g>0, 的否定是3x∈R,x十3x十40. 8.答案：(mm<2} 所以a=+>6=y叶a=+>c计 解析：由题意，命题p的否定“Vx>0,x一mr十1>0”为 4-b-x+1-y-1-(x-y》+二>0，所以>b. 真命题 即m<+对VE(0,+∞)推成立. a-c=r+-1=(x-)+y2>0,所以a>, ye 一6=计一y一=（二y)+特号不能磅定，所 周为>0>0+>8…=2. x 以b,c的大小不能确定.所以a>b且a>c.故适D. 3.ABD,a>>0,<0,.b-a<0,ab>0, 当且仅当x=1,即x=1时取等， “后一台--b>0,即后>。故A正确 所以m<2.故答案为{mm<2 a>b>0,e<0,∴ae<b,故B正痛：取a=2,b=1, 9.答案：② =一3，别a=2<h一c=4,故C错误：a>b>0.c<0, 解析：只有①②是全称童词命题，当x=0时，x=0,所以 '.b-a<0, ①是假命题.故答案为②. a(b-c)-b(a-e)=ab-ac-ab+bc=c(b-a)>0. 10.答案：{aa>4 牌a(b一c)>b(a-e),故D正确.故选ABD. 解析：”命题“3x∈R,x2一4.x十a=0”为假命题， AGD由a<6<右可得-吉<0，所以 a b ab .方程x一4.x十a=0无实数根.则△=（一4）一4a<0, 解得4>4. ab<0.所以A正确：若a>b>0.c<dK0>0.则。二 821