第三章第一节 函数的概念与表示-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

赢在起点·初升高知识衔接 数学 9.答案：5 解析：由题可知3和4是方程ax十bx一1=0的两个实 数被， 3十4= 由韦达定理可知 解得 7 3×4= 121 M1,-1) 则24a十12b=5. 3.解：设每封信的邮资为y(单位：分)，则y是x的函数，这 10.答案：{x10≤x≤30》 个函数的解析式为 解析：根据题意，由相似三角形将AF,FH表示出来，从 80,x∈(0,20 而表示出S,然后求解不等式，即可得到结果， 160.x∈(20,40] y=240,x∈(40,60] 320.x∈(60.80 400,x∈(80,100 40m 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示 分)下 400 40m 320 240 如图，过A作AH⊥BC于H,交DE于F,号知PE 160 BC 中看一5则AF=,FH=0-么所以矩形花理 80 AF 020406080100克， 的面积S=x(40-x)≥300，解得10≤r≤30. 【随堂达标演练】 第三章 函数的概念与性质 1,A对①②，对于定义城内的任意一个x,都有唯一的y 值与x对应，则①②正确：对③，在r∈[0,1门内，此时一 第一节玉数的概念与表示 个x有两个y值与工对应，则③错误：对④，在 x∈[一1,0]内，此时一个x有两个y值与x对应，则 【重温中考】 ④错误.放选A. 1,解：二次函数y=2x一4r十3的解析式可变为y■ 2.ABC根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变 2x一1)十1，其顶点坐标为(1,1). 量x,都有唯一的西数值y与它对应，因此，只有选项D正 (1)把函数y=2(x一1)+1的图象向右平移2个单位，向 确，选项ABC都错误. 下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3.0)，所 以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y= 3.B根据解析式代入求解即可f(f(3))= () 2(x-3). f(1)=2+1=3.故选B. (2)把函数y=2(x一1)+1的图象向上平移3个单位，向 2x,0<x≤4. 左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是（一1,4）， 所以，平移后所得到的函数图象对应的两数表达式就为 4,D依据题意，有S=f(x)= 8,4<r8, y=2(x+1)+4. 24-2x,8x<12, 2.解：(1)如图.把二次函数y 则画数S一f(x)的图象是由三段折线段构成，故非除选 2x-4r十1的图象关于直线 项ABC.故选D. x=一1作对称变换后，只改 5.BC 函数f(x)■ |x,-2≤x<1 -x+2,x≥1 的定义域是 变图象的顶点位置，不改变其 形状.由于y=2r2-4x十1= [-2,十∞)，故A错误：当-2≤x<1时，f(x)=x,值 2(x一1)-1可知函数y A,.-1 41.-10 战为[0,4]，当x≥1时，∫(x)=一x十2，值战为 2x2一4x十1图象的顶点为A(1,一1).所以，对称后所得 (一c,1门，故f(x)的值城为（一o,4门，故B正确：当 到图象的顶点为A,(一3，一1)，所以，二次函数y=2.x x≥1时，令∫(x)=一x十2=2，无解，当一2≤x<1时， 4x十1的图象关于直线x=一1对称后所得到图象的函数 令f(x)=x=2.得到x=-2,故C正确：当一2≤x< 解析式为y=2(x+3)-1,即y=2x+12x+17. 1时，令f(x)=r<1,解得x∈(-1,1)，当r≥1时，令 (2)如图，把二次函数y=2x一4x十1的图象关于直线 f(x)=-x+2<1.解得x∈(1，十∞)，故f(x)<1的 y=1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向， 解集为(-1,1)U(1,十oo),故D错误.故选BC 不改变其形状.由于y=2x一4江r十1=2(x一1)一1可 6.BD由题意知函数f(x)的定义域为（一四，2），故A错 知，函数y=2x一4x+1图象的顶点为A(1,一1)，所以， 误；当x≤一1时，f(x)的取值范周是（一，1]，当一1< 对称后所得到图象的顶点为B(1,3),且开口向下，所以， x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为 二次函数y=2x一4x十】的图象关于直线y=1对称后 (一，4)，故B正确：当x=1时，f(1)=1=1,故C错 所得到图象的函数解析式为y=一2(x一1)+3，即 溪：当x≤一1时，x十2=3，解得x=1(合去)，当一1< y=-2x+4x+1. r<2时，x=3,解得r=3或x=-3(舍去)，故D正 86 参考答案 确：当x≤-1时，x十2<1，解得x<-1,当一1<x<2 时，x<1,解得一1<x<1,因此f(x)<1的解集为 名法y=十虹+(=u+会+（一气把它的图象向 (一o,一1)U(一1.1)，故E错误.故速BD. 上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到y= D由图可如，了)=团”n的定义提为 +台十4)+（一冬+2的图象，也就是函数y=子的图 (xx≠士1}，且经过点(0，-1)， 象，所以， 而x一m≠0，解得x≠m,所以m=1. 一4=0 2 所以f(0)=”=”=一1，解得=1. 解得b=一8，c=14. -+2=0. 所以x)=x”-m百 法二：把二次函数y=x+十c的图象向上平移2个单 位，耳向左平移4个单位，得到函数y=的图象，等价于 所以不等式f(x)≤m一2m,得F可≤1-2X1=-1山， 把二次函数y=x的图象向下平移2个单位，再向右平移 4个单位，得到函数y=x+bx+的图象. 卑1+1=<0… 由于把二次函数y=x的图象向下平移2个单位，再向右 等*于ea 平移4个单位，得到函数y=(x一4)十2的图象，即为 y=x2一8x+14的图象，.函数y=x一8.x+14与函数 解得一1<x<1, y=x十br十c表示同一个函数，b=一8，=14. 综上，所求不等式的解集为（一1,1），故选D 3.解：(1D当a=一2时，函数y=x的图象仅仅对应着一个 8A国为函数f()=广+，0<< 点（一2,4），所以，函数的最大值和最小值都是4，此 1-2x+8,x≥2 且f(a)= 时x=一2： (2)当一2<a<0时，由图①可知，当x=一2时，函数取最 f(a+2),4∈(0，十o∞).当0<a<2时，a2+a= 大值y=4:当x=a时，函数取最小值y=a: -2(4+2)+8,肿a+3-4=0,解得a=-4我4=1， (3)当0≤a<2时，由图②可知，当x=一2时.函数取最 当a≥2时，-2a+8=-2(a+2)+8,无解，综上，a=1, 大值y=4:当x=0时，函数取最小值y=0: 所以f(日）=f)=2.故选八 (4)当a≥2时，由图③可知，当x=a时，函数取最大值 y=G:当x=0时，函数取最小值y=0. 9.答案：x-2x十4 【随堂达标演练】 解桥：令1=2十1，则-号，所以f)=4(号） 1.B周为画教y=y=一2在区间[1,2]上均为增画 3=t-21+4,故f(x)=x2-2.x十4 数，故函数f(x)在[1,2]上为增函数，当x∈[1,2]时， 10.答案：-2或 f(r).=f(2)=2-1=1.故选B. 解桥：当6>0时，由了k)=号，得十2=号，解得 2.Df(x)= ≥0，画出图象可知，既无最大值又 1-x2x<0, 无最小值.故法D. 长=子当长0时，由f)=号得=号解得长=号 3.D二次函数f(x)=x2一2x的图象开口向上，对称轴为 (合去)浅=一，棕上=一是或5= 直线x=1. ①当一1<t≤1时，函数f(x)=x一2x在区间 [一1.t门上单调递减，则f(x)=f(-1)=3 第三节品数的装本性质 ②当>1时，函数f(x)=x一2x在区问[一1,1]上单 调递诚，在区间[1,1门上单调递增：此时，函数y一∫(x)在 第】课时单调性与最大（小）值 r=一1成x=1处取得最大值，由于f(r)=3= 【重温中考】 f(-1).所以，f(t)=1一21≤3，脚1-21-3≤0.解得 1,解：由于y是x的一次函数，于是，设y=kx十b, 一11≤3，此时1<3，综上所述，实数1的取值范国是 将x=130,y=70:.x=150,y=50代入方程，有 (一1,3.故选D. 170=130k+b: 4.AC要使西数有意义，则-x十2x十3≥0，得一1≤x≤ 150=150k+b, 3.故B错误：语数f(x)=、一x干2r十3由f(n)=a 解得k=一1，b=200. 与u=一x2+2.x十3=一(x一1)+4复合而成，当x∈ .y=-x+200. [-1,1]时，=一x2+2x+3单调递增，当x∈[1,3]时， 设每天的利润为（元），则 u=一x2+2x+3单调递减，又f(u)=√m在[0，十∞)上 =(-x+200)(:x-120)=-x+320x-24000 单调谨增，所以f(x)=√一x+2x十3在[一1,1门上单 =-(x-160)2+1600, 调递增，在[1,3]上单洞逆减，故了(x)…=f(1)=2,又 ,当x=160时，x取最大值1600. f(-1)=f(3)=0,所以f(x)=0,放A,C正确， 容：当售价为160元/件时，每天的利润量最大，为1600元. D错误，故选AC. 187感在起点·初升高知识衔接 数学 第三章 函数的概念与性质 ■ 码 取 拓展学科视野 高效街接工具 学习策略点拨 识点抢先看 第一节 函数的概念与表示 课程标准要求 L.掌握函数的概念及函数的三要素， 2.能求出一些简单函数的定义域及具体的函数值. 3.通过从实例中抽象概括函数概念的过程，提高抽象概括能力 4.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.（重点） 5.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（难点） 初中知识回眸 【.二次函数图象的平移变换与对称变换 (1)平移变换 在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点一只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此， 在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可. (2)对称变换 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点一只改变函 数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键 是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 2.分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数有不同的解析式，这种函数叫做分段函数 图重温中考 1.求把二次函数y=2x一4x十3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式. (1)向右平移2个单位，向下平移1个单位： (2)向上平移3个单位，向左平移2个单位. 541 第三部分巧对照一初高中知识行接 2.求把二次函数y=2x一4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式。 (1)直线x=-1: (2)直线y=1. 3.在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超 过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0<x≤100)的信应付多少邮资（单位： 分)？写出函数表达式，作出函数图象。 高)中新课学习 知以点函数的概念 般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按 概念 照某种确定的对应关系∫，在集合B中都有唯一确定x确定的数y和它对 应，那么就称∫：A一→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 y=f(x),x∈A 三要素 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)x∈A 解读：(1)当A,B为非空数集时，符号“f:AB”表示A到B的一个函数. (2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有准一性. (3)符号“”表示对应关系，在不同的函数中∫的具体含义不一样. 例1下列对应关系是从集合A到集合B的函数的是 () A.A=R,B=r>0),f:y=z BA=N,B=0fy=高 C.A=Z,B=N,f:x→y= D.A=Z,B=N,f:x→y=x 155 赢在起点·初升高知识衔接数学 DA=R,B={xx>0),f:x→y=x不是函数关系，：当x=0时，0|=0，|x>0不成立， 不是函数关系； A=N,B=Q,f:x→y= 白，当x=1时y不存在，不是函数： 1 A=Z,B=N,f:xy=的定义域是[0，十∞)，不是Z,当x是负整数时，y=反无意义，.不 是函数关系： A=Z,B=N,「：x→y=x是函数关系，故选D. 知识点口函数的定义域与函数的值 例2 若函数f1-2x)=二子(x≠0)，那么f侵）月 () A.1 B.3 C.15 D.30 由于02如)≠0，当时，故选口 C 16 知识点。函数的值域 例3 函数y=5.x十4 x-1的值域是 () A.(-∞，5) B.(5,+o∞) C.(-o∞，5)U(5,+o∞) D.(-o∞，1)U(1,+o∞) Cy= 5.x+4= x-1 C》+9=5十号且号≠0，y≠5，即画数的值城为 x-1 (-∞，5)U(5,+0∞). 知识点州区间及有关概念 1.一般区间的表示 设4，b∈R,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {xa≤xb 闭区间 [a,b] (ra<x<b 开区间 (a,b) 。三 {xa≤x<b 半开半闭区间 [a,b) x a<xsb 半开半闭区间 (a,b] 2.特殊区间的表示 定义 R {xx≥a} (rx>a xx≤a} II<a) 符号 -00,十0∞) [a,十c∞) (a,十c∞) (-∞，a] (-0∞，a) 561 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 例4函数y= 的定义域为 -4 A.(-∞，-2) B.(2,+∞) C.(-∞，-2]U[2,+o∞) D.(-∞，-2)U(2,+∞) D由x一4>0得x>2或x<一2.所以函效的定义域为（一∞，一2）U(2,十∞).故选D. 知识点五判断是否为同一函数 例5下列各组函数是同一函数的是 ( ①f(x)=V-2x与g(x)=x√-2x:②f(x)=x与g(.x)=√T: ③/x)=与g)=:@f)=2-2-1与g0=r-21-1 A.①② B.①③ C.③④ D.①④ C①f(x)=√一2x=|x√一2x与g(x)=x√一2x的对应法则和值域不同，故不是同一函 数.②g(x)=√T=|x与f(x)=x的对应法则和值城不同，故不是同一函数.③f(x)=x与 g)=都可化为y=1且定义拔是xx≠0，故是同一画数.国f)=-2x-1与g0)= t一21一1的定义城都是R,对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数.由上可 知是同一函数的是③④.故选C 知织点图函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 【注】同一个函数可以用不同的方法表示。 例6（多选）已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则() A.f(f(-3))=1 B.f(-1)=3.5 C.函数的定义域是（一∞，0]U[2,3] D.函数的值域是[1,5] -3-2-101234 AD由图象可得f(一3)=2，所以f(f(-3)=f(2)=1,A正确：图象法只能近似地求出函数 值，且有时误差较大，故由图象不能得出∫（一1）的确定值，B错误：由图象可得函数的定义域为 [-3,0]U[2,3],C错误：由图象可得函数的值域为[1,5]，D正确. 知识点七分段函数 1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数. 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集：各段函数的定义 域的交集是空集。 157 愿在起点·初升高知识衔接. 数学 【注意】(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数. (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的 (3)分段函数的图象要分段来画. 一x,x≤0， 例7设函数f(x)= 若f(a)=4,则实数a= () x2,x>0. A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2 a≤0， a>0, B 由 或 得a=一4或a=2.故选B. 1-a=4.la2=4. 随堂达标演练 L.下列各图中能作为函数图象的是 ④ A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 2.(多选)下列各图中，不可表示函数y一f(x)的图象的是 B 2.x2+1,x≤1， 3.已知函数f(x)= 3 则f(f(3))= x>1. A品 B.3 C.1 D.19 4.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的 路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是 04812 川4823 04812 4 12 A B C D 5.(多选)已知函数f(x)= x2,-2≤x<1 关于函数f(x)的结论正确的是 1-x+2,x≥1 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-o∞，4 C.若f(x)=2,则x的值是-√2 D.f(x)<1的解集为(-1,1) 581 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 x+2,.x≤-1， 6.(多选)已知函数f(x)= 1x,-1<x<2. 关于函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-o,4) C.f(1)=3 D.若f(x)=3,则x的值是3 E.f(x)<1的解集为（一1,1） 7.函数fx)=z”n的图象如图，则fx)≤m-2m的解集为 ( A.(-c∞，-2) 1,》 c(》 D.(-1,1) 8.已知函数f(x)= x十x,0<x<2, 若f(a)=f(a十2)，a∈(0，十o∞)， -2x+8,x≥2. 则（日） A.2 B音 C.6 7 0. 9.已知函数f(x)满足f(2x十1)=4x2+3,则f(x)= x+2,x>0 10.已知函数f(x)= x2,r≤0 若fk)=是，求实数k 第二节 函数的基本性质 第1课时 单调性与最大（小）值 课程标准要求 1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义 2.掌握定义法证明函数单调性的步骤.（重点、难点） 3.掌握求函数单调区间的方法.（重点） 4.理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（难点） 5.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.（重点、难点） 6.掌握求二次函数在闭区间上的最值.（重点） 初中知识回眸 二次函数y=ax十bx十c(u≠0)的图象和性质 二次函数y=a.x2+b.x十c(a≠0)具有下列性质： 1.当a>0时，函数y=a+b十ca≠0)图象开口向上：顶点坐标为一品如。产)，对称轴为直 线x=一会当<一名时y随着x的增大而减小：当x>一品时y随着x的增大面增大：当 x=一 时，函数取最小值)= Aa L59