第三节 幂函数-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

第三部分 巧对照一初高中知识衔接 第三节 暴函数 课程标准要求 44444444444444444444444444444444444444444144444444444444444444444444444444444444444444444444444444444 1,了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式， 2结合幂函数y=y=,y=y-子y=的图象，筝握它们的性质：（重点） 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.（重点） 高中新课学习 知识点一幂函数的概念 1.一般地，函数y一x叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数. 2.幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数： ②底数是自变量，自变量的系数为1： ③幂x的系数为1： ①只有1项. 例1 在函数y=}y=2y=r+xy=1中，幂函数的个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 “y一=工是茶函数： B y=2x由于出现系数2，因此不是暴函数： y=x十x是两项和的形式，不是暴函数： y=1=x(x≠0)，可以看出，常函数y=1的图象比暴函数y=x的图象多了一个点(0,1)，所以 常函数y=1不是暴函数， 知识点幂函数的图象 幂函数在第一象限内指数变化规律： 在第一象限内直线x=1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小：在直线x=1的左侧，图象 从下到上，相应的指数由大变小 1 167 藏在起点·初升高知识衔接数学 例2如图是幂函数y=x“和y=x在第一象限内的图象，则 () 13* x A.-1<n<0,0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 B由题图知，y=x"在[0，十∞)上是增函数，y=x”在(0，十∞)上为减函数， .m>0,n0. 又当x>1时，y=x"的图象在y=x的下方，y=x”的图象在y=x的下方， ∴.m<1,n<-1, 从而0<m<1,n<一1.故选B. 知识点 幂函数的性质 幂函数 y=r y=t y=r y=r y=II 定义域 R R R [0,+∞) (-0∞，0)U(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+o∞) {yly∈R,且y≠0) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 x∈[0，+o∞)，增 x∈(0，十∞)，减 单调性 增 增 增 x∈（一∞，0]，减 x∈（一o∞，0），减 公共点 都经过点(1,1) 性质：(1)所有幂函数在(0，十∞)上都有意义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)=1. (2)如果a>0,则幂函数在[0，十∞)上有意义，且是增函数 (3)如果a<0,则幂函数在x=0处无意义，在(0，十∞)上是减函数. 例3下列结论中，正确的是 ( A.幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 C.当幂指数a取1,3，时，幂函数y=x是增函数 D.当幂指数a=一1时，幂函数y=x在定义域上是减函数 C当暴指数a=一1时，暴函数y=x'的图象不通过原点，故A不正确：因为所有的暴函数在 区间(0，十∞)上都有意义，且y一x(a∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限， 故B不正确：当a=一1时，y=x在区间(-∞，0)和(0，十∞)上是减函数，但在它的定义域上 不是减函数，故D不正确.故选C 681 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 随堂达标演练 1如图是幂函数y=x的部分图象，已知e分别取号3，-一3，-号这四个值，则与曲线C、C、C、 C4相应的a依次为 A3g-3-3 B-3-3写8 n3-3-号 2.已知幂函数y=x”-m(m∈N”)的图象关于y轴对称，且在(0，十o∞)上单调递减，则满足 (a+1)一<(3-2a)5的a的取值范围为 A.(0,+∞) B(-号，+) c(o,) D(-,-1)U(学，) 3.(多选)已知函数f(x)=x的图象经过点(3,3，则 () A.f(x)的图象经过点(3,9) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)在(0，十∞)上单调递减 D.f(x)在(0，十∞)内的值域为(0，十o) 4.（多选)下列关于幂函数y=x的性质，说法正确的有 () A,当a=一1时，函数在其定义域上递减 B.当a=0时，函数图象是一条直线 C.当a=2时，函数是偶函数 D.当a=3时，函数的图象与x轴交点的横坐标为0 5.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则 A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.当x≥4时，f(x)≥2 D.当>>0时，fu生<任 2 6.函数y=x一2(a为常数)的图象过定点 7.若幂函数y=f)的图象过点（侵·），则f(3) 8.若函数y=x“的图象经过点(2,16)与(3，m),则m的值为 9.函数y=(.x一1)在（一o∞，m)上是减函数，则m的取值范围是 10.已知f(x)=x2和g(x)=x,其中k∈{-2，-1,1,2,3}，若f(x)>g(x)对任意的x∈ (1,十∞)成立，则所有的k的值为 169参考答案 (x0)根据图象可知,值域 7. BD 2.BC 函数f(x)的定义域为R,f(2x一1)是奇函数,则 f-2x-1)-- 2r-1),所以f-2r-1)+f2- 为[0,十),为偶函数,在(一00,0)上为减函数。 一0,故&数关于(一1,0)中心对称,所以f(一1)-0. r f(r)在[-3,0]上单调,由/-1)-0不能确定/(1)= 0.故A错误;f(x)为偶函数,又f(一1)一0,所以f(1) 0.故B正确:f(2r+1)为偶画数,则((一2*+1) f(2x十1),可知画数关于1-1对称,不能确定f(1)-0. 故C错误;因为f(x)关于(一1,0)成中心对称,所以f(x) 故选BC. 十f(-x-2)-0,令x--2则f(-2)--f(0),因为 3.B 因为f(r)--r十(a-2)x十文是定义在[2b,b+3] f(x+2)=f(z)+f(2),令x=0,则f(2)-f(0)+ 上的奇函数,所以2十b+3-0,即b--1,且f(-x f(2),解得f(0)-0,令x=-2则f(0)=ff-2)+f(2). r+(a-2)r-r-f(r),故a-2-0,所以a-2,所以 解得f(2)--f(-2).令r--1,则f(1)-f(-1)+ fr)=-r+x,判f(a+b)-f(1)--1+1-0.故 f(2)-/(2).综上可得/(1)-f(2)-一f(-2)= 选B. f(0)-0,所以f(x十2)-f(x)十f(2)是使得f(1)-0 4.ABC 成立的充分条件,故选BD. 因为函数f(r),i(x)均为定义在R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),设F(x)= 8.答案:一r:一r 解析:当-10时,0-1 f(x)+g(r),则F(一x)=f(一r)十g(-x) 一f(x)-g(x)-一F(r),所以f(r)+g(x)为奇函 因为函数/(x)是定义在[一1,1]上的奇函数, 故f(r)=-/(-r)--[-r(-x-1]---x. 数,故A正确;设F(x)=/(x)一g(r),则F(一x) 9.答案:2 f-r)-g(-x)=-f(r)+g(x)=-F(r),所以 解析:函数/(x)=x一mx十4是定义在区间 f(x)一g(x)为奇函数,故B正确;设F(x)= [一2一n,2n]上的偶画数, f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f() 得f(-x)-f(x),所以(-x)-m(-x)+4-- [一g(x)]一F(x),所以f(x)g(r)为偶函数,故C正 nx+4,解得m-0. 确;设F(x)=f(x)lg(x),则F(-r)=f(-x) 且定义域[-2-n,2n]关于原点对称,所以-2-n+2a-0. |g(-x)=-f(x)|一g(r)|=-F(x),所以 解得n-2: f(工)g(x)|是奇函数,故D错误,故选ABC 所以m十n-2. 5.A 由题设,f(-x十1)--f(x十1),即f(x) -r+3r0 10.答案:/(c)- 1--r,po 或(/(x)--+3lxl) 一f(2一x),则f(x)关于(1,0)对称,C正确:f(一x+2) 一f(x十2),即f-x)-f(x+4),f(x)关于x-2对称, 解析:根据题意可知,当x~0时,一x0. 所以f(x)一一f(x+2)-f(x+4),即/(x)周期为4,且 则/(-x)--(-r)+3(-r)--r-3r. ((r)一((一x),即((x)为偶品数,A错误;则/(1023) 又函数f(x)是定义在R上的偶晶数,所以f(一r)一 f(r),因此当xC0时,f(r)一一r一3r。 f4×256-1)-/(-1)-f(1)-0.B正确;又r· 所以/(r)的解析式为/(x)一 .一1. 第三节 (1.2)上递增,综上,((x)在(0:1)上递增,则(2,4)上 寡&数 【随堂达标演练】 6.ABD 当a0,b-0时,f(-x)-(- 1.A 当a0时,品数y一r”在第一象限内单调递减,当 a0时,寡函数y一r在第一象限内单调递增,所以C. 一一f(x):当a0,c0时,f(x)定义域为B且为奇函 C.0.C,C0.当x1时,函数y-r”在第一象限 内单调递增,所以之之之,所以相应曲线 数,在(0,十co)上f(x)0,在(0,)上道增,在 (,十oo)上递减,A可能;当a0.c0时,f(r)定义域 为rlx子士V一且为奇函数,在(0,一c)上f(x)0 2.D 函数y-x”(m后N)在(0,+oo)上单调递 且逆增,在(-C,十o)上f(x)<0且递增,B可能;当 减,故m-2m-3<0,解得-1 m 3.又m N,故 a-0,b0.c0时,/(一x)一 n-1或2. (一r)十r士 当m一1时,y一x的图象关于y轴对称,满足题意; 且定义域为(xlx士一c),此时/(x)为偶函数,若50 当m一2时,y-1的图象不关于y轴对称,舍去, 时,在(一-C,一c)上f(r)0(注意f(0)<0),在 故n-1. (一.--)(v-.+oo)上f(r)0.则C不可 不等式化为(a+1)<(3-2a)画数y=x在 能;若b<0时,在(一-C,一)上f(x)0,在 (一0,0)和(0,十o)上单调递减, 2a,解得a<一1~a,故选D. 故+1>3-2a 0或0>a+1>3-2a或a+1~0 3- (-00,--c)(-,+)上f(x)0,则D可能。 故选ABD. 189 赢在起点·初升高知识衔接 数学 3.CD 根据函数解析式和图象经过的点求出a一一1,结合 第四节 品数的应用 选项可得答案,将点(,3)的坐标代入/(c)-r”,可得 【随堂达标演练】 a=-1,则/()-1 一.f(r)的图象不经过点(3,9),A错 1.C 因为乙比甲早出发5分钟,由图知;乙的速度为 1.500-300来/分钟,故A正确;设甲的原速度为V,因为 误;f(x)在(0,十oo)上单调递减,C正确;根据反比例函 数的图象与性盾可得B错误,D正确,故选CD $ 5$300-(25-5)V-2500.解得:V-250来/分钟.所 二 递减,不能说在定义域上递减,故A错误;当。一0时, 确;当1一86时,甲到达B地,此时乙距离B地还有 y-.x-0,其图象是去掉点(0.1)的直线y-1,故B错 $5 0$20+400$(86-25)-300×86-3600来,所以还 误:当a一2时,y-工,函数的定义域为R,是偶函数,所以 -12分钟,所以乙比甲晚12分钟到达B地,故 C正确;当a一3时,y一x,其图象与x轴只有1个交点, 且交点的横坐标为0.所以D正确,故选CD. C不正确;A、B两地之间的路程为250×20十400× 5.ACD 设函数f(x)=”,则f(9)-9-3,解得 (86一25)-29400来,故D正确.故选C. 2.D 由题意(1十r)(1十r)=(1十r),+2r=rr.+r十 r.当=r,时,r=r.r,2r=r十r,当rr时,r. [0.+o),f(x)在[0,十)上单调递增,故A正确,因 为f(x)的定义域不关于原点对称,所以画数f(r)不是 2rr十r,因此rr,综上2r+r,rr故选D 偶函数,故B错误,当x4时,f(x)→/f(4)-4}-2,故 3.B 设每天的销售量为n件,每件工艺品的标价为工元, C正确,当x。>x→0时, /(r)+f(x) 则m关于x的函数为一次函数,设n一ar十b,由题意可 2 (135a+b-100 ,解得 {-4 得 r.+2r1 [()了 [134a+6-104 1-640 :十r: ,则m--4r十640,故每 4 天获得的利润为=(-4x+640)(r-100)=-4r+ 2-r-- (_一) 1040r-64 000,故当r-1040 0.又f(r)0. 一8 一130元时,每天获得 4 的利润最大,因此,要使每天获得的利润最大,则每件赏 降价135-130-5元,故选B. 6.答案:(1,一1) 4.C 提价后的价格为1元,则提高了(r一2.5)元,则销售 解析:当x-1时,y-1-2--1. 所以定点为(1,一1). 0.1 7.答案:3 际售出[8一2(r-2.5)]万本,则总收入为 解析:设暴函数为/(c)=r”,则吾-()”,得a-3,所以 r[8-2(x-2.5)].故选C. 5.B 设该公司在甲地销售文牺车,则在乙地销售(15一x) f(x)-r,所以f(③)-(3)-3. 辆车,根据题意,总利润y=-+21x+2(15-x)(0 8.答案:81 15.rN),整理得y--r+19r+30.因为该品数图 1.开口向下,又xN,所以当x-9或 象的对称轴为.- 解析:由题意知函数y三r”的图象经过点 1 (2.16)与(3.n). r-10时,y取得最大值120万元,故选B. 则16-2...a-4,则y-x 6.BCD设商品A的单价为x(x一2)元,则销量为10一 故m-3-81. 0.5×-2 -22件,此时离品A销售总收入为x(10-0.5× 9.答案:(-o0.1 解析:因为函数y一(x一1)是由x向右平移1个单位 得到,函数y一工为偶函数,且品数在(0,十)上单调递 0.2 增,则在(一,0)上单调遇减,所以函数y-(x-1)在 2.8 13.2,故BCD符合题意.故选BCD (1,十0)上单调递增,则在(一o0,1)上单调递减,又函 7.答案:8.5 数y-(-1)在(-,m)上是减函数,所以m 1,即n 解析:设定价为r,14元一13元,利润为y元,由题意可 的取值范围是(-oo,1]. 知:y=(r-3)[400-40(x-4)]-40(-+17x-42). 10.答案:-2,-1.1 故当x一8.5时,y最大,且最大值为1210. 8.【答案】40% 解析:因为f(x)一工在(1,十)上单调递增,且寡函 数h(x)一r恒过点(1,1),当。<0时h(x)=r在 解析:设污水排放量平均每年降低的百分率为x,则由题 (0.+o0)上单调递减,当a0时h(x)=x”在 意可得125(1-)-27.(1-x)- (0.十oo)上单调递增,且a越大在(1,十)上增长趋 -2-0.4-40%,所以污水排放量平均每年降低的百 势越快,所以要使f(x)>g(x)对任意的x(1,十一) 成立,则2,故符合题意的有一2,一1,1. 分率为40%. 90