第二章第一节 等式性质与不等式性质-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

第三部分 巧对照一初高中知识行接 第二章一元二次函数、方程和不等式 第一节等式性质与不等式性质 课程标准要求 1.掌握不等式的性质.（重点） 2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明.（难点） 3.通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异. 初中知识回眸 一元二次不等式的解法 1.定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2且系数不等于零的不等式， 2.一般形式 a.x2+bx+c>0(a≠0) 3.解法 △>0 △=0 △<0 y=ax+bx+c y=ax+bx+c y=ax+br+e 二次函数 y=ax'+bx+e (a>0)的图象 U 0=主 一元二次方程a.x十bx十 有两相异实根x,x 有两相等实根x= 无实根 c=0(a>0)的根 (<2) x:= b 2a a.x2+bx+c>0(a>0) x<x或x>r 品 全体实数 的解 a.x+bx+c<0(a>0) I<I<I 无解 无解 的解 注：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零 139 感在起点·初升高知识衔接 数学 图重温中考 L.如图，抛物线y=a.x2十c与直线y=k.x十b交于A(一1，m),B(3,n)两点，则关于x的不等式 a.x一kx<b一c的解集是 2.解关于x的不等式x2-x一a(a一1)>0. 3.不等式x2十mx一n<0的解为4<x<5,求关于x的不等式nx2十mx一1>0的解. 高中新课学习 知识点利用不等式的性质判断不等关系 1,不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>beb<a 台 传递性 a>b,b>c→a>c → 可加性 a>ba+c>b+c 台 a>b →ac>bc c>0 可乘性 注意c的符号 a>b →ac<b c<0】 40 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 a>b 同向可加性 a+c>b+d c>d a>b>0 同向同正可乘性 →ac>bd>0 → c>d>0 可乘方性 a>b>0→a">b"(n∈N,n≥1) a,b同为正数 可开方性 a>b>0→a>b(n∈N,n≥2) 2.倒数的性质 ①a>b,ab>0=1<1 ②a<0<h11 ③a>b>0,0<c<d→a>b 国0<a<x<b或a<x<h0}<L<1 br a 3.有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则： ①5<生m,>-m(h-m>0): aa十'aa一n ②公>微8<公6-m>0. 例1已知0<a<1<b,则下列不等式一定正确的是 () A.6-a>1 B.ab>1 c.b<1 D.a+6>1 D因为0a<1<b,所以a十b>1十a>1,故D正确：若b=1.1,a=0.9,满足0<a<1<b,此 时b一a=0.2<1,故A错误：若b=1.1,a=0.1,满足0<a<1<b,此时ab=0.11<1,故B错 误：因为0<a<1<b,所以2>1，故C错误.故选D. 知识点号 作差法比较大小 a-b>0=a>b(a,b∈R), 作差法：a一b=0曰a=b(a,b∈R), a-b<0=a<b(a,b∈R). 例2已知a为实数，M=2a(a一2)，N=(a十1)(a一3)，则M,N的大小关系是 () A.M>N B.MN C.M<N D.M≤N AM-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)+2>0,所以M>N.故选A. 141 藏在起点·初升高知识衔接 数学 知识点司作商法比较大小 8>l台a>b(a∈R.b>0, 作商法： g-1-a-b(aER.b-0). 8<1=a<a∈R,b>0). 例3已知>1，且x=√+I一，y=E-√-I,则xy之间的大小关系是 A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 C由题设，易知，y>0,又=于=十<1r<.故选C. y-√-I√c+I+ 随堂达标演练 L.对于实数a,b,c,下列命题正确的是 A.若a>b,则a2>b B.若a>b(ab≠0)，则2<} C.若a>b,则ac>bc D.若ac>bc,则a>b 2.已知x>y>1>>0a=1+,61+型c=1+些，则必有 ( y A.a>c>b B.b>e且a>c C.b>c>a D.a>b且a>c 3.(多选)已知“>b>0,c<0,则下列四个不等式中，一定成立的是 A后>6 B.ac<bc C.a>b-c D.a(b-c)>b(a-c) 4.(多选)下列命题为真命题的是 A若a<6,日<行则ab<0 B若a>b>0<dK0e>0.则二>6a C若>a>>0.则兰。>产 D若a>b>>0.则号公专 421 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 5.(多选)若a,b,c∈R,c>0>a>b,下列不等式一定成立的有 A.ab>ab B.1 D.b+1 aa十1 6(多选)下列说法正确的是 A.若a>b,c>d,则a+c>b十d B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若a<h.则ac<bc D.若a>b>0,c<0,则片>分 7.(多选)下列命题为真命题的是 A.若ac2≥bc2,则a≥b B.若a<b<0,则a>ab>b C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>6:则右 8.对于实数a,b,c,不正确的命题是 A若a>6.则u>生>b B.若a>b>0,则a>√ab>b C若启>，则a>0,0 D若a>6>0,>0,则号>8 9.若实数a,b满足1≤a十b≤5，一1≤a一b≤3，则下列说法不正确的有 A.0≤≤a≤4 B.-1≤b≤≤3 C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14 10.下表是某次运动会三种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用1200元预订15张这三种球 类比赛的各种门票，其中篮球比赛与乒乓球比赛的门票张数相同，且篮球比赛门票的费用不超 过足球比赛门票的费用.则可预订的足球比赛门票的张数为 比赛项目 足球 篮球 乒乓球 门票价格（元） 100 80 60 第二节基本不等式 课程标准要求 L.了解基本不等式的证明过程，（重点） 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小， 3.熟练学握利用基本不等式求函数的最值问题.（重点） 4.会用基本不等式求解实际应用题.（难点） 143藏在起点·初升高知识衔接. 数学 2.C若命题p为兵，则△=4十4a<0,解得a<-1,刚当命 题p为假命题时，a≥一1，故a的取值范国是a≥一1，故 第二章一元二次函数、方程和不等式 选C 3.D由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再 第一节等式性质与不等式性质 香定结花，则命题V>1>0”的香定是“>1， 【重福中考】 1.答案：一1<x<3 ≤0”，放进D 解析：：不等式ax一kr十c<b可变形为ax2十c< kx十，，，图象上抛物线在直线下方时对应x的范国即为 4.A因为p为低命题，所以p:r∈(x一1<x<3: 不等式的解集，观察西数围象可知：当一1<3时，抛物 x一a一2>0为真命题，故当一1<x<3时，a<x-2幢 线y=ax十c在直线y=kx十b的下方，∴.不等式a:x- 成主.国为当一1<x<3时，y=x一2的最小值为一2，所 k上十c<h的解集为一]<x3. 以a<一2，即a的取值范国为{aa<一2，故选A. 2.解：原不等式可以化为：(x十a一1)(.x一a)>0, 5.BD取a=一1，b=一3.满足a>b.而a<方.A不正确： 若a>-(a-1)即a>2则x>a或x<1-a, 存在量词命题的否定是全称量词命题，则“3x∈（一3， 十∞)，.x≤9”的否定是“Hx∈(-3，十∞)x>9”,B正 若a=-a-1用a=号期：名>0ER 确：取x=一2，y=1.满足x>y,而x<y,即r>y2不能 推出x>y,反之，取x=1,y=一2，满足x>y,而x<y, 若a<-(a-1D即a<号则r<a或x>1-a 即x>y不能推出x>y,所以“x>y”是“x>y”的既不 3.解：4,5是一元二次方程x十m正一n=0的两个不等实根， 充分又不必要条件，C不正确：当方程x一2x十m■0有 由韦达定理厂m=9, -n=20, 得m=一9，n=一20， 一正一负根时，由方程两根之积可得m<0,反之，当m< 不等式-20x2-9.x-1>0,20x2+9r+1<0. 0时，△=4一n>0,方程有两个根，并且两根之积为负 (4x十1)(5x+1)<0. 数，两根异号，所以“m<0”是“关于x的方程x一2x十 m=0有一正一负根”的充要条件，D正确. 不等式解为一<<一方 6.ABC3x∈R,x≤0，如x=一3，一3≤0，所以是真命题： 【随堂达标演练】 1,D由a>b,取a=2,bm一3，则>b不成立，故A错误： 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素致，如1是整 数，它既不是合数，也不是素数，所以是真命题： 由a>≥b时0，取a=1,6=-1,则言不成立，哉B 了x∈{xx是无理数}，x是无理数，如x=,r是无理 错误：当c=0时，ac'>bc不成立，故C错误：因为ac2> 载：所以是真命题：周为1<5<3，所以写<<号，所以 be,所以e>0,故arX>bc×之别>6，故D正 x不是然数，是假命题，故选AC 确，故选D 7.答案：3x∈R,x+3x十M≤0 2.D图为x>>1>>0,所以1<1<1 yr-y>0, 解析：命题“Hx∈R,x十3.x十4>0”为会称量词命题，它 r一e>0,y-g>0, 的否定是3x∈R,x十3x十40. 8.答案：(mm<2} 所以a=+>6=y叶a=+>c计 解析：由题意，命题p的否定“Vx>0,x一mr十1>0”为 4-b-x+1-y-1-(x-y》+二>0，所以>b. 真命题 即m<+对VE(0,+∞)推成立. a-c=r+-1=(x-)+y2>0,所以a>, ye 一6=计一y一=（二y)+特号不能磅定，所 周为>0>0+>8…=2. x 以b,c的大小不能确定.所以a>b且a>c.故适D. 3.ABD,a>>0,<0,.b-a<0,ab>0, 当且仅当x=1,即x=1时取等， “后一台--b>0,即后>。故A正确 所以m<2.故答案为{mm<2 a>b>0,e<0,∴ae<b,故B正痛：取a=2,b=1, 9.答案：② =一3，别a=2<h一c=4,故C错误：a>b>0.c<0, 解析：只有①②是全称童词命题，当x=0时，x=0,所以 '.b-a<0, ①是假命题.故答案为②. a(b-c)-b(a-e)=ab-ac-ab+bc=c(b-a)>0. 10.答案：{aa>4 牌a(b一c)>b(a-e),故D正确.故选ABD. 解析：”命题“3x∈R,x2一4.x十a=0”为假命题， AGD由a<6<右可得-吉<0，所以 a b ab .方程x一4.x十a=0无实数根.则△=（一4）一4a<0, 解得4>4. ab<0.所以A正确：若a>b>0.c<dK0>0.则。二 821 參考答案 片-<0，所以 国为1长a+长5，所以号<u+b)≤多 。亡。二所以B不正确：希>a>b>0,别品。 又国为一1≤a一心3，所以-5≤三 .15 2≤2a-b)≤2： 品。02=”>0，所以 c(u-b) 1 (c-a)(c-h) 所以-2≤，a+b)+号(a-b)≤10，即-2≤3a-263 C正角：若a>b>c>0,则号- 10,故C正确，D错误，故选D 10答案：5 ta0-名>0，所以D三痛.故 解析：设蓝球比赛的门票数为，足球比赛的门票数为y, b(b十c) 2x十y=15. 选ACD. 80x≤100y: 5.AC ab'-a'b=ab (b-a')=ab(b-a)(ba), 由题设有： xy∈N ① A正确：-右-品<0，故B播送：。产。 80x+100y+60x≤1200， b(h-e)-a(a-e2-h-a)(h+a=2>0,故C正确： 2x+y=15. 4r5y, (b-c)·(u-c)(b-c)·(a-c） b_b+1_b(a+1)-a(b+1)=b-a x,y∈N, aa+l a(a+1) a(a+),分母正负号 7x+5y≤60. 不确定，故D错误.故选AC 2(15-y)5y 6.AD由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以 故12(15-)+560. 即即<<5站合y为垫数，故 A正确：例如：0>-1,0>-1，但是0×0<一1×(-1)， 所以B错误；当c=0时，ac=bc2,所以C错误：国为a> y=5,此时x=5,检验符合不等式组①. >0:所以0<合←六又r<0,所以>台，所以D正 第二节慧本不等式 确，故迭AD, 【重温中考】 7.BC由ae≥be,若c=0时，不一定a≥b,故A错误：若 1.B整理不等式组得： 6r4≥-10， ① a<b<0,所以a-b<0,故a-ab=a(a-b)>0,ah- -8十4x<-x十12.② =b(a一b)>0,所以4>ab>b,故B正骑：由c>d得 由①得：x≥410 6 一d>一c,又a>b,所以a-d>b一c,故C正确：由于a> 由②得：x<4 6,无法角定山的正负，所以日一方-品的正负无法病 :不等式组有且只有4个然数解， .不等式组的4个整数解是：3,2,1,0， 定，故。与方的大小无法确定，故D错误，故选BC -1<4-10≤0. 6 8.C因为a>b,所以a-ab=2b>0,ab-b 2 2 解得：4<a≤10， 号>0，所以e>生>6：故A正确>6>0。 (a-5)x2十4.x十1=0有实数根， 2 ab ∴.4=6-4ac=16-4×(a-5)X1=36-4a≥0， 解得：a≤9， >1,所以。>函周为->1，所以v画>， :方程(a一5)x2十4x十1=0是一元二次方程. 16 ,,a≠5， 即>>6，故B正确：◆a=2.b=3,满足>方不 .4<a≤9，且a≠5， 满足条件的整数有：6,7,8,9： 满是a>0,C0,故C错误：周为a>b>0,>0,所以号 .6+7+8+9=30. -aat0-8-含>0，长D至确.故 故选B. 6+c b(+c) 2.解：1D证明：4=(2k+1)-4X1×4(k-7 选C. 9.D由1a十b≤5，一1≤a一b≤3，两式相加得0≤2a≤ =4k-12k+9 8.即0≤a≤4，故A正确：由一1≤a一b≤3，得一3≤h =(2k-3)3, a≤1，又1≤a十b≤5，两式相加得-2≤26≤6，脚一1 无论k取什么实数值，(2k一3)≥0， b3,故B正确：设3a一2h=m(d+b)十n(a一b》= .40, (m十n)4十(m一n》b, 无论取什么实数值，方程总有两个实数根： 1 m2' (2):x=一b生B-4ac_2k+1±(2k-3) 2 所以m十二3：解得5则3和一26二2(a十6)十 Za 一n=一2， x1=2k-1,x1=2, 2 ,b,恰好是这个方程的两个实数根，设6=2k一1，c=2, 24-b), 当a,6为腰，则a=6=4,即2k-一1=4，解得长=号此时 183