第二章第三节 二次函数与一元二次方程、不等式-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

藏在起点·初升高知识衔接】 数学 第三节二次函数与一元二次方程、不等式 课程标准要求 L.掌握一元二次不等式的解法.（重点》 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.（难点） 3.学握一元二次不等式的实际应用.（重点） 4,理解三个“二次”之间的关系。 5.会解一元二次不等式中的恒成立问题.（难点） 初中知识回眸 一元二次方程的根与系数的关系 L.一元二次方程ax十br十c=0(a≠0)的两个根为 6=6叶公@c,=-hB二 2a 2a 所以：x,十，=二b十y公4ac+-b-0-4ac。-b 2a 2a G·G=-b+6=4ac.-b-B-4ac--b-(B=4uc)-4ac=兰 2a 2a (2a) Aa?a' 6 韦达定理：如果一元二次方程a2+bx十c=0(a≠0)的两个根为x,那么x十x=一 2,常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形 x十x42=(x1十)-2x1x2, ,1+1=4十，(x-x)'=(x+z)- Ti I:Ix: x1-x2|=V(x1十x2)-4.x1x,x1x+xix=xx（1十x2), x十x=(工1十x2)一3x1工(x十x)等等.市达定理体现了整体思想. 图重湿中考 L.若x1,x2是方程x十2x一2007=0的两个根，试求下列各式的值： (1)x片+x: (2)1+1: (3)(.x1-5)(x2-5): (4)x1-21 48 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 2.已知关于x的方程2x2一，x十m=0. (1)若m=一2，方程两根分别为xx2,求x1一x和x+x的值： (2)若方程有一正数根，有一负数根，求实数m的取值范围. 3.设m是不小于一1的实数，使得关于x的方程x+2(m一2)x十m-3m十3=0有两个实数根x,x. (1)若x十x=2,求m的值： (2冷T-去十云求T的取值意图。 高中新课学习 知识点雪三个“二次”之间的关系 判别式△=b-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 0名=和主 0 一元二次方程a.x2十b.x十c= 有两个相异实根x1,x2 有两个相等实根x1 没有实数根 0(a>0)的根 (x1<x2) := 2a 元二次不等式a.x2+b.x十 {xx<x1或x>x} c>0(a>0)的解集 2x*- 2a R 一元二次不等式a.x2+bx十 {x|x1<r<x:} 财 0 c<0(a>0)的解集 149 赢在起点·初升高知识衔簧数学 例1（多选）已知关于x的不等式ax+x十c>0的解集为{x|x<-3或x>4},则下列结论 正确的有 A.a>0 B.不等式bx十c>0的解集为{x|x<一6 C.a+b+c>0 D.不等式cr-br十a<0的解集为女|x<-号或x>号 AD关于x的不等式ax2+bx十c>0解集为{x|x<-3或x>4}, 结合二次函数y=ax2十bx十c和一元二次方程ax十bx十c=0以及不等式的关系， 可得a>0,且一3,4是ax十bx十c=0的两根，A正确： -3+4=-b b=一a, 则 故 -3×4= c=-12a. a 所以b.x+c>0即一a.x124>0,x<一12，即bx十c>0的解集为{xx<一12}，B错误： 由于x的不等式ax”十bx十c>0解集为{x|x<-3或x>4}, 故x=1时，ax2十bxr十c<0,即a十b十c<0,C错误； 由以上分析可知不等式cx2一b.x+a<0即-12ax十a.x十a<0, 因为a>0,故12r-x-1>0x<-载> 故不等式cx-b缸十a<0的解集为|x<-或>D正确，故选AD. 知识点■解不含参数的一元二次不等式 例2（多选）下列不等式的解集为R的是 A.x°+6x+10>0 B.x+25x+5>0 C.-x2+x-2<0 D.2x2-3x-3<0 AC因为△=62一4×1×10=一4<0，所以不等式x十6.x十10>0的解集为R,所以A正确： 因为4=(2√5)-4×1×5=0， 所以方程.x+25x十5=0的两根为x1=x2=-√5， 所以不等式x十25x十5>0的解集为{xx≠一√5}，所以B错误： 因为△=12一4×（一1）×（一2）=一7<0，所以不等式一x2十x一2<0的解集为R,所以C正确： 因为4=(-3)-4×2×(-3)=33>0，所以方程2x-3x-3=0的根为r=3±3丽 4 所以不等式2x-3x-3<0的解集为女3-3丽<1<3+ 3,所以D错误.故选AC. s0 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 知识点司解含参数的一元二次不等式 1.二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二 次项系数为正的形式； 2.当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式△与0的关系： 3,确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解 集形式 例3（多选）不等式ax”一(a十2).x十2>≥0(a>0)的解集可能为 A.R B.0 C.{xx≤1或r≥2 D.{xx≤2或r≥1 ACD不等式ax2-(a十2)x十2>0(a>0)即(a.x-2)(x-1)≥0， 当名>1，即0<a<2时，不等式解集为xx≤1或r≥名： 当2=1，即4=2时，不等式解集为R: a 当2<1，即a>2时，不等式解集为{xx≤2或x≥1.故选ACD. a 知以点州一元二次不等式存在性或恒成立问题 a=b=0, a>0, 法一：①不等式a.x2十b.x十c>0对任意实数x恒成立台 或 c>0, △<0. a=b=0, a<0, ②不等式ax十bx十c<0对任意实数x恒成立台 或 △<0. 法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求 最值问题， 例4“一3<n<1”是“不等式(m一1)x2十(m一1)x-1<0对任意的x∈R恒成立”的 条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A当m=1时，(m一1)x2十(m一1)x一1<0对任意的x∈R恒成立， m1, 当m≠1时，则 解得：一3<m<1,故m的取值范围为一3<m≤1. △<0， 故“一3<m<1”是一3<m≤1的充分不必要条件， 故选A L5 赢在起点·初升高知识衔接数学 知识点。利用一元二次不等式解决实际问题 例5某商品在最近30天内的价格m与时间1（单位：天）的函数关系是m=1十10(0<t≤30， t∈N):销售量y与时间1的函数关系是y=一t十35(0<1≤30,1∈N),则使这种商品日销售金 额不小于500元的t的范围为 A.{t15≤t≤20，t∈N B.{t|10≤≤15，t∈N C.{t10<t<15,t∈N D.{t0<1≤10，t∈N B由日销售金额为(t+10)(-t+35)≥500(t∈N),即t-251+150≤0(t∈N),解得10≤t≤15 (t∈N).故选B. 随堂达标演练 1.设x∈R,则x<2是x-2x<0的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选)已知方程x十ax十b=0(a>0)有且只有一个实数根，则 A.a2-b≤4 Ba+6>4 C.若不等式x2十a.x一b<0的解集为{xx,<x<x},则x1x>0 D.若不等式x2十ax一b<0的解集为{xx1<x<x2},则x1x2<0 3.某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按1%征收木 材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不 少于180万元，1的取值范围是 () A.{11≤1≤3 B.{t2≤1≤4} C.{13≤1≤5 D.{t41≤6} 4.某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P(单位：元/件)与月销售量x(单位：件)之间的关系为P一 160一2.x,生产x件的成本（单位：元）R=500十30x.若每月获得的利润y(单位：元)不少于 1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为 A.{x20x<45 B.{x20≤x<45} C.{x20<x≤45) D.{x20≤x≤45} 521 第三部分巧对照一初高中知识行接 5.(多选)有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的 纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为 A.7 B.9 C.11 D.13 6.(多选)已知关于x的不等式a.x3+bx十c>0的解集为{x一1<x<2),则 A.a>0 B.x=一1是方程ax2十b.x十c=0的根 C.cx+r+a>0的解集为-1<r<2 D.cx+br+a>0的解集为x<-1或>2 7.(多选)关于x的不等式ax十(1一2a2)x一2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为 () A.-1 B c D.2 8.(多选)设区间[m,m]的长度为n一m.已知一元二次不等式(x十a)(x-5)≤0(a>0)的解集的 区间长度为，则 A.当a=1时，l=6 B.1的最小值为4 C.当a=1时，l=5 D.1的最小值为2√⑤ 9.已知不等式ax十b.x一1>0的解集为{x3<x<4},则24a+12b的值是 10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m的内接矩形花园（阴影部分），则 图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m)的取值范围是 40m 40四 153感在起点·初升高知识衔接 数学 三角形的周长=4+4+2=10： 当b.c为腰时，b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存 5.CDb=0时无意义，a0时，号+合<0，A锋误r<0 在.综上所述，△ABC的周长为10. 3.答案：2023 时x+=-(-x)-2-…=-4， 解析：2(x-1)+1=0与(a+6)x一(b+8)x十6=0 是“同类方程”， 当且仅当-=气=一2时取等号，B错溪十 .(a+6).x2-(6+8).r+6=(a+6)(x-1)+1, .(a+6)x-(b+8)x+6=(a+6)x2-2(a+6)x h++2V2+…石- 十a十7， b+8=2(a+6). 1,当里仅室十1即-0时等学成立.C正确： 6=a十7， D选项就是基本不等式本身，D正确.故选CD. 得：公2 6.B因为a>0,b>0,且2a+b=2.所以2/2ab≤2.所 .ax+hx+2022 以h≤号，当且仅当2a=b=1时，等号成立，剥A错误： =-x+2.x+2022 =-(x-1)+2023 由海唐可得}十名=合(2a+b(日+号) ∴.当x=1时，ax+r+2022取将最大值为2023. (合+0+4)≥号×(4+4)=4，当且仅当2a=b=司 【随棠达标演练】 1.B国为a,6为正实数，所以A=“生>伍=G,当且仅 时，等号底立别B正：国为宁所以十疗>清 8,当且仅当2a=b=1时，等号成立，则C正确：由题意可 当6等专成后方2√日古-高 a+2法-2瓜+高2，北 ab ab 所以H≤√b,当且仅当d=b时，等号成立，综上：H 时，2a山=3.因为2u十b=2,所以不存在a,b,使得 G≤A.故选B. 之.B不等式x十子≤m-3m有解， 2ab=3,则D错误.故选BC 12a+b=2. 7.答案：57 (+￥)≤m-3m 解析：授汽车以xkmh行驶时，行车的惑货用y r>0y>0,且1+4=1， y [36+6·(3+赢)月·0-540+号，周为50<< x+￥=(+)（分+）=号+#+2≥ 100,所以y=5400+ /5400. 3≥2°x 3r=60m, 2V+2=4 当且仅多500-号，即工=18v而57时，等号成这. 当且仅当g=之，即1=2y=8时取“=”， 故为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速 是57kmh. (+￥）-4，故mi-3m≥4 8答案：6√2十6 即(m+1)(m-4)≥0， 解析：设直角三角形的两直角边长分别为：>0，b>0,则 解得m≤一1或m≥4.数进B. a2+b=36,可得(a+b)≤2(a2+6)=72,当且仪当a aD因为+aw)(仕+号)=1+a+婴+号≥1+u+ b=3互时，等号成主，则4十≤62，所以这个直角三角 r y 形周长的最大值为6巨+G. 2V婴·于-1+a+2a,当具收当号-且>0y 第三节二次温数与一无二次方程，不等式 0时取等号，所以1十Q+2G≥16，整理得 【重温中考】 (、a+5)(va-3)≥0，解得a≥9，放正实数a的最小值 1,解：由题意，根据根与系数的关系得：x,十工=一2，上，2 为9.故选D. -2007. 4.ACDa>0,b>0,别a十12a>a,A恒成立：a=1,b=2 (1)x十x=(x1十x)'-2x1x2=(-2)2-2(-2007)= 时，d十h=3,2ab=4,a十h<2ab,B不恒成立 4018. a+0+-2+号+台>2+2层×名-4，当 (2)1+1-4+4=-2 2 3x132-20072007 仅当号-合，中a=6时等号减立.C成立：a十占时 (3)(0-5)(-5)=x1x1-5(0+x2)+25=-2007 5(-2)+25=-1972. 名≥2一2石-4：当具仅言a-61时等 (4)|x1-x11=√(x1-x=/,+,)-4xx- 号成立，D恒成主.故选ACD. /(-2)-4(-2007)=4/502. 841 参考答案 2.解：(1)当m=-2时，2x+2x一2=0即x2十x一1=0 品.C由题意，每年清耗木材为(20-2)万立方来，所以年 △=1十4>0,1十x=-1x=-1, 因此|x1-x=(x十x)-4x,x=5, 年税金为480×(20-号)×1%，要保运税金敢入每年不 x1-1=5, x+x=(x十x[x十x-xx]=(x十x)[(十x 少于180万元，可择480×(20-2)×1%>≥180且>0. 3x4]=-4. 解得3≤1≤5，即实数t的取值范围为{t|3≤t≤5).故 (2)2.x-mx十m=0 选C. 4-m-8m+-受-受 4,D由题意，得y=xP-R=x(160-2x)-(500十30x), ∴.y=-2x2+130x-500. △=m2一8m>0, 令y≥1300，得-2x2+130.x-500≥1300， x=g<0 。m≤0 .x-65r十900≤0， .(x-20)(x-45)0,.20≤r≤45. 3.解：(1)，关于x的方程x+2(n一2)x+m2-3m十3=0 故选D. 有两个实数根， ∴.4=4(m一2)°-4(m一3m十3)≥0，解得m≤1， 5.BC设桶的客机为x,根揭题意可得关于x的一元二次 :m是不小于一1的实数， 不等式：x-8)-4-8》≤20%·x,且x>8. .-1≤m≤1. 化简可得x-15.x+40≤0， :方程x2+2(m一2)x十m一3m十3=0的两个实数根为 T1C 8<5+丽 2 .x1+x2=一2(m一2)=1一2m,无1·x2=m一3m+3. 故选BC x十x-2,.(x1十x)-21z-2, 6.BD根据题意，易知：<0，故A辑误：根据题意，一1,2 .4(m-2)-2(m2-3m+3)=2, 都是方程ax十br十e■0的根，故B正痛：根据题意， 整理得m一5m十4=0，解得m,=1,m,=4(舍去)， .m的值为1： -1+2=-合-2=5，期6=-8e=-20,又4<0，故 2)T”+m=m十n 不等式cx十br+a>0可化为-2ax-a.x十a>0, 1-x (1-x1)(1-2) 2x2+x-1>0,即(2x-1)(x十1)>0，解得x∈ -m[x十x)-2xx】 1-(x1十2)十xx <一1我>}故C错误，D正确，（选BD =m(4-2m-2m+6m-62-一2m(m-1D 7.CD不等式化简为(a.x十1)(x一2a)<0的解集中恰有 1-4+2m十m-3m+3 m一加 3个正整数，当a=0时，不等式化为x<0.则解集中有无 =-2m(m-1) -=2一2m. 数个整数.当a<0时，不等式(ar十1)(x-2a)<0的解 m(-1) :当x=1时，方程为1+2(m一2)+m一3m+3=0, 条中有无教个正基教，截A错误：所以>0，一日<0 解得m=1或m=0. 当m=1或m=0时，T没有意义 2a>0,所以一】<2a,所以不等式的解集为： a .一1≤m<1且m≠0 ∴.0<2-2m≤4且T≠2. {口一。<20小，振播0一定属于光集合，则由不等式 即0<T≤4且T≠2. (ax十1)(x-2a)<0的解集中恰有3个正整数，则这3 【随堂达标演练】 个整载中一定为：12,3，则3<2a<4,解得<a<2,故 1,B由x2-2<0,脚r(x-2)<0,解得0<r<2 令集合A={r|0<<2},B={x|x<2}, a可取子和2，故C.D正确，AB错误：故选CD 图为A云B,所以x<2是x一2x<0的必要不充分条件. 故选B. 8AD国为一元二次不等式+a)-吾)≤0 2AD由题客4=。-0=0,6=号。-8=公-品后= (a>0)的解集为{x-a≤r≤5}。 a 。-8y+4≤40=2厄时取等号，A正确：+ 所以1=5-(-4)=a+三， a 名-+≥2V0·语-4，当且仅当a-即a=E 4 当a=1时，l=6,故A正确，C错误： 时等号成立，B正确：不等式x十ax一b<0的解集为 国为>0.所以1a+8≥21，豆-25（省里收青 (x1工)，则x1是方粒x十ax一b=0的解，所以xx= -b=-号<0，D正确，C错说.故选ABD, a=日即a-5时，等号成立)，所以1的混小维为2后 故D正确，B错误，故选AD 185 赢在起点·初升高知识衔接 数学 9.答案：5 解析：由题可知3和4是方程ax十bx一1=0的两个实 数被， 3十4= 由韦达定理可知 解得 7 3×4= 121 M1,-1) 则24a十12b=5. 3.解：设每封信的邮资为y(单位：分)，则y是x的函数，这 10.答案：{x10≤x≤30》 个函数的解析式为 解析：根据题意，由相似三角形将AF,FH表示出来，从 80,x∈(0,20 而表示出S,然后求解不等式，即可得到结果， 160.x∈(20,40] y=240,x∈(40,60] 320.x∈(60.80 400,x∈(80,100 40m 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示 分)下 400 40m 320 240 如图，过A作AH⊥BC于H,交DE于F,号知PE 160 BC 中看一5则AF=,FH=0-么所以矩形花理 80 AF 020406080100克， 的面积S=x(40-x)≥300，解得10≤r≤30. 【随堂达标演练】 第三章 函数的概念与性质 1,A对①②，对于定义城内的任意一个x,都有唯一的y 值与x对应，则①②正确：对③，在r∈[0,1门内，此时一 第一节玉数的概念与表示 个x有两个y值与工对应，则③错误：对④，在 x∈[一1,0]内，此时一个x有两个y值与x对应，则 【重温中考】 ④错误.放选A. 1,解：二次函数y=2x一4r十3的解析式可变为y■ 2.ABC根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变 2x一1)十1，其顶点坐标为(1,1). 量x,都有唯一的西数值y与它对应，因此，只有选项D正 (1)把函数y=2(x一1)+1的图象向右平移2个单位，向 确，选项ABC都错误. 下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3.0)，所 以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y= 3.B根据解析式代入求解即可f(f(3))= () 2(x-3). f(1)=2+1=3.故选B. (2)把函数y=2(x一1)+1的图象向上平移3个单位，向 2x,0<x≤4. 左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是（一1,4）， 所以，平移后所得到的函数图象对应的两数表达式就为 4,D依据题意，有S=f(x)= 8,4<r8, y=2(x+1)+4. 24-2x,8x<12, 2.解：(1)如图.把二次函数y 则画数S一f(x)的图象是由三段折线段构成，故非除选 2x-4r十1的图象关于直线 项ABC.故选D. x=一1作对称变换后，只改 5.BC 函数f(x)■ |x,-2≤x<1 -x+2,x≥1 的定义域是 变图象的顶点位置，不改变其 形状.由于y=2r2-4x十1= [-2,十∞)，故A错误：当-2≤x<1时，f(x)=x,值 2(x一1)-1可知函数y A,.-1 41.-10 战为[0,4]，当x≥1时，∫(x)=一x十2，值战为 2x2一4x十1图象的顶点为A(1,一1).所以，对称后所得 (一c,1门，故f(x)的值城为（一o,4门，故B正确：当 到图象的顶点为A,(一3，一1)，所以，二次函数y=2.x x≥1时，令∫(x)=一x十2=2，无解，当一2≤x<1时， 4x十1的图象关于直线x=一1对称后所得到图象的函数 令f(x)=x=2.得到x=-2,故C正确：当一2≤x< 解析式为y=2(x+3)-1,即y=2x+12x+17. 1时，令f(x)=r<1,解得x∈(-1,1)，当r≥1时，令 (2)如图，把二次函数y=2x一4x十1的图象关于直线 f(x)=-x+2<1.解得x∈(1，十∞)，故f(x)<1的 y=1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向， 解集为(-1,1)U(1,十oo),故D错误.故选BC 不改变其形状.由于y=2x一4江r十1=2(x一1)一1可 6.BD由题意知函数f(x)的定义域为（一四，2），故A错 知，函数y=2x一4x+1图象的顶点为A(1,一1)，所以， 误；当x≤一1时，f(x)的取值范周是（一，1]，当一1< 对称后所得到图象的顶点为B(1,3),且开口向下，所以， x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为 二次函数y=2x一4x十】的图象关于直线y=1对称后 (一，4)，故B正确：当x=1时，f(1)=1=1,故C错 所得到图象的函数解析式为y=一2(x一1)+3，即 溪：当x≤一1时，x十2=3，解得x=1(合去)，当一1< y=-2x+4x+1. r<2时，x=3,解得r=3或x=-3(舍去)，故D正 86