第二章第二节 基本不等式-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

第三部分 巧对照一初高中知识衔接 5.(多选)若a,b,c∈R,c>0>a>b,下列不等式一定成立的有 A.ab>ab B.1 D.b+1 aa十1 6(多选)下列说法正确的是 A.若a>b,c>d,则a+c>b十d B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若a<h.则ac<bc D.若a>b>0,c<0,则片>分 7.(多选)下列命题为真命题的是 A.若ac2≥bc2,则a≥b B.若a<b<0,则a>ab>b C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>6:则右 8.对于实数a,b,c,不正确的命题是 A若a>6.则u>生>b B.若a>b>0,则a>√ab>b C若启>，则a>0,0 D若a>6>0,>0,则号>8 9.若实数a,b满足1≤a十b≤5，一1≤a一b≤3，则下列说法不正确的有 A.0≤≤a≤4 B.-1≤b≤≤3 C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14 10.下表是某次运动会三种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用1200元预订15张这三种球 类比赛的各种门票，其中篮球比赛与乒乓球比赛的门票张数相同，且篮球比赛门票的费用不超 过足球比赛门票的费用.则可预订的足球比赛门票的张数为 比赛项目 足球 篮球 乒乓球 门票价格（元） 100 80 60 第二节基本不等式 课程标准要求 L.了解基本不等式的证明过程，（重点） 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小， 3.熟练学握利用基本不等式求函数的最值问题.（重点） 4.会用基本不等式求解实际应用题.（难点） 143 感在起点·初升高知识衔接 数学 初中知识回眸 一元二次方程根的判别式与韦达定理 一元二次根的判别式 次方程a2+br+c=0(a≠0)，用配方法将其变形为：(x+名)=r,把一4ac 4a9 一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)的根的判别式，表示为：△=b一4ac. 1.当△=6-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：x=二b士YB二4ac 2a 2.当△=6-4ac=0时，因此，方程有两个相等的实数根：x=一2 b 3.当△=b一4ac<0时，因此，方程没有实数根. 国重温中考 6.x-a≥-10， 1.使得关于x的不等式组 -1+2- 江+多.有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方 程(a一5)x十4.x十1=0有实数根的所有整数a的值之和为 () A.35 B.30 C.26 D.21 2.已知关于x的一元二次方程：x-(2k+1Dx+4(k-)=0. (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的 周长。 3.新定义，若关于x的一元二次方程：m(x一a)”十b=0与n(x一a)十b=0,称为“同类方程”.如 2(x-1)2+3=0与6(x-1)2+3=0是“同类方程”.现有关于x的一元二次方程：2(x一1)2+ 1=0与(a十6)x2-(b+8)x十6=0是“同类方程”.那么代数式ax2+bx十2022能取的最大值 是 441 第三部分巧对照一初高中划识衔接 高中新课学习 知识点 由基本不等式求最值或取值范围 1,基本不等式：Va≤4十b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2十b≥2ab,a,b∈R,当且仅当a=b时取等号： (2治+号≥2,6>0，当且仅当a=6时取等号： (3)a6≤（艺）a,6∈R,当且仅当a=b时取等号： 4生>≥】 ,a,b∈R,当且仅当a=b时取等号. 3,利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则： (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x十y有最小值是2√p.(简记：积定和最小) (2)如果和x十y是定值p,那么当且仅当x=y时，y有最大值是号，（简记：和定积最大） 例1（多选）已知实数a,b∈R,且2a十b一1，则下列结论正确的是 A.ab的最小值为日 B公+6的最小值为号 C。+片的最小值为6 n082 BDa,6∈R,由2a十b=1≥2V2ab,则abg,当且仅当2a=b=时，等号成立，故A错误： 因为a,b∈R,2a+b=1,所以0<a<2: 1 由a+6=d2+(1-2a)=5(a-号)+号，所以当a=号时a+有最小值号，故B正确： 站+方-（日+若2a+o)=3+2+g3+2,2要-3+2区. 当且仅当么-20即a=2,2b=2-1时，等号成立，故C错误： a b 2 2号-。9-2名周为0a<合所以-1a-1长-2一4<-2，可得0< a-1a-1 -22 <2,故D正确.故选BD. 145 赢在起点·初升高知识衔接数学 知识点巴由基本不等式证明不等式 例2若a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是 A.a2+b≥2ab B.a+b≥2ab c.d2+6≥2a+b n+aa≠b) D因为(a-b)≥0，显然有a十b≥2ab,故A正确：而a>0,b>0,所以a+b≥2√ab,故B正 确：又a+-2a+b)=0+0-ab=a-b≥0，所以a+b>a+b,故C正确： 不好令a=26=1,则日+名受>。1a≠6)，故D错误故连D 知以点利用基本不等式解决存在性或恒成立问题 例3 若对x>0,y>0,有(x+2y)·(2+上)≥m恒成立，则m的取值范围是 () A,m≤4 B.m>4 C.m<0 D.m≤8 D因为x>0,y>0,所以(z+2)·(2+)=2+1+4y+2≥4+2，任.4y=8,当且仅当 y t 2y=x时取等号，所以m≤8.故选D. 知识点四利用基本不等式解决实际问题 1.此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学 问题求解： 2.当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求 解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解， 例4快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分栋中心.假定每月的土地租金成本与分拣 中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经 测算，如果在距离货运枢纽10km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分 别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为() A.5 km B.6 km C.7 km D.8 km A设土地租金成本和运输成本分别为W,万元和W,万元，分拣中心和货运枢纽相距skm,则， w=套W:=,将=10，w=2,W:=8代入可得，=20，=言，所以w,=20,W:=言，故 W十W,-+号≥2√四·哥=8，当里仅当=5时取等号，故造八 46】 第三部分 巧对照一初高中知识衔接 随堂达标演练 1.已知e,b为正实数A=生骨-+古G=而，则 A.G≤H≤A B.H≤G≤A C.G≤A≤H D.H≤A≤G 2.若两个正实数xy满足+号1，且不等式x+<m-3m有解，则实数m的取值范国（) A.-1<m<4 B.m≤-1或m≥4 C.-4<m<1 D.-4≤m≤1 3.已知不等式(x十ay)侵+)≥16对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（) A.2 B.4 C.6 D.9 4.(多选)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是 A.a2+1>a B.a+b≥2ab C.a+b(日+2)≥4 D.(a+a)b+6)≥4 5.(多选)下列结论正确的是 () A若a,bER.则总+号≥2 B若x<0.则x+>-2,日 -4 C.r++ D.若a>0,b>0,则a十b≥2√ab 6.(多选)已知a>0,b>0,且2a+b=2,则 A.a6的最小值是号 B。+号的最小值是4 a C子+清的最小值是日 D.2a+1)+1D的最小值是26 ab 7.已知A,B两城市的距离是100km,根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在50~ 100km/h,假设油价是6元/L,以xkm/h的速度行驶时，汽车的耗油率为3+30)L/h,其他 费用是36元/h.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是 km/h.(精确到 1km/h,参考数据√10=3.162) 8.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此 定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等 于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值为 L47参考答案 广-<0，所以 因为1长a+长5，所以a+0≤号 a二。所以B不正确：希>a>b>0,别品。 又周为-1<-63,所以-<a-0< .15 。-02-2>0,片以 c(a-b) 1 (c-a)(c-h) 所以-2≤7(a+b)+号(a一b)≤10，即-2≤3a-263 C正确：若a>b>c>0,则号- 10,故C正确，D错误，故选D 10答案：5 ta0-名>0，所以D三痛.故 解析：设篮球比赛的门票数为，足球比赛的门票数为y, b(b十c) 2z十y=15. 选ACD. 80x≤100y, 5.AC ab'-ab=ab (b-a')=ab(b-a)(b+a) 由题设有： xy∈N ① A正确：-古-品<0，做B错溪：产产。 80x+100y+60.x≤1200， b(h-c)a(a-c2-h-a)(h+a=c>0,故C正确： 2x+y=15. 4r5y, (b-)·(u-c)(h-c)·(a-c） 故 b_b+1=b(a+1)-a(b+1)_6-a xy∈N, aa+l a(a+1) a(a+),分母正负号 7x+5y≤60， 不确定，故D督误.故选AC, 2(15-y)5y 6.AD由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以 故1号（15-)+5y≤60.1 即即<<5站合y为垫数，故 A正确：例如：0>-1,0>-1，但是0×0<一1×(-1)， 所以B错误；当e=0时，ac=bc2,所以C错误：国为a> y=5,此时x=5,检脸符合不等式组①. >0:所以0<合名又r<0,所以>台，所以D正 第二节装本不等式 确，故迭AD, 【重温中考】 7.BC由ue≥he,若c=0时，不一定a≥b,故A错误：若 1.B整理不等式红得： 6r4≥-10， ① a<b<0,所以a-b<0,故a2-ab=a(a-b)>0,ah- -8十4x<-x十12，② =b(a一b)>0,所以a>ab>i,故B正骑：由c>d得 由①得：x≥410 一d>一c,又a>b,所以a-d>b-c,故C正确由于a> 由②得：x<4 6,无法角定山的正鱼，所以日一方-品的正负无法病 :不等式组有且只有4个整数解， 定，故日与方的大小无法精定，故D铅民，数造BC .不等式组的4个整数解是：3,2,1,0， -1<4-10≤0. 6 8.C因为4>b,所以a-a时也=b>0.十b-b 2 2 解得：4<a≤10， 号>0，所以a>生>6：故A正确>6>0 (a-5).x2十4.x十1=0有实数根， 2 ab ∴.△=b-4ae=16-4×(a-5)X1=36-4a≥0， 1,将以而调为-瓷1所以瓜 解得：a≤9， :方程(a一5)x2十4x十1=0是一元二次方程. b ,,a≠5， 即>>6，故B正确：◆a=2.b=3,满足>方不 .4<a≤9，且a≠5， 满足条件的整数有：6、7,8,9： 满是a>0,C0,故C错送：周为a>b>0,c>0,所以号 .6+7+8+9=30. -e0atD-8-名}>0，故D正确，故 故选B. b+c b(be) 2.解：(1D证明：4=(2k+1)-4×1X4k-名) 选C. 9.D由1a十6≤5，一1≤a一b≤3，两式相加得0≤2a≤ =4k-12k+9 8.即0≤a≤4，故A正确：由一1≤a一b≤3，得一3≤h- =(2k-3), a≤1，又1≤a十b≤5，两式相加得-2≤2b≤6，啤一1≤ 无论k取什么实数值，(2k一3)≥0， b3,故B正确：设3a一2h=m(d+b)+n(a一b）= .4≥0， (m十n)日十(m一n)b, 无论取什么实数值，方程总有两个实数根： m2’ (2):r=一h生万-4ac-2k+1±(2k-3 s,m十三3解得5期和2b2（a十6)十 Za m一n=一2， .x1=2k-1,x1=2. 2 ,b,恰好是这个方程的两个实数根，设6=2k一1，c=2, 2a-b). 当a,6为腰，则a=6=4,即2k-一1=4，解得=号此时 183 感在起点·初升高知识衔接 数学 三角形的周长=4+4+2=10： 当b、c为腰时，b=c=2,此时b+c一a,故此种情况不存 五.CD=0时无意义，ab<0时，号+合<0，A错误<0 在.综上所述，△ABC的周长为10， 3.答案：2023 时+=-(-计与-2V-…=-4 解析：2(x-1)+1=0与(a+6)x一(b+8)x+6=0 是“同类方程”， 当且仅省-=会=一2时取等号，B锋溪十 .(a+6).x2-(b+8).r+6=(a+6)(x-1)+1, .(a+6)x-(b+8)x+6=(a+6)x-2(a+6)x ++为2V2+…石-1= 十a十7， /b+8=2(a+6). 1,当里仅室r十1-即-0时等学成立.心正确： 16=a+7, D选项就是基本不等式本身，D正确.故选CD 年得：公2 6.BC因为a>0,b>0,且2a+b=2.所以2/2ab≤2，所 ∴.ax2+hx+2022 以h≤号，当且仅当2a=b=1时，等号成立，剥A错误： =-x+2.x+2022 =-(x-1)+2023. 由海唐可得}十名=古(2a+b(日+号) .当x=1时，ax+br+2022取得最大值为2023. (合+0+4)）≥号×(4+)=4，当且仅当2a=b=司 【随堂达标演练】 1.B周为a,6为正实量，所以A=“生>伍=G,当且仅 时，等号底立别B正典：国为宁所以十疗>清 8,当且仅当2a=b=1时，等号成立.则C正确：由题意可 当-6时，等5成清方2日石后 a+山2法-2瓜+高2，北 ab √ab 所以H≤√ab,当且仅当a=b时，等号成主，综上：H 时，2a山=3.因为2u十b=2,所以不存在a,b,使得 G≤A.故选B. 之.B不等式x十子≤m-3m有解， 2ab=3,。尉D错误.故选BC 12a+b=2. 7.答案：57 (+￥）≤m-3m 解析：授汽车以xkmh行欢时，行车的惑货用y :r>0y>0,且1+4=1， y [36+6·(3+赢)月·0-540+号，周为50<< x+兰=(+)（任+）=苦+若+2≥ 100,所以y=5400+ /5400. 3≥2x 3r=60v0, 2V号+2=4 当且仅含50-号，中=18vm≈57时.等号成立. 当且仅当g=兰，即=2，y=8时取“=” 故为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速 是57kmh. (+￥）-4，故mi-3m≥4 8答案：62十6 即(m十1)(m-4)≥0， 解析：设直角三角形的两直角边长分别为：>0，b>0,则 解得m≤一1或m≥4.数进B. a2+b=36,可得(a+b)'2(a+6)=72,当且仪当a aD周为(+w)(位+）1+a+g+号>≥1+u+ b=3互时，等号成主，则4十≤62，所以这个直角三角 r y 形周长的最大值为6巨+G. 2V婴·号-1+a+2a,当且仅当-且>0，y> 第三节二次递教与一无二次方程，不等式 0时取等号，所以1十a+2a≥16，整理得 【重温中考】 (、a+5)(va-3)≥0，解得a≥9，故正实数a的最小值 1,解：由题意，根据根与系数的关系得：x,十工=一2，上，2 为9.故选D. -2007. 4.ACDa>0,b>0,期a2+1≥2a>a,A每戒立：a=1,b=2 (1)x+x=(x1+x2)'-2x1x2=(-2)2-2(-2007)= 时，d十b=3,2ab=4,a十b<2ah,B不恒成立 4018. a+0(+-2+号+台>2+2层×名-4， (2)1+1-+4=-2 2 x3x152-20072007 仅当号-合，中a=6时等号减立.C极成立：仙+占计 (3)(0-5)(x-5)=x1x1-5(0+2)+25=-2007 5(-2)+25=-1972. 名≥2一正2石-4：当且仅言a-1时等 (4)|x1-x|=√(x1-x)/(,+,)-4x无- 号成立，D位成立，故选ACD. /(-2)-4(-2007)=4/602. 841