第二节 第2课时 函数的奇偶性-【赢在起点】2024年初高中衔接教材数学

第三部分 巧对照 -初高中知识衔接 ( 2.设定义在R上的函数f(x)一xx ,则f(x) ) A.只有最大值 B.只有最小值 C.既有最大值,又有最小值 D.既无最大值,又无最小值 3.已知函数f(x)一1一2x在区间[一1,(]上的最大值为3,则实数.的取值范围是 A.(1,3] B.[1,3] C.[-1,3] D.(-1,3] 4.(多选)下列关于函数f(x)- 一x十2x十3的结论正确的是 ) A.单调递增区间是[一1,1] B.单调递减区间是[1,十o) C.最大值为2 D.没有最小值 ax-1.ra. 5.(多选)设函数f(x)一 f(x)存在最小值时,实数a的值可能是 ) *-2ax十1.x. A.一2 B-1 C.0 D.1 6.(多选)关于函数y一v4一(x十1),下列说法正确的是 _~ A.在区间[-1,0]上单调递减 B.单调递增区间为[-3,-1] C.最大值为2 D.没有最小值 7.设函数/(c)- 8.已知函数/(x)=x十ax+3.若VxE[1,2,恒有/(x)>0,则实数a的取值范围为 第2课时 函数的奇偶性 课程标准要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义,(难点) 2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系,(重点) 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.(重点 初中知识回牟 二次函数的三种表示方式 1.一般式 y-ax*+bx+c(a70). 2.顶点式 y-a(x十h)十 (a-0),其中顶点坐标是(一h,). 3.交点式 y=a(x一x)(x一x。)(a子0),其中x,x是二次函数图象与x轴交点的横坐标 13 赢在起点·初升高知识衔接 数学 重温中考 1.已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y一x十1上,并且图象经过点(3,一1),求二 次函数的解析式 2.已知二次函数的图象过点(一3,0).(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式 3.已知二次函数的图象过点(一1,一22),(0,一8),(2,8),求此二次函数的表达式 高中新课学习 函数的奇偶性 定义 奇偶性 图象特点 如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x,都有f(一x) 偶函数 关于v轴对称 一f(x),那么函数/(x)是偶函数 如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x,都有/(一x) 奇函数 关于原点对称 一一/(x),那么函数/(x)是奇函数 【注意】 函数的单调性是针对函数定义域或定义域上一个区间而言,是局部概念,函数的奇偶性 是针对定义域内任意x而言,是整体概念, 例1 下列说法中错误的是 。_ _~ A.奇函数的图象关于坐标原点对称 B. 图象关于v轴对称的函数是偶函数 C.奇函数一定满足/(0)一0 D. 偶函数的图象不一定与v轴相交 641 第三部分 巧对照 初高中知识衔接 C g(x)是偶函数,但它的图象不与y轴相交,故D正确,故选C. 知识点 函数奇偶性的判断 例2 下列函数中,是奇函数的为 .(2)一 B.f(r)一.* C./(x)-x十1 -,定义域为0< A - 知识二 奇偶函数的图象问题 例3(多选)奇函数y=f(x)在xE[一4,0]的图象如图所示,则下列结论正确的有 A.当x[-4,0]时f(x)E[-2,2] B. 函数/(x)在[2,4]上单调递减 C./()>f()# D.函数/(x)在(-2.-)(,2)上单调递增 ABD 根据图象可知: xE[-4,0]时,f(x)[-2,2],A正确.f(x)在[-4,2],[,o]上递减,在-2.]上 递增,由于(t)是奇函数,所以f(2)在[2,4],,上递减,在{,2上递增,所以B正确, D正确,由于f(x)在,2]上递增,所以()</(),所以C错误,故选ABD. 知识四 利用函数的单调性与奇偶性解不等式问题 例4 函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,十c)上是增函数,f(3)</(2a十1),则a的 取值范围是 ) A.a>1 B.<-2 C.a1或a<-2 D.-1<<2 C 因为函数/(x)在实数集上是偶函数,且/(3)</(2a十1),所以/(3)</(|2a十1l),又函数 f(x)在[0,+o)上是增函数,所以3 l2a+1l,解之得a1或a<-2.故选C. 165 赢在起点·初升高知识衔接 数学 随堂达标演练 1.设偶函数f(x)的定义域为B,当xE[0,十c)时函数f(x)是减函数,则f(一3),f(n) /(一3.14)的大小关系为 ) A.f(n)-f(-3.14)>f(-3) B.f(n)<f(-3.14)<f(-3) C./()一/(-3.14)/(-3) D./(n)</(-3)/(-3.14) 2.(多选)关于函数y一 x的说法正确的是 _ By-x-{ (x(x二0) A.值域为(0,十) -x(r0) C.该函数为偶函数 D.在(-oo,0)上为增函数 3.设f(x)一一x十(a-2)r十x是定义在[2b,b十3]上的奇函数,则f(a+b)- __ A.一1 B.0 C.1 D.-2 4.(多选)已知函数f(x),g(x)均为定义在R上的奇函数,且f(x)关0,g(x)关0,则 A./(x)十g(x)是奇函数 B./(x)一g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 D./(x)g(x)是偶函数 5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十1)为奇函数,f(x十2)为偶函数,且对任意的x. .f(x)一f(c:)o,则下列结论不正确的是 x(1,2),且x&-x,都有 __ x一r: A./(r)是奇函数 B.f(1023)-0 D./(-)>7## C. f(x)的图象关于(1,0)对称 r十 ###-##-#### 7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R./(2x一1)是奇函数,则使得f(1)一0成立的充分条件是 A.f(x)在[-3,0]上单调 B.f(x)为偶函数 C. f(2x+1)为偶函数 D.f(x十2)=f(x)+f(2) 8.已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当0<x<1时,f(x)=x(x-1),则当-1<<0 时,f(x)一 9.已知函数f(x)-r*-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,则m十n= 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=一^}十3x,则f(x)的解析式为 66赢在起点·初升高知识衔接 数学 5.ABC 因为/(r)= ar-1,r. 第2课时 -2ax十1,xa. 品数的奇偶性 若a0,当xa时f(x)=ar-I在(-po,a)上单调递 【重温中考】 增,当x→一时/f(x)→一,此时函数不存在最小值 1.解:.二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的 [-1r0. 若a-0,则/(x)= 此时/(x)二一1,符 纵坐标, 十1,r0. .顶点的纵坐标为2. 合题意; 又顶点在直线y一r十1上. 若a0,当xa时f(r)-ar-1在(一o,a)上单调递 所以,2-z+1..-1. 减,当xa时((x)=r-2ar+l,二次画数y-^ .顶点坐标是(1.2). 2ar+1对称轴为x一a,开口向上,此时f(x)在 设该二次函数的解析式为y一a(x-1)+2. [a,十)上单调递增,要使函数f(z)存在最小值,只需 .二次函数的图象经过点(3,-1). 之0. 解得a<一1,综上可得a -1-2a+1. .-1-a(3-1)+2,解得a=- (一.-1]U(0).故选ABC 6.ABC 由4-(x+1)0得-3<x1,即函数y- 4-(r+1)的定父城为[-3,1],令(-4-(x+1) 则,一4一(r十1)的图象是开口向下,对称轴为x=-1 的抛物线,所以函数1-4-(x+1)在[-3.-1]上单调 2.解;法一;.二次函数的图象过点(一3,0),(1,0). 递增,在[-1,1]上单调递减,又v一单调递增,所以 .可设二次函数为y-a(r十3)(x一1)(a:0). 展开,得y-ar+2ar-3. y- 4-(c十1) 在[-3.-1]上单调遥增,在 [一1,1]上单调递减,故A、B正确;y. 4 4-(-1+1)-2.当-3时,y- 4-(-3+1)-0 由干二次函数图象的顶点到x轴的距离等于2 当x-1时,y4-(1十1)-0.则y-0.故C正确,D错 .-4a-2,即a-士2. 误。故选ABC. 7.答案:10 所以,二次函数的表达式为y-+-或y- 解析:因为(c)-2(-2)+4-2+4。 一? 所以f(x)在[3,4上是减函数 所以m-f(4)-4,M-f(3)-6. 法二:.二次函数的图象过点(一3,0),(1,0). '.对称轴为直线:一一1. 所以M十n-6+4-10. 8.答案:[一23.十。) 又顶点到:轴的距离为2. '.顶点的纵坐标为2或一2. 解析:法一:若Vx[1,2],恒有((x)0,只需 于是可设二次函数为y-a(r+1)+2,或y-a(x+1) f(c)二0. -2. 设品数f(x)-r+ar+3在[1,2]上的最小值为g(a),则 (1)-<1,即a→-2时,g(a)-/(1)-1+a+3- 由于函数图象过点(1,0). &0-a(1+1)+2,或0-a(1+1)-2. 或_ $+a0,即a-4,所以a-2; .- 所以,所求的二次函数为y一一 7+>0,即a一 1(r+1):-2. (3)当1-<2,即-4<a<-2时,g(a)#-/(-) 3.解:设该二次函数为y=ax十hx十c(a-0) 由函数图象过点(一1.一22).(0.-8),(2,8),可得 -22-a-6+c -2③<a2③,则-2③<a-2. 一8-( 综上,实数a的取值范围为aa一2③]. 8-4a+26+c 法二:若Vx[1,2],桓有f(x)0,即对任意x 解得a--2.b-12.c--8. [1,2]恒成立,所以a一--3对任意的x[1.2]恒成 所以,所求的二次函数为y=-2x+12x-8. 【随堂达标演练】 立,而--3--(+)<-2、,当且仅当-3. 1.B 由题意知画数f(x)为偶函数,所以f(x)一f(|x ). 因为 -3<|-3.14 ,当x[0,+o0)时,f(x)是减 即x一3时取等号,所以a一2/③,因此,实数a的取值 &数,所以f(|一3)>f |一314|)>f(n),所以f(r) 范围是[-2③,十). f-3.14)/(-3).故选B. 881 参考答案 (x0)根据图象可知,值域 7. BD 2.BC 函数f(x)的定义域为R,f(2x一1)是奇函数,则 f-2x-1)-- 2r-1),所以f-2r-1)+f2- 为[0,十),为偶函数,在(一00,0)上为减函数。 一0,故&数关于(一1,0)中心对称,所以f(一1)-0. r f(r)在[-3,0]上单调,由/-1)-0不能确定/(1)= 0.故A错误;f(x)为偶函数,又f(一1)一0,所以f(1) 0.故B正确:f(2r+1)为偶画数,则((一2*+1) f(2x十1),可知画数关于1-1对称,不能确定f(1)-0. 故C错误;因为f(x)关于(一1,0)成中心对称,所以f(x) 故选BC. 十f(-x-2)-0,令x--2则f(-2)--f(0),因为 3.B 因为f(r)--r十(a-2)x十文是定义在[2b,b+3] f(x+2)=f(z)+f(2),令x=0,则f(2)-f(0)+ 上的奇函数,所以2十b+3-0,即b--1,且f(-x f(2),解得f(0)-0,令x=-2则f(0)=ff-2)+f(2). r+(a-2)r-r-f(r),故a-2-0,所以a-2,所以 解得f(2)--f(-2).令r--1,则f(1)-f(-1)+ fr)=-r+x,判f(a+b)-f(1)--1+1-0.故 f(2)-/(2).综上可得/(1)-f(2)-一f(-2)= 选B. f(0)-0,所以f(x十2)-f(x)十f(2)是使得f(1)-0 4.ABC 成立的充分条件,故选BD. 因为函数f(r),i(x)均为定义在R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),设F(x)= 8.答案:一r:一r 解析:当-10时,0-1 f(x)+g(r),则F(一x)=f(一r)十g(-x) 一f(x)-g(x)-一F(r),所以f(r)+g(x)为奇函 因为函数/(x)是定义在[一1,1]上的奇函数, 故f(r)=-/(-r)--[-r(-x-1]---x. 数,故A正确;设F(x)=/(x)一g(r),则F(一x) 9.答案:2 f-r)-g(-x)=-f(r)+g(x)=-F(r),所以 解析:函数/(x)=x一mx十4是定义在区间 f(x)一g(x)为奇函数,故B正确;设F(x)= [一2一n,2n]上的偶画数, f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f() 得f(-x)-f(x),所以(-x)-m(-x)+4-- [一g(x)]一F(x),所以f(x)g(r)为偶函数,故C正 nx+4,解得m-0. 确;设F(x)=f(x)lg(x),则F(-r)=f(-x) 且定义域[-2-n,2n]关于原点对称,所以-2-n+2a-0. |g(-x)=-f(x)|一g(r)|=-F(x),所以 解得n-2: f(工)g(x)|是奇函数,故D错误,故选ABC 所以m十n-2. 5.A 由题设,f(-x十1)--f(x十1),即f(x) -r+3r0 10.答案:/(c)- 1--r,po 或(/(x)--+3lxl) 一f(2一x),则f(x)关于(1,0)对称,C正确:f(一x+2) 一f(x十2),即f-x)-f(x+4),f(x)关于x-2对称, 解析:根据题意可知,当x~0时,一x0. 所以f(x)一一f(x+2)-f(x+4),即/(x)周期为4,且 则/(-x)--(-r)+3(-r)--r-3r. ((r)一((一x),即((x)为偶品数,A错误;则/(1023) 又函数f(x)是定义在R上的偶晶数,所以f(一r)一 f(r),因此当xC0时,f(r)一一r一3r。 f4×256-1)-/(-1)-f(1)-0.B正确;又r· 所以/(r)的解析式为/(x)一 .一1. 第三节 (1.2)上递增,综上,((x)在(0:1)上递增,则(2,4)上 寡&数 【随堂达标演练】 6.ABD 当a0,b-0时,f(-x)-(- 1.A 当a0时,品数y一r”在第一象限内单调递减,当 a0时,寡函数y一r在第一象限内单调递增,所以C. 一一f(x):当a0,c0时,f(x)定义域为B且为奇函 C.0.C,C0.当x1时,函数y-r”在第一象限 内单调递增,所以之之之,所以相应曲线 数,在(0,十co)上f(x)0,在(0,)上道增,在 (,十oo)上递减,A可能;当a0.c0时,f(r)定义域 为rlx子士V一且为奇函数,在(0,一c)上f(x)0 2.D 函数y-x”(m后N)在(0,+oo)上单调递 且逆增,在(-C,十o)上f(x)<0且递增,B可能;当 减,故m-2m-3<0,解得-1 m 3.又m N,故 a-0,b0.c0时,/(一x)一 n-1或2. (一r)十r士 当m一1时,y一x的图象关于y轴对称,满足题意; 且定义域为(xlx士一c),此时/(x)为偶函数,若50 当m一2时,y-1的图象不关于y轴对称,舍去, 时,在(一-C,一c)上f(r)0(注意f(0)<0),在 故n-1. (一.--)(v-.+oo)上f(r)0.则C不可 不等式化为(a+1)<(3-2a)画数y=x在 能;若b<0时,在(一-C,一)上f(x)0,在 (一0,0)和(0,十o)上单调递减, 2a,解得a<一1~a,故选D. 故+1>3-2a 0或0>a+1>3-2a或a+1~0 3- (-00,--c)(-,+)上f(x)0,则D可能。 故选ABD. 189