第08讲 对数函数（12类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第08讲 对数函数 （12类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2022年天津卷，第5题,5分 对数的运算、对数的运算性质的应用 2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第7题,5分 运用换底公式化简计算 2020年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质 2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题 4.能结合图像与性质解决综合型问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。 知识讲解 知识点一.对数的定义 1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. 知识点二．对数函数的定义 1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数 知识点三．对数函数图象的特点 1.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限． 2.函数y＝logax与y＝(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称． 3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 注意： 1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|. 2．研究对数函数问题应注意函数的定义域． 3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论． 4．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点四.指对函数性质的比较 图像特征 函数性质 共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0，1) 过定点(0，1) 0<a<1 自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时，0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x0时，y>1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢; a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时，y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时，0<y<1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢 到了某一值后增长速度极快; 考点一、对数函数的解析式 1.（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 2.（22-23高三上·江苏泰州·期中）已知函数同时满足（1）；（2），其中，则符合条件的一个函数解析式＝ ． 1.（2023高三上·全国·专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，(，且)，则函数的解析式是 . 2.（2024·河北沧州·模拟预测）直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·北京东城·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高三上·北京·阶段练习）定义域为的函数同时满足以下两条性质： ①存在，使得； ②对于任意，有． 写出满足上述性质的一个增函数 ． 考点二、对数函数的求值、求参问题 1.（2024·湖北·模拟预测）已知函数则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 1.（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 . 3.（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时， ． 4.（2024·四川·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 考点三、对数函数的定义域与不等式 1. （2024·青海海南·二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2. （23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数的定义域为 ． 1.（2022高三上·河南·专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 4.（23-24高三下·上海·阶段练习）函数的定义域为 ． 考点四、对数函数的值域问题 1.（23-24高三上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 1.（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 2.（23-24高三上·河南·期中）已知函数，则 ，函数的值域为 . 3.（23-24高三上·重庆·期中）已知，函数当时，的值域为 ；若不存在，，使得，则实数a的取值范围是 4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数值域为 . 考点五、对数函数的定义域与值域求参问题 1.（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若函数的值域为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三·全国·对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 1.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 2.（2023·全国·模拟预测）若“，”是真命题，则实数的一个可能取值为 ． 3.（2023·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数的值域为R的条件下，满足“函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 考点六、对数函数过定点问题 1.（·山东·高考真题）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为 . 2.（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数，且的图象过定点 . 1.（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 2.（2023·江西赣州·一模）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为 .（写出一个值即可） 3.（2023·青海西宁·二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 . 4.（2023高三·全国·专题练习）已知数列为等比数列，函数的图象过定点，，数列的前n项和为，则的值为 ． 考点七、对数函数的单调性 1.（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 2. （2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1. （2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（·天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点八、对数函数的图像 1.（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）函数的图像大致是（    ） A． B．   C． D．   1. （22-23高三上·甘肃平凉·阶段练习）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点九、对数模型实际应用 1. （21-22高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 2. （2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 1.（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（    ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 2.（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（    ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A．23 B．100 C．150 D．232 考点十、对数函数比较大小 1.（2020·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 1.（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点十一、对数函数综合应用 1.（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2.（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 1.（2024·陕西西安·模拟预测）“”是“方程在上有实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2024·河南·模拟预测）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（    ） A．10 B． C． D． 3.（2024高三·全国·专题练习）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ） A． B． C． D． 考点十二、对数函数的奇偶性与对称性 1.（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 2.（2024·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，恒有，则＝（    ） A． B． C． D． 1.（2024·山东泰安·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2.（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 2．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（    ）倍 A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则 . 6．（2024·四川自贡·三模）函数，则 . 7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）表示不超过的最大整数，则 . 1．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·宁夏银川·三模）命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．－2 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 4．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2020·全国·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 6．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 7．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 对数函数 （12类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2022年天津卷，第5题,5分 对数的运算、对数的运算性质的应用 2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第7题,5分 运用换底公式化简计算 2020年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质 2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题 4.能结合图像与性质解决综合型问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。 知识讲解 知识点一.对数的定义 1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. 知识点二．对数函数的定义 1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数 知识点三．对数函数图象的特点 1.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限． 2.函数y＝logax与y＝(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称． 3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 注意： 1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|. 2．研究对数函数问题应注意函数的定义域． 3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论． 4．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点四.指对函数性质的比较 图像特征 函数性质 共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0，1) 过定点(0，1) 0<a<1 自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时，0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x0时，y>1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢; a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时，y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时，0<y<1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢 到了某一值后增长速度极快; 考点一、对数函数的解析式 1.（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】对数函数均满足要求，考虑到定义域需要加绝对值 【详解】可令，满足要求. 故答案为：.（答案不唯一） 2.（22-23高三上·江苏泰州·期中）已知函数同时满足（1）；（2），其中，则符合条件的一个函数解析式＝ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由已知函数性质，结合函数的单调性定义和对数函数的运算性质得且，写出一个符合要求的解析式即可. 【详解】由（2）知：在上递减， 由（1），结合对数的运算性质知：，则， 综上，且，故满足要求. 故答案为：（答案不唯一） 1.（2023高三上·全国·专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，(，且)，则函数的解析式是 . 【答案】 【分析】先利用函数奇偶性求出时的解析式，进而可得函数的解析式. 【详解】当时，， 由题意知， 又是定义在R上的偶函数，所以， 所以当时，， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 2.（2024·河北沧州·模拟预测）直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及得，代入化解即可. 【详解】由题意可知，定义域为， 函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 则， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 3.（2024·北京东城·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：A. 4.（23-24高三上·北京·阶段练习）定义域为的函数同时满足以下两条性质： ①存在，使得； ②对于任意，有． 写出满足上述性质的一个增函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，验证满足条件，得到答案. 【详解】，，满足存在，使得； ，满足条件. 故答案为：. 考点二、对数函数的求值、求参问题 1.（2024·湖北·模拟预测）已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解. 【详解】， 故选： 2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】定义在R上的函数是奇函数，所以，由此可得的值，进而由可得的值. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 解得，则， ， 所以. 故选：B. 1.（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案． 【详解】令，，则，由可得， 对于A，，故A错误； 对于B，，不满足，B错误； 对于C，，即，即，C正确； 对于D，，即不成立，D错误． 故选：C． 2.（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 3.（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，令，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由得，即，令， 则 当且仅当，即时，取得最小值，此时z也取得最小值． 故答案为：. 4.（2024·四川·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】构造新函数，利用奇函数的性质即可求得的值. 【详解】定义域为，令， 则， ∴是上的奇函数， ∴， 即， 故选：A． 考点三、对数函数的定义域与不等式 1. （2024·青海海南·二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】∵函数， ∴，解得． 故选：D． 2. （23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 1.（2022高三上·河南·专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果. 【详解】要使有意义，需满足， 解得且． 所以定义域为. 故选：B． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，要使有意义， 只需要，解得， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3.（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解. 【详解】根据题意可得,解得 故定义域为. 故答案为： 4.（23-24高三下·上海·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】． 【分析】根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得． 【详解】由题意，即， ∴，，∴定义域为． 故答案为：． 考点四、对数函数的值域问题 1.（23-24高三上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的性质逐一求出相应值域即可得答案. 【详解】因为，且，所以或，A错误； 因为，所以，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，即的值域为，D正确. 故选：D 2.（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】 利用函数的单调性可求函数的值域. 【详解】函数为增函数，故其值域为. 故答案为： 1.（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 【答案】 【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 2.（23-24高三上·河南·期中）已知函数，则 ，函数的值域为 . 【答案】 2 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可求得；利用二次函数单调性以及对数函数单调性分别求出对应函数值域即可求得的值域为. 【详解】易知，所以； 当时，； 当时，，易知在上是单调递增函数， 所以， 综上可知的值域为. 故答案为：2； 3.（23-24高三上·重庆·期中）已知，函数当时，的值域为 ；若不存在，，使得，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】由得到再分和，分别利用反比例型函数和对数函数的性质求解；画出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：当时， 当时，， 当时，， 所以当时，的值域为． 画出每段的图象，如图所示：    由图象知：当或时，存在，，使得， 当时，不存在，，使得． 故答案为：， 4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数值域为 . 【答案】 【分析】确定函数定义域为，变换，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】函数的定义域为， ， 当且仅当，即时等号成立，故值域为. 故答案为：. 考点五、对数函数的定义域与值域求参问题 1.（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若函数的值域为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义，结合二次函数性质求出的范围，再利用对数函数性质求解即得. 【详解】依题意，取遍所有正数，则，而，解得， 所以. 故选：B 2.（22-23高三·全国·对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】第一空，由题意可得对于恒成立，结合判别式小于0即可求得答案；第二空，由题意可得能取到所有正数，结合判别式大于等于0即可求得答案； 【详解】函数的定义域为，则对于恒成立， 故，解得，即； 若函数的值域为，即能取到所有正数， 故，解得或，即， 故答案为：； 1.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可. 【详解】由对数函数的定义和单调性可知，且当时，， 当时因为一元二次函数的对称轴为， 所以当时，， 若函数的值域为，则解得； 当时，， 若函数的值域为，则， 令 ，所以， 令，表示对称轴为，开口向下的抛物线， 因为，，所以存在使得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，所以由解得， 综上， 故答案为： 2.（2023·全国·模拟预测）若“，”是真命题，则实数的一个可能取值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】由题意可得出，不等式恒成立，求出的最大值即可得出答案. 【详解】由“，”是真命题， 得，不等式恒成立． 而，的最大值为，最小值为， 所以m的取值范围是，所以m的一个可能取值为3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一） 3.（2023·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数的值域为R的条件下，满足“函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的值域为R可得之间的关系，再根据为偶函数可得，最后根据条件概率的概率公式可求题设中的概率. 【详解】设事件为“的值域为R”， 设事件为“函数为偶函数， 掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，所得基本事件有： ， ， ， ， ， ， 故基本事件的总数为. 因为的值域为R，所以，故， 而为偶函数，故， 所以，整理得到， 所以即. 故对应的基本事件有： ， ， ， ， ， 故共有基本事件的个数为， 又对应的基本事件有， 故， 故选：D. 考点六、对数函数过定点问题 1.（·山东·高考真题）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出定点，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数，令，可得，则， 故函数的图象恒过定点， 因为点在直线上，则，可得， 因为、，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 2.（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数，且的图象过定点 . 【答案】 【分析】根据，令即可求出定点. 【详解】令，则，此时在上无论取何值，的值总为1，故函数的图象过定点. 故答案为： 1.（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 【答案】2 【分析】令可求得定点P的坐标，从而可求得的解析式，即可求解. 【详解】令得，则定点. 设幂函数，将点P代入可得，则，即. 因此. 故答案为：2. 2.（2023·江西赣州·一模）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为 .（写出一个值即可） 【答案】（不唯一，取的整数即可） 【分析】先求定点的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得的取值. 【详解】因为函数的图像恒过定点，所以； 因为点在圆外， 所以且，解得或； 又为整数，所以的取值可以为. 故答案为：（不唯一，取的整数即可）. 3.（2023·青海西宁·二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 . 【答案】x=-1 【分析】先求出A点的坐标，再求出p即可. 【详解】因为函数 经过定点 ，所以函数 经过 定点，将它代入抛物线方程得 ，解得， 所以其准线方程为； 故答案为： . 4.（2023高三·全国·专题练习）已知数列为等比数列，函数的图象过定点，，数列的前n项和为，则的值为 ． 【答案】45 【分析】先求出函数过定点，则等比数列确定，由，得出数列通项，再利用等差数列求和公式可得. 【详解】由已知，令，得. 所以函数的图象过定点， 所以，， 由数列为等比数列，则， 而，于是， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，， 则． 故答案为：45. 考点七、对数函数的单调性 1.（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数， 令，则， 则即由复合而成， 由于在上单调递减， 故要求函数的单调递减区间， 即求的单调递增区间， 而的对称轴为， 则的单调递增区间为， 则函数的单调递减区间为， 故答案为： 2. （2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性分析得在上单调递减，根据单调性即可得到答案. 【详解】设，易知函数是增函数， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减. 因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D. 1. （2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 2.（·天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和分析函数内外层的单调性，列不等式求解 【详解】函数在区间 内有意义， 则 ， 设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使在区间内内单调递减， 则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为， 所以， 又，所以. 综上，的取值范围是 故选：B 3.（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 解得. 故选：C. 考点八、对数函数的图像 1.（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D. 【详解】， 因为当时，都为增函数， 所以，在上单调递增，故B，C错误； 又因为， 所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误. 故选：A 2.（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）函数的图像大致是（    ） A． B．   C． D．   【答案】C 【分析】根据函数奇偶性可排除B，利用函数值正负可排除A，再根据单调性排除D，得解. 【详解】令，， 因为，所以是奇函数，排除B， 又当时，恒成立，排除A， 当时，， ， ，，函数单调递增， 当时，，即函数单调递减，故D不正确. 故选：C. 1. （22-23高三上·甘肃平凉·阶段练习）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，然后分析当时的函数值符号，进行判断即可． 【详解】因为，定义域为， 且，则是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D， 当时，，故， 所以，当时，，当时，，排除B，所以C正确． 故选：C 2.（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，排除BC；利用导数探讨函数的性质排除D即可. 【详解】依题意，，恒成立，即函数的定义域为R， 当时，，则，即，BC不满足； 当时，令，则， 令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，，，D不满足，A满足. 故选：A 3．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 考点九、对数模型实际应用 1. （21-22高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算的值，即可得解. 【详解】因为， 所以，估计以内的素数个数为. 故选：B. 2. （2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B 【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可. 【详解】当时，； 当时，. 所以增大的百分比为： . 故选：B. 1.（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（    ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 【答案】B 【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间． 【详解】由题意可知，当时，，则，解得， 所以， 当时，，即， 则 ， 所以茶水泡制时间大的为7 min. 故选：B. 2.（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由对数运算性质可得，进而可得，结合可得结果. 【详解】由已知得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 3.（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（    ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A．23 B．100 C．150 D．232 【答案】B 【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别， 依题意，，即，两边取对数得， 因此， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 故选：B 考点十、对数函数比较大小 1.（2020·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 2.（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系. 【详解】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系. 1.（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得. 【详解】由可得 因 ， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法， （1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断； （2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较； （3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断. 2.（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又， 所以. 故选：A 考点十一、对数函数综合应用 1.（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】准确分析函数性质，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象即可得解. 【详解】，所以的最大值为2， 当取最大值时，有，即， 由， 令，解得， 当趋于时，趋于正无穷， 而， 所以在上存在一个零点， 根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出的图象与的图象如图所示，    由图可知，在上存在一个零点， 在上存在个零点， 综上所述，的图象与的图象共有11个交点. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：关键是对区间进行适当划分，从而研究函数在各个区间上的性质，由此即可顺利得解. 2.（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 1.（2024·陕西西安·模拟预测）“”是“方程在上有实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过对数函数和指数函数在指定范围内有交点即可. 【详解】因为方程在上有实数根， 设，， 当时，函数在单调递增，无交点，如图①所示，不成立； 当时，函数在单调递增，函数在单调递减， 如图②所示，即方程转化为在有解， 故， 解得. 综上所诉，实数的取值范围为：. 所以是的充分不必要条件. 故选：A.    2.（2024·河南·模拟预测）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是等比数列，是函数的两个零点，进行求解判断选项 【详解】因为是的两个零点，所以，所以，所以，故. 故选：. 3.（2024高三·全国·专题练习）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，由反函数的性质得，结合二次函数性质即可得解. 【详解】由得，由得， 所以令，这3个函数图象情况如下图所示： 设交于点，交于点， 由于的图象关于直线对称， 而的交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即， 且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程， 从而. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出的图象，利用数形结合再由反函数的对称性得到方程的根或交点. 考点十二、对数函数的奇偶性与对称性 1.（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 2.（2024·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，恒有，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法可得，进而可得时，，利用对数的性质可得，即可求解. 【详解】由于，都有，所以，， 又，故 由于，，故时，， 由于，，故， 因此，故， 故选：B 1.（2024·山东泰安·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且， 则，所以， 所以函数的周期为， 所以. 故选：D. 2.（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可. 【详解】因为，所以为奇函数； 又因为，所以关于直线对称； 由知的一个周期为. 因为当时，，所以在上单调递增， 函数的图象如图所示， 根据图象可知，若，则，， 解得，， 所以实数的取值范围是，. 故选：D． 3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】先证明函数为奇函数，由可得，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为，函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数，有， 由解析式可以看出函数为减函数， 因为， 所以，即， 因为为正数， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得. 【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数， 所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，， 当时，，则，则， 所以， 故选：B． 2．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（    ）倍 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分别求得震级和时的释放的能量，进而求得两次地震释放的能量比. 【详解】设里氏震级时释放的能量为，里氏震级时释放的能量为， 则，， 所以，， 所以， 即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的倍， 故选：C. 3．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】基本事件总数，利用列举法求出为整数包含的基本事件有4个，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】，，从集合M，N中各任取一个数x，y， 基本事件总数. 为整数包含的基本事件有，，，，共4个 为整数的概率为. 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解 【详解】由值域为， 得，所以， 解得即的定义域为， 由得， 故的定义域为. 故答案为： 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得可求出. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为， 因为为奇函数， 所以，解得， 故答案为：1 6．（2024·四川自贡·三模）函数，则 . 【答案】2 【分析】分和两种情况列方程求解即可. 【详解】，若， 则或，即或，解得. 故答案为：2. 7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）表示不超过的最大整数，则 . 【答案】 【分析】先分类讨论的取值，再运用到原式当中即可得到结果. 【详解】若是整数，则； 若不是整数，则，故. 而是整数，，故由知，所以. 记，则. 对： 当时，是整数，所以； 当时，不是整数，所以. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对向下取整函数定义的理解. 1．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果. 【详解】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 故选：C. 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】根据题意，当时，，可得在上递增， 要使得函数 是上的单调函数， 则满足，且，解可得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值． 【详解】由题意，， 令， 因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称， 且的图象也关于直线对称， 设， 则关于直线对称， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 则． 故选：A． 4．（2024·宁夏银川·三模）命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，在上单调递增， 当时，，此时没有意义，故充分性不成立． 必要性：若在上单调递减，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得， 所以当时，在上单调递增； 若在上单调递增，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得，不符合题意，舍去. 综上可知，当函数在上单调时，，因此必要性成立． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．－2 【答案】B 【分析】先求出的周期，再结合函数的解析式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以是以周期为4的周期函数，所以， 因为当时，，所以，即， 故选：B 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定出的奇偶性，然后再逐项检验定义域和奇偶性即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，即， 所以是定义在R上的偶函数. 对于选项A，因为，所以函数定义域为，所以不满足题意； 对于选项B，函数定义域为R， ，是奇函数，不符合题意； 对于选项C，函数定义域为R， 当时，，， 当时，，， 且，所以为偶函数，符合题意； 对于选项D，函数定义域为R， ，为奇函数，不符合题意； 故选：C. 7．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论. 【详解】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：，解得且. 所以函数定义域为. 故选：B 3．（2020·全国·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 4．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 5．（2020·全国·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 6．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 7．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$