第06讲 指对运算（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第06讲指对运算 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第2题,5分 充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 2024年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2023年天津卷，第3题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2022年天津卷，第5题,5分 对数的运算、对数的运算性质的应用 2022年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第7题,5分 运用换底公式化简计算 2020年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化 2.能掌握对数的换底公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。 知识讲解 知识点一.指数运算 1.实数指数幂运算法则 (1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2) (a>0，r，s∈R) (3) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (4) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 2.分数指数幂的意义与运算法则 (1)＝，＝＝ (其中 >0，m，n∈N*，且n>1)． (2)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． 3.与()n 的区别 (1)是实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． 其算法是对先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a， 当n为奇数时，＝； 当n为偶数时，＝| |＝ (2)()n是实数的n次方根的n次幂，其中实数的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于. 知识点二.对数运算 1.对数与指数的关系 当,且时，ax＝Nx=logaN. 2.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数，即N>0； (2)loga1＝0(a>0，a≠1)； (3)logaa＝1(a>0，a≠1). 3.对数恒等式： ①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． 4.对数的运算法则 (1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)=logaM+logaN；loga=logaM-logaN；logaMn=nlogaM (n∈R)； (2)换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． (3)可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 考点一、根式与分数指数幂运算 1.（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 2.（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式： （1） =    （2）（= （3）设，则的值为 1.（23-24高三上·北京丰台·期末）已知，则 ． 2.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 3.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若实数m，n满足，且，则 . 4.（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）计算： （1） （2） 考点二、对数运算 1. （23-24高三上·天津和平·期末）计算的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.（2023·全国·模拟预测）求值： ． 1.（全国·高考真题）已知函数，若，则 ． 2.（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 3.（2024·北京·三模）使成立的一组a，b的值为 ， . 4．（22-23高三上·天津静海·期末） ． 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是，第75百分位数为，则 ． 考点三、指对运算综合 1.（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 2.（2024·全国·三模）若，则的值是（    ） A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 1.（2024·广东·二模）已知正实数满足，则（    ） A．1 B． C．4 D．1或 2.（2024高三下·河南·专题练习）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·江苏·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.（2024·江苏南通·模拟预测）方程正实数解为 . 5.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．26 D．27 考点四、指数函数中的条件等式 1. （23-24高三上·天津·期中）已知，则（    ） A． B．5 C． D．25 2.（2020·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 1.（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2.（2024·全国·模拟预测）已知，则 ． 3.（2023·全国·模拟预测）已知，则 . 4．（23-24高三上·天津·期中）若，则 . 5．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知且，则a的值为 . 考点五、指对等式比较大小 1.（2024·河南·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2024·湖南·二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 1. （2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 2. （2024·天津河北·二模）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3. （2024高三·天津·专题练习）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5. （2024·天津·二模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.（2024·北京昌平·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 考点六、指对最值问题 1.（2023·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2.（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 1.（2023·全国·模拟预测）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 2.（2023·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 3.（2022·河南·模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.（2022·辽宁·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 5.（2023·全国·模拟预测）若，则当取得最小值时， . 1．（2024·河南开封·三模）已知，则（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·四川·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京丰台·二模）已知函数，那么 ． 5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，求 . 6．（2023·四川德阳·一模）已知,则 ．（用数字作答） 7．（2024·上海浦东新·三模）已知，则 （用表示） 1．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 2．（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设的小数部分为x，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2022·全国·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A．27 B．32 C．64 D．81 5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 1．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 2．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 3.（2022·天津·高考真题）化简的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 4.（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5.（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6.（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 7.（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 8.（2021·全国·高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲指对运算 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第2题,5分 充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 2024年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2023年天津卷，第3题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2022年天津卷，第5题,5分 对数的运算、对数的运算性质的应用 2022年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2021年天津卷，第7题,5分 运用换底公式化简计算 2020年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化 2.能掌握对数的换底公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。 知识讲解 知识点一.指数运算 1.实数指数幂运算法则 (1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2) (a>0，r，s∈R) (3) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (4) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 2.分数指数幂的意义与运算法则 (1)＝，＝＝ (其中 >0，m，n∈N*，且n>1)． (2)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． 3.与()n 的区别 (1)是实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． 其算法是对先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a， 当n为奇数时，＝； 当n为偶数时，＝| |＝ (2)()n是实数的n次方根的n次幂，其中实数的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于. 知识点二.对数运算 1.对数与指数的关系 当,且时，ax＝Nx=logaN. 2.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数，即N>0； (2)loga1＝0(a>0，a≠1)； (3)logaa＝1(a>0，a≠1). 3.对数恒等式： ①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． 4.对数的运算法则 (1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)=logaM+logaN；loga=logaM-logaN；logaMn=nlogaM (n∈R)； (2)换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． (3)可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 考点一、根式与分数指数幂运算 1.（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】 分和两种情况分类计算. 【详解】当时，， 当时，. 故答案为： 2.（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式： （1） =    （2）（= （3）设，则的值为 【答案】 0 / 7 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案； （2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案； （3）将平方，即可求得答案. 【详解】（1） . （2）； （3）因为， . 故答案为：（1）0；（2）；（3）7 1.（23-24高三上·北京丰台·期末）已知，则 ． 【答案】0 【分析】由解析式直接代入求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：0. 2.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 【答案】 【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可. 【详解】. 故答案为：. 3.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若实数m，n满足，且，则 . 【答案】 【分析】由题设可得，结合得，即可求. 【详解】由题设，则，故， 又，则， 所以. 故答案为： 4.（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）-6 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简整理，即可得答案. （2）根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案. 【详解】（1） =； （2） 【点睛】易错点为：在化简时，，需注意括号内a的正负，考查计算化简的能力. 考点二、对数运算 1. （23-24高三上·天津和平·期末）计算的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】直接由指数、对数的运算性质运算即可. 【详解】由题意 . 故选：C. 2.（2023·全国·模拟预测）求值： ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算即得. 【详解】. 故答案为：1 1.（全国·高考真题）已知函数，若，则 ． 【答案】-7 【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案. 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 2.（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦达定理得到，再由等差数列的性质得到的值，结合指数、对数的运算法则可求值. 【详解】因为与是方程的两根，由韦达定理得， 因为数列为等差数列，所以，， 所以， 故选：B. 3.（2024·北京·三模）使成立的一组a，b的值为 ， . 【答案】 2（答案不唯一） 2（答案不唯一） 【分析】根据题意结合对数运算分析可得，取特值检验即可. 【详解】若，则，可得， 例如符合上式. 故答案为：2；2.（答案不唯一） 4．（22-23高三上·天津静海·期末） ． 【答案】5 【分析】根据对数和分数指数幂的运算法则即可求得结果. 【详解】由题可知， 故答案为：5 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是，第75百分位数为，则 ． 【答案】 【分析】由中位数、百分位数的概念结合对数运算、幂运算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以． 故答案为：. 考点三、指对运算综合 1.（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 2.（2024·全国·三模）若，则的值是（    ） A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】，则，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可. 【详解】令，则，由得， 所以. 故选：A. 1.（2024·广东·二模）已知正实数满足，则（    ） A．1 B． C．4 D．1或 【答案】B 【分析】利用对数运算法则化简等式，列出关于的方程求解即得. 【详解】由，得，因此， 整理得，解得，即，经检验符合题意， 所以. 故选：B 2.（2024高三下·河南·专题练习）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对数的运算性质将式子等价变形，构造函数，根据函数的单调性可得，进而可求解. 【详解】由，得. 令，由于均为单调递增函数，所以在上单调递增， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 3.（2024·江苏·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用函数的单调性结合指数对数的转化可得，再计算即可. 【详解】令，显然函数为R上单调递增函数， 又，， 所以. 故选：C 4.（2024·江苏南通·模拟预测）方程正实数解为 . 【答案】 【分析】运用对数的运算性质先证，可得原方程为，，可得，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解． 【详解】先证（且，且，且）， 令，，两边取为底的对数， 可得，， 所以，所以，即， 则 即为 ， 可得， 由于在上单调递增，，在上单调递减， 所以，在上单调递减， 可得在上单调递减， 又时，即时，有， 则原方程的解有且只有一个为. 故答案为： 【点睛】关键点点：本题关键是对数恒等式的应用. 5.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．26 D．27 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：A. 考点四、指数函数中的条件等式 1. （23-24高三上·天津·期中）已知，则（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】A 【分析】根据指数、对数运算求得正确答案. 【详解】， ， 所以. 故选：A 2.（2020·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 1.（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则且，由指数式化为对数式，根据得到，由换底公式和对数运算法则得到方程，求出，得到答案. 【详解】设，则且， ∴，，， 显然，则，，， 由得，即， 等式两边同除以得，， 其中， 故，. 故选：C． 2.（2024·全国·模拟预测）已知，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解. 【详解】依题意，， 则． 故答案为：3 3.（2023·全国·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式互化关系及指数运算法则求解即得. 【详解】由，得，即，所以. 故答案为： 4．（23-24高三上·天津·期中）若，则 . 【答案】2 【详解】利用指数运算、对数运算求出即可得解. 【分析】依题意，，，即，解得， 所以. 故答案为：2 5．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知且，则a的值为 . 【答案】 【分析】设，可得，代入已知等式，结合对数的运算即可求得k，进而求得a的值. 【详解】由题意，则设， 故， 故，即，即， 故，所以， 故答案为： 考点五、指对等式比较大小 1.（2024·河南·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别求出两个命题的充要条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2.（2024·湖南·二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据指数函数的性质证明C. 【详解】取，，满足，但是推不出，故排除A； 取，，满足，但是推不出，故排除B； 取，，满足，但是推不出，故排除D； 由，，可推出，即，即，故充分性成立. 故选：C. 1. （2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 2. （2024·天津河北·二模）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 3. （2024高三·天津·专题练习）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为在上递增，得出，又因在上递增，可得. 【详解】在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以， 即，所以， 故选：. 4.（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 5. （2024·天津·二模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性再结合两个中间量“0”和“”比较大小即可. 【详解】， ， ， ，. 故选：C. 6.（2024·北京昌平·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据函数的单调性判断A选项；构造函数 ，根据函数的单调性判断B选项；构造函数，根据函数的单调性判断C选项；构造函数，根据幂函数的性质，判断D选项. 【详解】A：构造函数，因为，所以为增函数， 又因为，则有，所以A错误； B：构造函数 ，因为，所以 为增函数， 又因为，则有，所以B错误； C：因为，所以，又，则， 构造函数，当时，函数不单调， 所以无法判断与的值的大小，C错误； D：构造函数，因为，所以函数在上单调递增， 有，D正确. 故选：D. 考点六、指对最值问题 1.（2023·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】首先利用对数运算求得，再利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由得， 所以，所以， 即．因为， 所以 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 2.（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以． 所以，即． 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 1.（2023·全国·模拟预测）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据点在直线上得a，b关系，然后由基本不等式可得. 【详解】因为点在直线上，则，即， 所以， 当且仅当，即，时，其取得最小值4. 故选：C． 2.（2023·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先根据对数的运算得，再利用基本不等式求解． 【详解】由正数，满足，得， 所以，，结合，，得， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 3.（2022·河南·模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由条件结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为，又 所以 所以，当且仅当，时取等号， 所以的最小值为2， 故选：C. 4.（2022·辽宁·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由题设条件可得，从而利用换底公式的推论可得，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值 【详解】 又，则 当且仅当即时取等号 故选：A 5.（2023·全国·模拟预测）若，则当取得最小值时， . 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式即可得到答案. 【详解】根据指数函数值域可知， 则依题意得，而， 当且仅当，即时等号成立，故. 故答案为：. 1．（2024·河南开封·三模）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由可得，即，，故. 故选：C. 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解. 【详解】将写成分数指数幂的形式为. 故选：B. 3．（23-24高三上·四川·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】 故选：D 4．（2024·北京丰台·二模）已知函数，那么 ． 【答案】1 【分析】先求出，再求即可. 【详解】易知，故， 故答案为：1 5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，求 . 【答案】8 【分析】利用函数的单调性解方程，得到，的值，问题即可解决. 【详解】设，则在上为增函数，且，所以只有一解：； 同理：方程只有一解：. 所以：. 故答案为： 6．（2023·四川德阳·一模）已知,则 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用指数对数的运算性质计算即可. 【详解】 故答案为： 7．（2024·上海浦东新·三模）已知，则 （用表示） 【答案】/ 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由， 得. 故答案为： 1．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的互化可得，，代入，即可计算得到的值. 【详解】因为且，易知且， 所以，， 所以，， 所以，则. 故选：D． 2．（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【详解】由 ， 所以 故选：A 3．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设的小数部分为x，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先算出的整数部分，再表示出的小数部分，所以有，利用二项式定理即可计算. 【详解】由，得的整数部分为2，则， 所以，即， 所以. 故选：A 4．（2022·全国·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A．27 B．32 C．64 D．81 【答案】D 【分析】由已知条件将两个等式转化为统一的结构形式，令， ，得，研究的单调性，求出的关系，即可求解 【详解】由题意得，. 令，则，，得， 是方程的根. 令，则，在上单调递增， ，即，. 故选：D. 5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将和两边放，然后两边同时除以，凑出，再用基本不等式即可. 【详解】因为，，两边同时除以，得到， 当且仅当即取“=”. 则，当且仅当取“=”. 两边取自然对数，则，当且仅当取“=”. 故的最小值为. 故选：D. 6．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先利用指、对数的关系利用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 7．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 1．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 2．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】； ； ． 故． 故选A． 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． 3.（2022·天津·高考真题）化简的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：B 4.（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 5.（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 6.（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 7.（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 8.（2021·全国·高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 9．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$