第08讲 图形的旋转（一）（3个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第08讲 图形的旋转（一）（3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 【例1】（2022秋•椒江区期末）一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数为 　　． 【变式1】（2023秋•诸暨市期中）下列生活中的实例是旋转的是　　 A．钟表的指针的转动 B．汽车在笔直的公路上行驶 C．传送带上，瓶装饮料的移动 D．足球飞入球网中 【变式2】（2021秋•汕尾期末）下列运动中，属于旋转运动的是　　 A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下 C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千 【变式3】（2022秋•义乌市期中）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯固定在距离门边处（即，在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达．旋转一定角度，把手底端恰好卡住门边时，底端、的竖直高度差为．当把手旋转到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）　　，当把手旋转到时，，此时有效的固定长度为 　　． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【例2】（2024•下城区校级模拟）如图，已知是正方形的对角线，是的中点，连结，以为旋转中心将直线逆时针旋转，交于，交于，若，则等于　　 A． B． C．3 D．4 【变式1】（2024•舟山一模）如图，在中，，，分别为，的中点，将绕点顺时针旋转形成△，连结．若，时，则为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•镇海区校级模拟）一副三角板和如图1摆放，此时、、三点共线，且，，．如图2，三角板绕着点顺时针旋转，若，且当这两块三角尺有一组边互相平行时，　　． 【变式3】（2023秋•越城区期末）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求的度数和的长． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 【例3】（2024•汉川市模拟）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•宁波期末）下列图形绕某点旋转后，能与原来图形重合的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•义乌市期中）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为 　　． 【变式3】（2023•婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点旋转或后，能与自身重合（如图，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　　； ．矩形 ．正五边形 ．菱形 ．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　　（填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形． 其中真命题的个数有　　个； ．0 ．1 ．2 ．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整． 经典题型汇编 题型一.判断生活中的旋转现象 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 2．（九年级上·全国·课后作业）我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 12．（20-21八年级下·全国·课后作业）吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 题型二.判断由一个图形旋转而成的图案 4．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（    ） A．B．C． D． 5．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·浙江·期中）如图： （1）矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合？如果可以，请画出对称轴所在的直线，并写出表达式． （2）矩形A能通过一次旋转变换与矩形B重合？如果可以，请你描述变换过程． 题型三.找旋转中心、旋转角、对应点 7．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（   　）． A． B． C． D． 8．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，已知点A（3，0），B（1，4），C（3，﹣2），D（7，0），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使A，B分别与C，D重合，则旋转中心的坐标为 ． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中每个方格边长为1，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空： (1)旋转中心为点　 　、旋转角的度数为　 　、旋转方向为　 　（顺时针或逆时针）； (2)连结，则四边形的形状是　 　，面积是　 　． 题型四.根据旋转的性质求解 10．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是 ． 12．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，点M，N分别在正方形的边上，且．把绕点A顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若，求正方形的边长． 题型五.根据旋转的性质说明线段或角相等 13．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则 °．    14．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如下图所示，O为边长为1的等边三角形内（不含边界）任意一点，则的不可能取值为（    ）    A． B． C． D．2 15．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，    (1)如图1，证明：平分； (2)如图2，与交于点，若，，求的度数； (3)如图3，连接，若，，，则的长为______． 题型六.画旋转图形 16．（九年级上·浙江杭州·期末）如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，将放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为，，．以B为旋转中心，在平面直角坐标系内将顺时针旋转． (1)画出旋转后的； (2)写出点、的坐标． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系． (1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形； (2)写出点，的坐标； (3)求四边形的面积． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似 2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）下列各图中，正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·浙江·期末）如图，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上，则三角板旋转的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（九年级上·浙江宁波·期末）在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一通过变换形成的，但一定不能通过_________变换得到（    ）    A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 6．（九年级上·全国·单元测试）在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（    ）    A．顺时针旋转，向右平移至最右侧 B．逆时针旋转，向右平移至最右侧 C．顺时针旋转，向左平移至最左侧 D．逆时针旋转，向左平移至最左侧 7．（21-22九年级上·浙江湖州·期中）神舟十三号载人飞船于北京时间10月16日0时23分发射成功．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，下列选项中是该标识经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（）    A． B． C．3 D． 10．（19-20九年级上·浙江·阶段练习）如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，ΔABP是由ΔACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这一旋转过程中，旋转中心是 ，旋转角度为 .      12．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且，则的度数是 ．    13．（浙江温州·期中）如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到位置，如果、、三点在一条直线上，那么旋转角的大小是 度． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点在上，作于点，将绕点逆时针旋转至，点，分别落在，上．若，，则 ． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，正方形中，，以为圆心，长为半径画，点在上移动，连接，并将绕点逆时针旋转至，连接．在点移动的过程中，长度的最小值为 ．    16．（2022·浙江杭州·一模）两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝ ． 三、解答题 17．（21-22九年级上·浙江衢州·期末）如图，E是正方形的边上任意一点（不与点A，B重合），按逆时针方向旋转后恰好能够与重合． (1)旋转中心是________，旋转角为________； (2)请你判断的形状，并说明理由． 18．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 19．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且．以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)旋转中心是点____________，旋转角的度数为___________°． (2)判断的形状并说明理由． 20．（23-24九年级上·浙江台州·期末）在矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (1)如图，当点落在的延长线上时，求的长； (2)如图，当点落在的延长线上时，求的长． 21．（2024·浙江温州·二模）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的顶点坐标分别是，．    (1)将平移得到，且的坐标是，作出； (2)将绕点逆时针旋转得到，作出； (3)小娟发现绕点旋转也可以得到，请直接写出点的坐标． 23．（21-22九年级上·浙江台州·期中）如图， 线段 两端点坐标分别为． （1）作出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； （2）点的坐标为　　，若线段上有一点， 则在线段上的对应点的 坐标为　　． （3）若将线段绕着某点旋转角 恰好得到线段， 点与点， 点 与点是对应点，已知点． 请通过无刻度的直尺画图找到旋转中心，将其标记为． (保留作图痕迹) 24．（22-23九年级上·浙江台州·期末）问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)请帮助小明完成他的证明过程； 证明：将绕点C顺时针旋转得到， __________，__________，． ， ， ，即三点共线． ， __________， __________，即平分． (2)应用：在图1中，若，则__________； (3)迁移：如图2，，若，求的长； (4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 图形的旋转（一）（3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 【例1】（2022秋•椒江区期末）一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数为 　　． 【分析】钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份，根据题意知，时针运行了圆周，即可得到答案． 【解答】解：根据题意，从上午6时到上午9时，共3个小时， 时针旋转了圆周，旋转的角度为． 故答案为：． 【点评】本题考查了钟表上角的认识的问题，知道钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份是解题的关键． 【变式1】（2023秋•诸暨市期中）下列生活中的实例是旋转的是　　 A．钟表的指针的转动 B．汽车在笔直的公路上行驶 C．传送带上，瓶装饮料的移动 D．足球飞入球网中 【分析】根据平移图形的特征，如图两个图形的大小、形状、方向不变，只是位置的不同，这两个图形就是平移：根据旋转图形的特征，如图两个图形的大小、形状不变，只是方向不变，只是位置的不同，这样的两个图形就是旋转， 【解答】解：、钟表指针的运动，属于旋转： 、行驶的汽车，属于平移： 、传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移： 、足球飞入球网中，属于平移． 故选：． 【点评】本题是考查图形的平移与旋转的意义，关键是看方向是否改变， 【变式2】（2021秋•汕尾期末）下列运动中，属于旋转运动的是　　 A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下 C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千 【分析】在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，结合选项进行判断即可． 【解答】解：、不是旋转，是平移，故本选项不符合题意； 、不是旋转，是平移，故本不符合题意； 、不是旋转，是平移，故本选项不合题意； 、属于旋转，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查旋转的判断方法，判断是否属于旋转，要看是否有旋转中心，旋转角，旋转方向且变化前后图形大小是否发生变化． 【变式3】（2022秋•义乌市期中）商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯固定在距离门边处（即，在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达．旋转一定角度，把手底端恰好卡住门边时，底端、的竖直高度差为．当把手旋转到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）　9　，当把手旋转到时，，此时有效的固定长度为 　　． 【分析】作于，设，在中利用勾股定理求出，利用得到，连接，交于，作，，求出，，和，证明，可得，可得，即可得到到的距离． 【解答】解：如图，作于， 设， 则，， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 连接，交于，作，， ，， ， 又，， ，， ， 中，，且是中点， ， 中，， 又， ， ， ， ， ， ，， 到的距离长等于的长，为． 故答案为：9；6.5． 【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是读懂题意，结合实际理解旋转门锁的运行原理． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【例2】（2024•下城区校级模拟）如图，已知是正方形的对角线，是的中点，连结，以为旋转中心将直线逆时针旋转，交于，交于，若，则等于　　 A． B． C．3 D．4 【分析】通过证明点，点，点，点四点共圆，可求，可得是等腰直角三角形，可求的长，由等腰直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解． 【解答】解：如图，连接，过点作于， 四边形是正方形，， ，， 是的中点， ， ， 以为旋转中心将直线逆时针旋转， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式1】（2024•舟山一模）如图，在中，，，分别为，的中点，将绕点顺时针旋转形成△，连结．若，时，则为　　 A． B． C． D． 【分析】根据，可设出及的长，过点作的垂线，垂足为，利用勾股定理表示出的长，进而可表示出的长，据此可解决问题． 【解答】解：， 令，． 在中， ． 又点，分别为和的中点， ，． 由旋转可知， ，． 过点作的垂线，垂足为， ， ， 又， ， 四边形为矩形， ，． 在△中， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质及三角形中位线定理，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 【变式2】（2024•镇海区校级模拟）一副三角板和如图1摆放，此时、、三点共线，且，，．如图2，三角板绕着点顺时针旋转，若，且当这两块三角尺有一组边互相平行时，　或　． 【分析】先根据三角板绕着点顺时针旋转，且，分别作图，进行分类讨论以及运用数形结合思想，列式作答即可． 【解答】解：依题意，三角板绕着点顺时针旋转，且， 当时，即如图： 此时点的对应点在上， ， 当时，即如图： 此时点的对应点，与相交于点， ， 则， 即， ， 综上：当这两块三角尺有一组边互相平行时，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了三角板有关的计算以及旋转性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式3】（2023秋•越城区期末）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求的度数和的长． 【分析】（1）由题意知，，由旋转的性质可知，旋转中心为点，，根据旋转的度数为，然后求解作答即可； （2）由题意知，，由旋转的性质可得，，，则，进而可求的长． 【解答】解：（1）由题意知，， 由旋转的性质可知，旋转中心为点，，旋转的度数为， 旋转中心为点，旋转的度数为； （2）由题意知，， 由旋转的性质可得，，， 点恰好成为的中点， ， ， 的度数为，的长为． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．熟练掌握三角形内角和定理，旋转的性质是解题的关键． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 【例3】（2024•汉川市模拟）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为　　 A． B． C． D． 【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而、、都错误，能与其自身重合的是． 故选：． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【变式1】（2022秋•宁波期末）下列图形绕某点旋转后，能与原来图形重合的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转对称图形的概念作答． 【解答】解：、绕它的中心旋转才能与原图形重合，故本选项不合题意； 、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项符合题意； 、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不合题意； 、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不合题意． 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 【变式2】（2023秋•义乌市期中）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为 　72　． 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为72． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【变式3】（2023•婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点旋转或后，能与自身重合（如图，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　　； ．矩形 ．正五边形 ．菱形 ．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　　（填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形． 其中真命题的个数有　　个； ．0 ．1 ．2 ．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整． 【分析】（1）根据旋转图形，中心对称图形的定义判断即可． （2）旋转对称图形，且有一个旋转角是60度判断即可． （3）根据旋转图形的定义判断即可． （4）根据要求画出图形即可． 【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形， 故选． （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）． 故答案为（1）（3）（5）． （3）命题中①③正确， 故选． （4）图形如图所示： 【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 经典题型汇编 题型一.判断生活中的旋转现象 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项不符合题意； B、抽屉来回运动是平移，故此选项不符合题意； C、电梯的上下移动是平移，故此选项不符合题意； D、汽车方向盘的转动是旋转，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查生活中的旋转现象．熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 2．（九年级上·全国·课后作业）我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】根据平移的定义，旋转的定义判断即可． 【详解】①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动， 故答案为②④⑥. 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，生活中的旋转现象，熟练掌握平移的定义，旋转的定义是解题的关键． 12．（20-21八年级下·全国·课后作业）吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 【答案】不一样 【分析】根据平移和旋转的性质判断即可； 【详解】不一样，相同的时间内，离吊扇中心越远的点运动的路程越大，这也从另一个角度反映了平移与旋转的差异． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的性质，准确分析判断是解题的关键． 题型二.判断由一个图形旋转而成的图案 4．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转．根据旋转的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 能由经过旋转得到，其他三项中的图形都不能得到， 故选：B． 5．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转变换的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A．两个三角形的大小不一样，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到， B．两个三角形成抽对称，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到， C. 一个三角形可以通过另一个三角形平移得到，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到， D．能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形， 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转变换的定义，掌握图形的旋转变换，是解题的关键． 6．（21-22九年级上·浙江·期中）如图： （1）矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合？如果可以，请画出对称轴所在的直线，并写出表达式． （2）矩形A能通过一次旋转变换与矩形B重合？如果可以，请你描述变换过程． 【答案】（1）可以，图见详解，；（2）可以，矩形A绕着H点沿顺时针方向旋转90°即可与矩形B重合 【分析】（1）由题意连接对应点的连线并连接对应点的连线的中点即可得到对称轴，进而利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）由题意直接根据旋转变换的图形特征，通过旋转中心、旋转方向以及旋转角度进行描述即可. 【详解】解：（1）可以，对称轴所在的直线如下： 观察图形可得O（0，0），E（2，2） 设对称轴所在的直线的函数表达式为， 将E代入可得， 所以对称轴所在的直线的函数表达式为； （2）可以，观察图形可知矩形A绕着H点沿顺时针方向旋转90°即可与矩形B重合. 【点睛】本题考查图形的轴对称变换和旋转变换，熟练掌握找对称轴的方法以及利用抽象思维进行分析是解题的关键. 题型三.找旋转中心、旋转角、对应点 7．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（   　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 画出平面直角坐标系，作出新的的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 8．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，已知点A（3，0），B（1，4），C（3，﹣2），D（7，0），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使A，B分别与C，D重合，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接BD，AC，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心，M（2，﹣1）． 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转，正确寻找旋转中心是解题的关键. 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中每个方格边长为1，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空： (1)旋转中心为点　 　、旋转角的度数为　 　、旋转方向为　 　（顺时针或逆时针）； (2)连结，则四边形的形状是　 　，面积是　 　． 【答案】(1)C、90、顺时针 (2)平行四边形；16 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定： （1）由图形可直接求解； （2）由旋转的性质及图形可得，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：旋转中心为点C，旋转角的度数为，旋转方向为顺时针， 故答案为：C、90、顺时针； （2）解：由图形可知：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 面积为：， 故答案为：平行四边形；16． 题型四.根据旋转的性质求解 10．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状都不发生改变．对应线段相等． 理解旋转的意义可解答问题． 【详解】解：A：可以通过逆时针旋转得到； B：可以通过顺时针旋转得到； C：可以通过顺时针旋转得到． D∶不可以通过旋转得到． 故选∶D 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．连接，判定，即可得到，进而得出点的运动轨迹为直线，依据当时，最短，即可得到的最小值是2． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点， ，， ， 即点的运动轨迹为直线， 当时，最短， 此时，， 的最小值是2， 故答案为：2． 12．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，点M，N分别在正方形的边上，且．把绕点A顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查旋转性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，等腰三角形判定． （1）根据题意可知，再证明即可； （2）设，则，，由（1）中全等可得，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴点E，点B，点C三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍弃）， ∴正方形的边长为6． 题型五.根据旋转的性质说明线段或角相等 13．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则 °．    【答案】35 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，以及三角形的内角和定理，进行求解即可，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：35． 14．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如下图所示，O为边长为1的等边三角形内（不含边界）任意一点，则的不可能取值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，如图，连接交于点F，连接，根据旋转的性质可证是等边三角形，可得，从而可得，当、在一条直线上时，有最小值，最小值为的值，证明四边形是菱形，可得， ，再利用勾股定理求得，，从而可得，即可求解． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，如图，连接交于点F，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当、在一条直线上时，有最小值，最小值为的值， 此时， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 故选：A．    【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理，线段和最小值，熟练掌握相关定理是解题的关键． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，    (1)如图1，证明：平分； (2)如图2，与交于点，若，，求的度数； (3)如图3，连接，若，，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据题意可得，根据等边对等角得出，等量代换可得，即可得证； （2）设，根据等边对等角以及三角形外角的性质得出，根据，列出方程，即可求解； （3）根据旋转的性质得出，进而得出，勾股定理的逆定理得出，进而得出，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转得： 由题意得：， ， ， 平分； （2）设，则， ， ， ， ， ． （3）解：由旋转可得：， ， , ∵，， ， 是直角三角形，且， , ， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，综合运用以上知识是解题的关键． 题型六.画旋转图形 16．（九年级上·浙江杭州·期末）如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转和平移的性质逐个判断即可． 【详解】解：A选项可以通过旋转得到，不符合题意； B选项通过轴对称得到，不能通过旋转或平移得到，符合题意； C选项可以通过旋转和平移得到，不符合题意； D选项可以通过旋转和平移得到，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了几何变换，解题关键是熟练掌握几何变换图形，树立空间观念，准确识图． 17．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，将放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为，，．以B为旋转中心，在平面直角坐标系内将顺时针旋转． (1)画出旋转后的； (2)写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】 本题主要考查图形的旋转变换，找出变换前后的图形上的对应点，是解题的关键． （1）根据题意，画出的各个顶点的对应点，再顺次连接起来，即可画出； （2）根据所作图形即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由图象可得：，． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系． (1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形； (2)写出点，的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)12 【分析】本题主要考查了坐标与图形、旋转变换等知识，利用旋转的性质作出是解题关键． （1）首先根据旋转的性质确定点的对应点，然后顺次连接即可； （2）结合图形，即可获得答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）由图形可知，，； （3）． 答：四边形的面积为12． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似 【答案】B 【分析】根据旋转的定义解答即可． 【详解】钟摆的摆动，这种图形的改变是旋转． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的定义．掌握将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转是解题关键． 2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）下列各图中，正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的定义和性质进行判断． 【详解】解：由旋转的定义可知： 正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是选项D， A、B是平移，C中旋转后的位置不准确， 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键，即旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置，也就是旋转前后图形全等；对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角． 3．（22-23九年级上·浙江·期末）如图，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上，则三角板旋转的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解：∵将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上， ∴旋转角是． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质．掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 4．（九年级上·浙江宁波·期末）在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【详解】、②属于旋转，③不止旋转，④是平移，不是旋转，所以是旋转的有①、②. 故选A. 点睛：旋转的定义：把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转. 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一通过变换形成的，但一定不能通过_________变换得到（    ）    A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【答案】C 【分析】观察图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】左上方块（“基本图案”）为原图案的四分之一，将其分别绕原图形的中心顺时针旋转、、后可以得到右上、右下、左下的方块，故“基本图案”可以通过旋转变换形成原图案； 左上方块（“基本图案”）为原图案的四分之一，将其沿自身右边线翻折可以得到右上方块，接着将新方块沿其自身下边线翻折可以得到右下方块，最后在将右下方块沿其自身的左边线翻折可以得到左下方块，故“基本图案”可以通过轴对称变换形成原图案； 平移前后得两个图案可以通过平移重合，原图中的四个方块无法通过平移重合，故“基本图案”无法通过平移变换形成原图案； 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 6．（九年级上·全国·单元测试）在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（    ）    A．顺时针旋转，向右平移至最右侧 B．逆时针旋转，向右平移至最右侧 C．顺时针旋转，向左平移至最左侧 D．逆时针旋转，向左平移至最左侧 【答案】A 【分析】此题主要考查学生的观察能力，首先要知道平移和旋转的性质：平移和旋转的图形的大小和形状不变，可以以某个部分为观察点. 【详解】解：因为方块图形比矩形缺的部分靠左，所以要向右平移；方块图形中的下面突出的一个正方形在下面，而缺的图形的这个正方形在左，所以需要顺时针旋转90°. 故选:A. 7．（21-22九年级上·浙江湖州·期中）神舟十三号载人飞船于北京时间10月16日0时23分发射成功．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，下列选项中是该标识经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质：旋转前后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状不发生变化，进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，只有B选项符合题意，A、C、D三个选项都改变了图形的形状， 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知性质是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得出是等腰直角三角形，进而求出，，根据旋转前后对应角相等可得． 【详解】解：绕点A顺时针旋转后得到， ，， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角相等． 9．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，根据证明是解题的关键．据旋转的性质得出，，再根据证明得出，，得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 10．（19-20九年级上·浙江·阶段练习）如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出，，，，，，，，，观察得出规律从而求出. 【详解】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出，，， ，，， ，，， 观察得出三个为一组， ∵， ∴，故选B. 【点睛】本题是对图形规律性问题的考查，熟练掌握旋转知识和准确找到规律是解决本题的关键. 二、填空题 11．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，ΔABP是由ΔACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这一旋转过程中，旋转中心是 ，旋转角度为 .      【答案】 ， 【分析】根据条件得出AD=AP,AC=AB，确定旋转中心，根据条件得出∠DAP=∠CAB=90°，确定旋转角度数. 【详解】解：∵△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转而得， ∴△ABP≌△ACD， ∴∠DAC=∠PAB=60°,AD=AP,AC=AB, ∴∠DAP=∠CAB=90°, ∴△ABP是△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转90°得到的. 故答案为：A，90° 【点睛】本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键. 12．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且，则的度数是 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查旋转性质，等腰三角形性质及判定，三角形内角和定理．根据题意可得是等腰三角形，，，利用等腰三角形性质可知，继而得到，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵是由绕点O顺时针旋转后得到的图形， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（浙江温州·期中）如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到位置，如果、、三点在一条直线上，那么旋转角的大小是 度． 【答案】135 【分析】根据等腰直角三角板可得∠ACB=45°，然后根据平角的定义即可求出∠，从而求出结论． 【详解】解：∵三角板ABC是等腰直角三角板 ∴∠ACB=45° ∵、、三点在一条直线上， ∴∠=180°－∠ACB=135° 即旋转角为135° 故答案为：135． 【点睛】此题考查的是旋转问题，掌握三角板中各个角的度数和旋转角的定义是解题关键． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点在上，作于点，将绕点逆时针旋转至，点，分别落在，上．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据将绕点逆时针旋转至，，可得，，，即得，证明，可得，故，而，故：，可解得． 【详解】 将绕点逆时针旋转至． ，， 根据勾股定理可得： 在和中， ， 根据平行线分线段对应成比例可知： 即： 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、平行线分线段对应成比例、勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，正方形中，，以为圆心，长为半径画，点在上移动，连接，并将绕点逆时针旋转至，连接．在点移动的过程中，长度的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质和最小值问题，通过证明两三角形全等求出长度的最小值．通过画图发现，点的运动路线为以为圆心，以为半径的圆，可知：当在对角线上时，最小，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，则得出的长．寻找点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵以为圆心，长为半径画，点在上移动，连接，并将绕点逆时针旋转至， ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的运动路线为以为圆心，以为半径的圆，当在对角线上时，最小， 在中， ， ∴， 即长度的最小值为． 故答案为：．      16．（2022·浙江杭州·一模）两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝ ． 【答案】或 【分析】作直线AE，则AE⊥BC；设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0），则直线AB为：y=x+1，设D点（a，a+1），利用D、E两点的距离公式求得D点坐标，再求A、D两点距离即可解答； 【详解】解：如图，作直线AE， △ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，∴AE⊥BC， ∵BC=2，∴BE=1，AE=1，AB==， ∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=， 设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0）， 设AB所在的直线为：y=kx+b，代入A，B坐标可得直线为：y=x+1， D点在直线AB上，设D点（a，a+1），由两点距离公式可得： DE==， ，解得：a= ∴D点坐标为（，）（在BA延长线上）， 或（，）（在AB延长线上）， A点坐标（0，1）， ∴AD==， 或AD==， 故答案为：或； 【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，勾股定理，通过建立坐标系构造一次函数求得D点坐标是解题关键． 三、解答题 17．（21-22九年级上·浙江衢州·期末）如图，E是正方形的边上任意一点（不与点A，B重合），按逆时针方向旋转后恰好能够与重合． (1)旋转中心是________，旋转角为________； (2)请你判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)点D；90° (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由已知可知，旋转中心为点D，旋转角∠ADC = 90°，即可求解； （2）由旋转的性质可得DE = DF，∠EDF = ∠ADC = 90，可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：旋转中心是点D；旋转角为∠ADC， 在正方形ABCD中，∠ADC=90°， ∴旋转角为90°； 故答案为：点D；90° （2）解：根据题意得：，， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 18．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转的度数为； (2)，． 【分析】（1）先利用三角形内角和计算出，然后根据旋转的定义求解； （2）根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：， 即， 所以旋转中心为点A，旋转的度数为； （2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴，，， ∴， ∵点C恰好成为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 19．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且．以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)旋转中心是点____________，旋转角的度数为___________°． (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由旋转的定义可直接求解； （2）由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴旋转中心是点，旋转角的度数为． 故答案为：；． （2）是等腰直角三角形，理由如下： ∵与重合， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握旋转的性质是解题的关键． 20．（23-24九年级上·浙江台州·期末）在矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (1)如图，当点落在的延长线上时，求的长； (2)如图，当点落在的延长线上时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转性质得．在中，利用勾股定理得，进而即可得解． （2）如图，连接，．由旋转的性质得．进而利用等腰三角形的性质得，再利用矩形的性质即可得解． 【详解】（1）解：由旋转，得． 在矩形中，， ∴在中， ． （2）解：如图，连接，．由旋转性质得． ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质以及旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键 21．（2024·浙江温州·二模）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，得出，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）作于点H．根据等腰三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，，求出，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵绕点O旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，作于点H． 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴·， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 则， ∴， ∴四边形的周长为： ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的顶点坐标分别是，．    (1)将平移得到，且的坐标是，作出； (2)将绕点逆时针旋转得到，作出； (3)小娟发现绕点旋转也可以得到，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3) 【分析】本题考查了网格作图，图形的变换—平移变换和旋转变换； （1）根据的坐标可确定向左平移1格子，向下平移3格，然后作出图即可； （2）根据旋转先确定点的位置，再确定的位置，作出图即可； （3）根据图像可以看出是绕点旋转变换而来，据此可确定点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作图形：    （2）解：如图，为所作图形：    （3）解：∵， ∴是绕点旋转变换而来， 故点坐标为． 23．（21-22九年级上·浙江台州·期中）如图， 线段 两端点坐标分别为． （1）作出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； （2）点的坐标为　　，若线段上有一点， 则在线段上的对应点的 坐标为　　． （3）若将线段绕着某点旋转角 恰好得到线段， 点与点， 点 与点是对应点，已知点． 请通过无刻度的直尺画图找到旋转中心，将其标记为． (保留作图痕迹) 【答案】（1）图形见详解；（2）（-3，-2），（-n，m）；（3）见详解． 【分析】（1）根据．绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，根据象限确定符号，求出点C（-3，-2），点D（0，-3），然后在平面直角坐标系中描点C、D，连结线段CD即可； （2）点A（-2，3）绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，点C在第三象限，可得点C（-3，-2），点P（m，n），在第二象限，m＜0，n＞0，绕点O逆时针旋转90°点Q在第三象限，点Q（-n，m）即可； （3）根据旋转中心是对应边的垂直平分线的交点，连结CE与DF，作CE的垂直平分线与DF的垂直平分线，两直线的交点为N即可． 【详解】解：（1）∵．绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，根据象限确定符号， ∴点C（-3，-2），点D（0，-3） 在平面直角坐标系中描点C、D，连结线段CD， 则CD为线段AB绕点逆时针旋转后得到的线段； （2）点A（-2，3）绕点逆时针旋转，横纵坐标换位，点C在第三象限，可得点C（-3，-2），点P（m，n），在第二象限，m＜0，n＞0，绕点O逆时针旋转90°点Q在第三象限， 点Q（-n，m）； 故答案为（-3，-2），（-n，m）； （3）根据旋转中心，是对应边的垂直平分线的交点 连结CE与DF， ∵线段CE过坐标原点O，OC=OE， ∴CE的垂直平分线为OA并反向延长， ∵DF是边长为2的正方形的对角线， ∴正方形另一条对角线是DF的垂直平分线， ∴CE的垂直平分线与DF的垂直平分线两直线的交点为N． 【点睛】本题考查图形旋转，用描点法画线段，找旋转中心，掌握图形旋转，用描点法画线段，找旋转中心是解题关键． 24．（22-23九年级上·浙江台州·期末）问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)请帮助小明完成他的证明过程； 证明：将绕点C顺时针旋转得到， __________，__________，． ， ， ，即三点共线． ， __________， __________，即平分． (2)应用：在图1中，若，则__________； (3)迁移：如图2，，若，求的长； (4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)；（或）；； (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质，补角的性质，等腰三角形的性质进行解答即可； （2）先求出，根据为等腰直角三角形，求出即可； （3）将绕C点顺时针至．先证明B，A，三点共线，根据，求出，根据等腰直角三角形性质得出； （4）过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．证明，得出，证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，求出；当在左侧时，连接．求出，得出． 【详解】（1）证明：将绕点C顺时针旋转得到， ，，， ， ， ，即三点共线， ， ， ∴，即平分 故答案为：；（或）；；． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，将绕C点顺时针至， ， ， ， ， ∴B，A，三点共线， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ． （4）解：如图，过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G． ， ∴设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ； 当在左侧时，连接， ， ∴，， ∵， ， ， ． 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】本题属于探究型题目，主要考查三角形的旋转和全等三角形的应用．各小问之间的关系较为密切．往往前一问的结论可作为下一问的条件或是作为下一问的思考方向．本题（1）问中引入了全等三角形的旋转模型，这便为后面几问的解答给予启发，第（2）问可直接以（1）中的结论为条件得出答案，（3）（4）则顺着（1）中的思考方向作为解答，通过对所求线段进行藏转，构造垂直关系和全等三角形，从而使问题得以解决．注意第（4）问中对进行旋转时，方向具有不确定性，需进行分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$