精品解析：浙江省台州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

台州市2023学年第二学期高一年级期末质量评估试卷 数学 2024.6 命題：叶挺（三门县教师发展中心） 王莎莎（台州一中） 审题：范伟峰（天台中学） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的实部为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数实部的定义可求解. 【详解】复数的实部为. 故选：B. 2. 已知，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A. 3. 用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解. 【详解】如图平面正方形的边长为， 则直观图如下所示： 则，，， 所以直观图的周长为. 故选：B 4. 在下列四组数中，方差最大的一组是（ ） ①； ②； ③； ④. A ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】只需按照样本数据的方差公式进行计算即可. 【详解】易知四组数据的平均数均为4； 对选项A，方差； 对选项B，方差; 对选项C，方差; 对选项D，方差. 故选：D. 5. 一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用列表法结合古典概型求，结合概率的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：基本事件的总数为， 对于事件A，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 2 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 3 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 4 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 5 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 6 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 可知，则； 对于事件B，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ √ √ √ √ √ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ √ √ √ √ √ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ √ √ √ √ √ 可知，则； 对于事件，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 3 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 5 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 6 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 可知，则； 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 7. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得，，得，在直角三角形中，，即可求解. 【详解】解：如图所示： 因为，， 所以， 则， 在中，由正弦定理得， ， 则， 得， 在直角三角形中，， 得. 故选：D 8. 设是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B. 事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 若成立，则事件与相互独立 D 若成立，则事件一定两两独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念可判断A；利用互斥事件的概念及独立事件的概念可判断BCD. 【详解】对于A，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A正确； 对于B，因为，若事件相互独立，则， 故事件不互斥，若事件互斥，则，故事件不独立， 所以事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确； 对于C，若成立，则事件与相互独立，故C正确； 对于D，若成立，不一定能得出， ，，则事件不一定两两独立，故D错误. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，满足下列条件的复数所对应的点与点在同一个圆上的是（ ） A B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数几何意义，计算它们的模，得这4个点在以原点为圆心，为半径的圆上.，根据各个选项提供的条件进行判断. 【详解】因为， 所以， 因此这4个点在以原点为圆心，为半径的圆上.所以； 对于A，，故A错误； 对于B，故B正确； 对于C，设，故C正确； 对于D， 解得，所以，故D错误； 故选：BC. 10. 为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为此，相关部门在该市随机调查了户居民六月份的用电量（单位：），以了解这个城市家庭用电量的情况.通过收集､整理数据，得到如下频率分布直方图.则下列选项正确的是（ ） A. 直方图中 B. 在被调查的用户中，用电量不超过的户数为 C. 这户居民六月份用电量的平均数小于中位数 D. 估计该市居民六月份用电量的第百分位数约为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由频率分布直方图矩形面积之和为即可解得；对于B，计算前三组的频率即可；对于C，计算平均数和中位数作比较即可；对于D，设第百分位数为，则在第三组，由计算即可. 【详解】对于A，由频率分布直方图矩形面积之和为得 ， 解得，故A正确； 对于B，用电量不超过的频率为， 所以户数为，故B正确； 对于C，平均数为 设中位数为，则在第三组， 即，解得， 故平均数大于中位数，故C错误； 对于D，设第百分位数为，则在第三组， ，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点（含端点），则下列选项正确的是（ ） A. 若直线与直线所成角为，则的最大值为 B. 若直线与平面所成角为，则的最大值为 C. 若点到平面的距离为，则的最小值为 D. 若过三点的平面截正方体所得截面面积为，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据点运动情况，求得即可判断；对于选项B，根据点运动情况找到使角最大的位置即可求解；对于选项C，根据动点到面和点到线的距离转化求解即可；对于选项D，当截面为经过的中点，的中点时，面积最小. 【详解】 对A，当点N运动到与M点重合时，求得，故A错误； 对B，因为，所以当线段最小时，最大， 分析知，当点运动到满足时， 最小，此时根据勾股定理，也最小. 又因为平面，所以，又，，所以平面，所以. 在中，由勾股定理得， 由得，. 在中，由勾股定理得. 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 所以中， ，故B正确； 对C，过作，再作，又，易证平面， 所以点到平面等于点到平面，所以， 将平面和平面展开放在同一平面内（如图所示），取的中点，则有，所以，所以为等腰直角三角形，所以， 又因为为等腰直角三角形，所以， 所以，所以， 设，，则，， 在中，， 所以， 所以，， 所以，下面求其最小值，令，则，由辅助角公式可得，，其中取，所以， 所以存在角使得，即存在，化简得， ，又由方程解得， 所以或，又因为， 所以， 所以的最小值为，故C正确； 对D，分析知，经过，，三点的平面截正方体得到的截面经过的中点，的中点时，截面面积最小，此时截面为四边形，由于，，，都全等，所以，所以四边形为菱形， 易求，， 所以，故D正确. ， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：（1）本题关键是把动点问题进行转化，找到符合条件的特殊位置，从而判断角度变化情况；（2）动点到面和动点到线的距离通过平面几何知识（将军饮马）转化求解，也可以采用代数方法求解，但是求三角函数的值域是一个难点，要注意转化求解；（3）要分析出截面为经过的中点，的中点时，面积最小. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是__________. 【答案】168 【解析】 【分析】根据分层抽样求各层人数，结合平均数公式分析求解. 【详解】由题意可知：男、女生所占的频率分别为、， 则抽取的男、女生人数分别为、， 所以总样本的平均数. 故答案为：168. 13. 已知正四棱台，下底面边长为，侧面与下底面所成二面角的大小为，则该正四棱台的体积可能为__________（写出一个即可） 【答案】（介于区间内都可以，答案不唯一）. 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的大小计算出高，然后利用柱体、锥体和台体之间的关系求解. 【详解】如下图，延长棱台母线交于点，过作平面ABCD于G，连接S，G与AB中点F， 则. 又，所以，. 又棱台的高度不确定，所以. 故答案为：（介于区间内都可以，答案不唯一）. 14. 已知线段为的两条内角平分线，若，且，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】可以先利用数量积定义得到角A，然后利用数量积定义和正弦定理转化条件，再综合利用三角变换知识得到结果. 【详解】由，所以. 因为， 所以， 即，则. 在中应用正弦定理，， 所以，又， 所以，即， 展开， 整理可得，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题为三角变换与解三角形综合问题，其中向量可以看成给出条件的载体.首先我们需要把向量数量积关系转化为三角形的边角关系，然后利用三角变换，在方程思想的指导下解决问题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面，为中点，为棱上任意一点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形，得，由线面平行的判定定理求解； （2）通过证明平面，求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接. 则是的中位线，得，且. 因为，且，所以，且， 因此，四边形是平行四边形，得. 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，不妨设， 由，在直角梯形中，求得， 因为，所以， 因为底面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 16. 在中，，设. （1）用表示； （2）若，则当时，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，数乘的运算法则，即可求解； （2）利用已知可得，进而可得，求解即可. 【小问1详解】 因为，， ， 因为，所以， . 【小问2详解】 当时，， 即， 所以， 所以， 因为， 所以， 故. 17. 某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖. （1）若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率； （2）现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）列举法应用古典概型公式计算即可； （2）应用对立事件结合概率乘积公式计算即得. 【小问1详解】 将白球编号为1，红球编号为2，3，黑球编号为. 记“取到两球同色”， ， ， ， 因此， 【小问2详解】 记“甲顾客中奖”，“乙顾客中奖”，相互独立， 则. 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 即，① 设中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. （1）类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； （2）在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； （3）已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）类比球的体积公式推导，把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，结合锥体体积公式可得“球锥”体积. （2）设圆锥半径为，由勾股定理可得，由题意，计算体积消去化简即可. （3）根据四面体棱长计算高和底面外接圆的半径，结合题意分析即可. 【小问1详解】 把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为. 【小问2详解】 设圆锥半径为，则， 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，， 即， 消去，得， 整理得，因为，所以. 【小问3详解】 设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为， 则外接圆半径为，正四面体高为，显然不满足条件. 注意到，当顶点在圆锥底面圆周上时， ，得， 当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”. 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上.即，且. 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 台州市2023学年第二学期高一年级期末质量评估试卷 数学 2024.6 命題：叶挺（三门县教师发展中心） 王莎莎（台州一中） 审题：范伟峰（天台中学） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则实部为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 已知，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. -6 3. 用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 4. 在下列四组数中，方差最大一组是（ ） ①； ②； ③； ④. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（ ） A. B. C D. 7. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 设是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B. 事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 若成立，则事件与相互独立 D. 若成立，则事件一定两两独立 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，满足下列条件的复数所对应的点与点在同一个圆上的是（ ） A. B. C. D. 10. 为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为此，相关部门在该市随机调查了户居民六月份的用电量（单位：），以了解这个城市家庭用电量的情况.通过收集､整理数据，得到如下频率分布直方图.则下列选项正确的是（ ） A. 直方图中 B. 在被调查的用户中，用电量不超过的户数为 C. 这户居民六月份用电量的平均数小于中位数 D. 估计该市居民六月份用电量的第百分位数约为 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点（含端点），则下列选项正确的是（ ） A. 若直线与直线所成角为，则最大值为 B. 若直线与平面所成角为，则的最大值为 C. 若点到平面的距离为，则的最小值为 D. 若过三点的平面截正方体所得截面面积为，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是__________. 13. 已知正四棱台，下底面边长为，侧面与下底面所成二面角的大小为，则该正四棱台的体积可能为__________（写出一个即可） 14. 已知线段为的两条内角平分线，若，且，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面，中点，为棱上任意一点. （1）求证：平面； （2）求证：. 16. 在中，，设. （1）用表示； （2）若，则当时，求的值. 17. 某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖. （1）若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率； （2）现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率. 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 19. 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. （1）类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； （2）在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； （3）已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$