精品解析：湖北省武汉洪山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

洪山区2023—2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1.本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2.答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效、 4.认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若式子有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.6 9.6 9.3 9.3 方差（环²） 0.034 0.032 0.034 0.032 请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 的三边分别为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A B. C D. 5. 在中，，则（　　） A. 1 B. 2 C. D. 6. 若一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（　　） A. b＜0 B. b≤0 C. b≥0 D. b＞0 7. 已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形是（　　） A. ABCD，AD＝BC B. ∠A＝∠D，∠B＝∠C C. ABCD，AB＝CD D. AB＝CD，∠A＝∠C 8. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，最后的只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量最多有（ ）L． A. 9.5 B. 10 C. 11 D. 12 9. 如图，函数的图像与x、y轴分别交于点B和两点，与函数交于点C、D，若D点纵坐标为1，则的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有5块正方形连在一起的钢板余料，要求分割成若干小块后能拼接成与原图形面积相等的正方形，下列四种分割的方法符合要求的有（ ）种？（沿虚线分割，忽略接缝不计） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 计算结果是__________． 12. 某次比赛中，赵海的得分为：演讲内容90分，演讲能力91分，演讲效果93分，若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照的比确定，则赵海的最终成绩是______分． 13. 某水库的水位在最近5小时内持续下降，水库的初始水位高度为10米，水位以每小时0.2米的速度匀速下降，则该水库的水位高度y（米）与时间x（小时）的函数关系式为______． 14. 如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为______． 15. 已知直线，下列四个结论：①直线一定经过第一象限；②关于的方程组的解为；③若点在直线上，当时，④若直线向下平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的是______．（填写序号） 16. 如图，在平行四边形中，，点E，F分别为，边上的一点，连接．点B关于的对称点P恰好落在上．当最小时，求的长为______． 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． （1）当点P的横坐标为5时，的面积为多少？ （2）若的面积大于9，请求出x的取值范围． 19. 某校对初中生进行综合素质评价，划分为A，B，C，D四个等级，现从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们的等级评定情况，将收集的数据整理后，制作了如下不完整的统计表和统计图． 等级 结果 人数 A 优秀 24 B 良好 18 C 合格 a D 待合格 b 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽取的学生共有______人，表中a的值为______； （2）所抽取学生等级的众数落在______等级（填“A”，“B”，“C”或“D”）； （3）若该校共有900名学生，请估计其中B等级的学生人数． 20. 已知四边形， （1）如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图（2），若于，，，求的值． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形顶点叫做格点．三角形的三个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图（1）中，作的高；在边上找一点E，使得； （2）在图（2）中，P是边上一点，．先将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，画出线段；再画点Q，使P，Q两点关于直线对称． 22. 为响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号电动汽车共30辆进行销售．两种型号汽车的进价和售价如下表： 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 17.8 B型 27 29.6 （1）如果该4S店购进30辆两种型号电动汽车共花费612万元，那么购进A和B型号电动汽车各多少辆？ （2）为保证A型电动汽车购进量不少于B型电动汽车购进量的2倍但不超过B型电动汽车购进量的4倍，那么30辆车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使销售利润最大，最大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，实际销售时，政府大力补贴，A型电动汽车的进价下调a万元，请你设计出销售利润最大的进货方案． 23. 在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得， （1）如图（1），若，点F边上，求长度； （2）如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度； （3）如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度． 24. 如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，以为边作菱形，菱形中心为坐标原点，点C在y轴负半轴上，点D在x轴正半轴上． （1）直接写出D点坐标______；直线的函数解析式______； （2）①在直线上找一点E，连，若，求点E的坐标； ②点E为边上的任一点，将点E绕原点O顺时针旋转得到点Q，试证明点Q在一条定直线上运动，若中点为T，求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洪山区2023—2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1.本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2.答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效、 4.认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若式子有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根数有意义的条件，根据被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.6 9.6 9.3 9.3 方差（环²） 0.034 0.032 0.034 0.032 请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．先比较平均数得到甲和乙成绩较好，然后比较方差得到乙的状态稳定，于是可决定选乙去参赛． 【详解】解：甲和乙的平均数比丙和丁大， 应从甲和乙中选， 乙的方差比甲的小， 乙的成绩较好且状态稳定，应选的是乙； 故选：B． 4. 的三边分别为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能判定为直角三角形，不符合题意； B、，不能判定为直角三角形，符合题意； C、，得到，能判定为直角三角形，不符合题意； D、，能判定为直角三角形，不符合题意； 故选B． 5. 在中，，则（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质与勾股定理，解题关键是牢记相关概念与性质． 6. 若一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（　　） A. b＜0 B. b≤0 C. b≥0 D. b＞0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知：图象经过一三象限或一三四象限，可得b＝0或b＜0，再解不等式可得答案． 【详解】解：一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限， 则可能是经过一三象限或一三四象限， 经过一三象限时，b＝0； 经过一三四象限时，b＜0． 故b≤0， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 7. 已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　） A. ABCD，AD＝BC B. ∠A＝∠D，∠B＝∠C C. ABCD，AB＝CD D. AB＝CD，∠A＝∠C 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：A、由ABCD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； C、∵ABCD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，最后的只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量最多有（ ）L． A. 9.5 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题．根据图象可得每分钟的进水量为，出水量为，容器内水量最多时是在8分钟 即可解答． 【详解】解：由图象可得每分钟的进水量为， 则8分钟的进水量为， ∴每分钟的出水量为， ∴在整个过程中，容器内水量最多有， 故选：D． 9. 如图，函数的图像与x、y轴分别交于点B和两点，与函数交于点C、D，若D点纵坐标为1，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，两条直线相交问题，求得、的坐标是解题的关键．由题意可知，，然后求得点的坐标，根据图象即可求解． 【详解】解：设， 则， 把代入得，， 解得， ， ， ， 把的坐标代入中，得， 解得， ， 解，得， ， 观察图象，的解集为． 故选：C． 10. 如图，有5块正方形连在一起的钢板余料，要求分割成若干小块后能拼接成与原图形面积相等的正方形，下列四种分割的方法符合要求的有（ ）种？（沿虚线分割，忽略接缝不计） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方的性质，根据正方形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意图二按图中分割无法组成正方形，图四中按其分割因边长无法组成正方形，只有图一和图三分割后可以围成如下图所示的正方形． 图一的拼接图 图三的拼接图 故只有2种分割法满足题意， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 计算的结果是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根定义直接进行计算化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题关键． 12. 某次比赛中，赵海的得分为：演讲内容90分，演讲能力91分，演讲效果93分，若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照的比确定，则赵海的最终成绩是______分． 【答案】91 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据求加权平均数的方法，进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：91． 13. 某水库的水位在最近5小时内持续下降，水库的初始水位高度为10米，水位以每小时0.2米的速度匀速下降，则该水库的水位高度y（米）与时间x（小时）的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数，关键是根据题中水位以每小时0.2米的速度匀速下降列出关系式．根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可． 【详解】解：因为初始的水位高度为10米，水位以每小时0.2米的速度匀速下降， 所以，， 根据题意可得：， 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，连接，矩形的性质结合，得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的对角线交于点O， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：13． 15. 已知直线，下列四个结论：①直线一定经过第一象限；②关于的方程组的解为；③若点在直线上，当时，④若直线向下平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、一次函数的性质、一次函数图象与几何变换及一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数与二元一次方程（组）及一元一次不等式的关系是解题的关键．根据所给一次函数解析式，发现当时，，进而得出一次函数过定点，即可得出①的正误，解关于x，y的方程组，并对k的取值进行讨论，即可得出②的正误，因为k的正负不确定，所以y随x的变化如何变化无法确定，即可得出③的正误，先写出平移后的直线函数解析式，再将点坐标代入，进而得出m与k之间的关系，再根据所给不等式的解集，即可得出④的正误． 【详解】解：因为， 所以当时，， 即一次函数图象过定点， 所以直线一定经过第一象限，故①正确． 由得，， 所以， 则， 当时，，则， 所以方程组的解为． 当时，， 此时恒成立， 所以x可取一切实数，则方程组的解有无数组，故②错误． 因为k正负不确定，所以y随x的变化如何变化不确定．故③错误． 直线l向下平移2个单位后的函数解析式为， 将点坐标代入平移后的函数解析式得，， 则． 由不等式得，， 则． 因为此不等式的解集为， 所以，且， 解得．故④正确． 故答案为：①④． 16. 如图，在平行四边形中，，点E，F分别为，边上一点，连接．点B关于的对称点P恰好落在上．当最小时，求的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过A作于H，过F作于M，由轴对称的性质得到，当最小时，最小，由，求出，得到的最小值是，判定是等腰直角三角形，得到，令，得到，求出．即可得到求出． 【详解】解：连接，过A作于H，过F作于M， ∵B和P关于对称， ∴， ∴当最小时，最小， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 此时， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形，关键是由轴对称的性质得到，明白当时，最小，由含30度角的直角三角形的性质得到关于x的方程． 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先把括号中的每一项分别除以即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． （1）当点P的横坐标为5时，的面积为多少？ （2）若的面积大于9，请求出x的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、三角形的面积，找出不等关系是解题的关键； （1）根据点在，点的横坐标为5，求出点的纵坐标，进而求出答案； （2）由写出，再写出面积表达式，由已知条件得出不等式组，即可求出答案． 【小问1详解】 解：点在，点的横坐标为5， 点的纵坐标为， ， ． 小问2详解】 解：， ， ， 的面积大于9， ， ， 点在第一象限， ， 解得：， ． 19. 某校对初中生进行综合素质评价，划分为A，B，C，D四个等级，现从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们的等级评定情况，将收集的数据整理后，制作了如下不完整的统计表和统计图． 等级 结果 人数 A 优秀 24 B 良好 18 C 合格 a D 待合格 b 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次抽取的学生共有______人，表中a的值为______； （2）所抽取学生等级的众数落在______等级（填“A”，“B”，“C”或“D”）； （3）若该校共有900名学生，请估计其中B等级的学生人数． 【答案】（1） （2）A （3）270人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）等级的人数除以所占的百分比求出总人数，总人数乘以等级所占的比例求出等级的人数，总数减去其他等级的人数得到等级的人数即可； （2）根据众数的定义，进行判定即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； 等级人数为：（人）； 故等级的人数为：（人）； 故答案为：； 【小问2详解】 等级的人数最多，故众数落在等级上； 故答案为：A． 【小问3详解】 （人）． 答：估计其中B等级的学生人数270人. 20. 已知四边形， （1）如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图（2），若于，，，求的值． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析 （2）52 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由如下：点、、、分别为、、、的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形顶点叫做格点．三角形的三个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图（1）中，作的高；在边上找一点E，使得； （2）在图（2）中，P是边上一点，．先将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，画出线段；再画点Q，使P，Q两点关于直线对称． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）取格点T，连接交一点D，取的中点E，连接即可； （2）取格点K，W，R，连接，交于点H，连接交一点O，连接，延长交一点Q，线段，点Q即为所求． 【小问1详解】 解：如图1中，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图2中，线段，点Q即为所求． 22. 为响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号电动汽车共30辆进行销售．两种型号汽车的进价和售价如下表： 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 17.8 B型 27 29.6 （1）如果该4S店购进30辆两种型号电动汽车共花费612万元，那么购进A和B型号电动汽车各多少辆？ （2）为保证A型电动汽车购进量不少于B型电动汽车购进量的2倍但不超过B型电动汽车购进量的4倍，那么30辆车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使销售利润最大，最大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，实际销售时，政府大力补贴，A型电动汽车的进价下调a万元，请你设计出销售利润最大的进货方案． 【答案】（1）购进18辆A型号电动汽车，12辆B型号电动汽车； （2）购进20辆A型电动汽车可使销售利润最大，最大利润是62万元； （3）当时，销售利润最大的进货方案是购进24辆A型号电动汽车，6辆B型号电动汽车；当时，在（2）的条件下的各进货方案所需利润相同；当时，销售利润最大的进货方案是购进20辆A型号电动汽车，10辆B型号电动汽车． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用： （1）设购进x辆A型号电动汽车，y辆B型号电动汽车，根据该4S店购进30辆两种型号电动汽车共花费612万元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型号电动汽车，则购进辆B型号电动汽车，根据“A型电动汽车购进量不少于B型电动汽车购进量的2倍但不超过B型电动汽车购进量的4倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设30辆车全部售出后获得的总利润为w万元，利用总利润＝每辆A型号电动汽车的销售利润×购进A型号电动汽车的数量+每辆B型号电动汽车的销售利润×购进B型号电动汽车的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （3）利用总利润每辆A型号电动汽车的销售利润×购进A型号电动汽车的数量+每辆B型号电动汽车的销售利润×购进B型号电动汽车的数量，可找出w关于a，m的函数关系式，分，及三种情况考虑，利用一次函数的性质，即可找出销售利润最大的进货方案． 【小问1详解】 解：设购进x辆A型号电动汽车，y辆B型号电动汽车， 根据题意得：， 解得：． 答：购进18辆A型号电动汽车，12辆B型号电动汽车； 【小问2详解】 解：设购进m辆A型号电动汽车，则购进辆B型号电动汽车， 根据题意得：， 解得：． 设30辆车全部售出后获得的总利润为w万元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 答：购进20辆A型电动汽车可使销售利润最大，最大利润是62万元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 即， 若，则，此时w随m的增大而增大， ∴销售利润最大的进货方案是购进24辆A型号电动汽车，6辆B型号电动汽车； 若，则，此时w与m无关，在（2）的条件下的各进货方案所需利润相同； 若，则，此时w随m的增大而减小， ∴销售利润最大的进货方案是购进20辆A型号电动汽车，10辆B型号电动汽车． 答：当时，销售利润最大的进货方案是购进24辆A型号电动汽车，6辆B型号电动汽车；当时，在（2）的条件下的各进货方案所需利润相同；当时，销售利润最大的进货方案是购进20辆A型号电动汽车，10辆B型号电动汽车． 23. 在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得， （1）如图（1），若，点F在边上，求长度； （2）如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度； （3）如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度． 【答案】（1）4 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得到结果； （2）先作辅助线，根据已知条件证得两个三角形全等，根据勾股定理可求得结果； （3）当翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时求出的值，即可． 【小问1详解】 解：∵沿折叠得， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作，如图所示： 设，则， ∵， ∴， ∵沿折叠得， ∴，， ∵，， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：取正方形的对角线的中点O，如图所示： ∵的中点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当取最小值时，即翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时的值即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取最小值时，此时． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、用勾股定理解三角形、正方形的性质，数形结合，灵活掌握知识点是解题的关键． 24. 如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，以为边作菱形，菱形中心为坐标原点，点C在y轴负半轴上，点D在x轴正半轴上． （1）直接写出D点坐标______；直线的函数解析式______； （2）①在直线上找一点E，连，若，求点E的坐标； ②点E为边上的任一点，将点E绕原点O顺时针旋转得到点Q，试证明点Q在一条定直线上运动，若中点为T，求出最小值． 【答案】（1）， （2）①或②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得到D点坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①分点在轴的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解，构造等腰直角三角形，得到，求出直线的解析式，联立直线的解析式，求出点坐标，根据对称性，求出直线的解析式，联立直线的解析式，求出点坐标，即可； ②设点，过点作轴，过点作轴，证明，求出，进而推出点在定直线运动，根据为等腰直角三角形，为的中点，推出，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短结合等积法求出的长，进而求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：∵ 点A，B的坐标分别为， ∴， ∵菱形，菱形中心为坐标原点， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，点：， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 ①由（1）可知：， ∴， 取点，连接，过点作轴，轴， 则：，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点在射线上， 同（1）法可得，直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 作点关于轴的对称点，则， 同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：； ∴； 综上：或； ②设点，过点作轴，过点作轴，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，， 则：， ∴， ∴点在定直线运动， ∵为等腰直角三角形，为的中点， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴最小值为：． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，坐标与旋转，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$