精品解析：新疆维吾尔自治区2024届高三下学期第三次适应性检测数学试题

新疆维吾尔自治区2024年普通高考第三次适应性检测 数学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（ ） A. I B. Ⅱ C. Ⅲ D. Ⅳ 2. 下列双曲线中以为渐近线的是（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦 与弦 的交点恰好为F，且 ，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，已知，，，，，则等于 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 的最大值为 10. 函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数在区间上的值域为 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A. B. C. 为奇函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为_______.（用数字作答） 13. 在中，，.则__________. 14. 设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地学生的时间利用信息，得出下图. （1）根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数） （2）从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率； （3）与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议. 16. 已知底面是平行四边形， 平面， ， ， ，且. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点 ，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列， ， ，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 18. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接 ，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，. （1）求和的方程； （2）记，求的最小值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔自治区2024年普通高考第三次适应性检测 数学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（ ） A. I B. Ⅱ C. Ⅲ D. Ⅳ 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的运算性质及维恩图得解. 【详解】因为, 由维恩图可知，表示的区域为I. 故选：A 2. 下列双曲线中以为渐近线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各双曲线的渐近线方程判断即可. 【详解】选项A：双曲线 的渐近线方程为 ，A错误； 选项B：双曲线的渐近线方程为，B正确； 选项C：双曲线的渐近线方程为，C错误； 选项D：双曲线的渐近线方程为 ，D错误； 故选：B 3. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据模长公式列出方程，求出，得到答案. 【详解】设且，则， 因为，所以，解得：，则的虚部为. 故选：C 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接代入二倍角公式，然后因式分解，最后根据解方程组即可得出答案. 【详解】， 因为，所以， ，，所以， 又，解方程组得：. 故选：D 5. 西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出事件的总数以及目标事件的数量，再用古典概型的概率公式计算即可. 【详解】将古都分成2个、3个两组，再在两个月安排旅游顺序，故事件总数为， 分2个古都组中含西安、洛阳，或3个古都组中含西安、洛阳，故恰好在同一个月游览西安和洛阳的事件数为：， 所以恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为： 故选：B 6. 设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为 ，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用体积相等可得答案. 【详解】设内切球的球心为，连接， 则把四棱台分割成六个四棱锥， 且六个四棱锥的高都为内切球的半径， 四棱台的高为，所以 ， 化简可得. 故选：D. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦 与弦的交点恰好为F，且 ，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，结合三角的恒等变换的化简可得，即可求解. 【详解】由抛物线得，则，， 不妨设PQ的倾斜角为， 则由，得，， 所以，， 得，， 所以. 故选：B. 8. 如图，已知，，，，，则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n的方程，求解即可． 【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示： 因为，且，∴， ∴A（1，0），B（），又令，则=，∴=7， 又如图点C在∠AOB内，∴=，sin=,又，∴C（）， ∵，（m，n∈R），∴（）=（m,0）+（）=(m，） 即 m，，解得n=，m=，∴， 故选A． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当时，计算即可；对于B，由，即存在实数，使得，计算得即可；对于C，由得，两边平方结合二倍角公式即可；对于D，由向量的模运算得即可. 【详解】由题意可知，， 对于A，当时，，所以, 即，故，故A正确； 对于B，因为， 所以存在实数，使得，即， 解得，故或，故B错误； 对于C，因为， 所以，解得，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，其中， 所以当时，，故D正确. 故选：ACD. 10. 函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数在区间上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】由题意可知，，则 ，， ∴， ∴． A：， ，所以该函数为奇函数，故A正确； B：， ∴直线不是图象的对称轴，故B错误； C：由，得， 则在上单调递增，故C正确； D：， 由，得，则，故D错误． 故选：AC． 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A. B. C. 为奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令即可判断A；令 即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解. 【详解】. A：令，得，则，故A正确； B：令 ，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：对于含有 ，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为_______.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】首先根据二项式系数和公式求，再根据通项公式求常数项. 【详解】由题意可知，，得 ， 则展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式的常数项. 故答案为：15 13. 在中，，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理可得 ，再由诱导公式及二倍角正弦公式求解. 【详解】由正弦定理，， 所以由可得， 所以 ，所以 ， 所以. 故答案为： 14. 设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据题意和导数求得函数在上单调递减，再由，得到为偶函数，结合对称性得到在 上单调递增，把不等式，转化为，即可求解. 【详解】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在 上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得 ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地学生的时间利用信息，得出下图. （1）根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数） （2）从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率； （3）与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议. 【答案】（1）平均值9.63，8.64，方差0.03，0.05 （2） （3） 与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时， 建议大学生充实在校生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可； （2）应用古典概型计算； （3）根据图中信息判断提出建议即可. 【小问1详解】 设小学生的平均睡眠时间为，方差为；设初中生的平均睡眠时间为，方差为. ， ， . 【小问2详解】 设事件为两个年级均来自高中，则. 【小问3详解】 与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实在校生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一） 16. 已知底面是平行四边形， 平面， ， ， ，且. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在中， ，，， 则 ，可得， 所以，所以. 因为 平面， 平面，所以 ， 又因为 ，平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，所以平面 ， 又因为平面，所以平面平面. （2）存在，或 . 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由 平面，证得 ，进而证得 平面 ，结合 ，得到平面 ，利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是平行四边形， 平面， ， ， ，且. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 以为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则 ， 可得，， 设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得 ，所以， 设直线与平面所成角的大小为 ， 故， 整理得 ，解得或，所以或 . 17. 若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列， ， ，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用累乘法求出通项公式即可； （2）裂项相消法求前n项和即可. 【小问1详解】 设，由题意得数列是等比数列，，， 则，即， 由累乘法得：， 于是，故. 【小问2详解】 由（1）得 ， 令，则， ∴ . 18. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接 ，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，. （1）求和的方程； （2）记，求的最小值. 【答案】（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线过焦点弦求最小值，求解出值，即可求解两个方程； （2）利用抛物线过焦点弦的端点到原点的斜率之积为定值，从而引入新变量直线斜率为，即可求出点坐标，同理也可以求出点坐标，然后利用两点间弦长公式可求得的长度，即可计算两三角形面积比的平方，最后转化到变量的函数求最小值即可. 【小问1详解】 设直线的方程为，设，，联立, 整理得，所以， 所以当时，有最小值，所以 ，解得， 又因为离心率为，所以 ，则， 所以椭圆的方程为，抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以， 设直线的方程为 ， 联立，整理得，解得， 同理可设直线的方程为，可解得， . 所以当时，有最小值. 【点睛】方法点睛：（1）利用抛物线过焦点弦的最小值为通径这一性质来解题； （2）利用抛物线过焦点弦的端点到原点的斜率之积为定值，来引入斜率变量，求出点坐标； （3）利用两点间的弦长公式来求出长度，即可求面积比； （4）最后把面积比转化为两根之积的韦达定理，以及斜率变量上来，最后利用基本不等式可求出最小值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当 时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，分， ，，四种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，可能有三个不同的零点，然后分和两种情况结合零点存在性定理与函数的单调性讨论零点的个数. 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 当时，令，解得 ；令，解得 ， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当 时，时恒成立，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增； 当时， ，令，解得， 令，解得 或 ， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时， ，令，解得， 令，解得 或 ， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当 时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得，当时，至多有两个零点，不符题意； 当 时，至多有一个零点，不符题意； 当时，的极大值，至多有一个零点，不符题意； 当时，的极小值，的极大值，至多有两个零点，不符题意； 当时，因为在上单调递增，且， ，所以在上有且只有一个零点， 因为在上单调递减，，且， 所以在上有且只有一个零点， 因为在上单调递增，， 令，则，令，则 ， 因为当 时，， 所以 在上递增，即在上递增， 所以，所以 在上递增， 所以， 所以在上恒成立， 所以， 所以， 故在上有且只有一个零点， 所以有三个零点， 综上，当时，有三个不同的零点. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是当时，结合（1）当时，的单调区间和零点存在性定理分析判断，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $