专题2.2 有理数和数轴【九大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版2024）

专题2.2 有理数和数轴【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 有理数的相关概念】 2 【题型2 有理数的分类】 4 【题型3 数轴的三要素及其画法】 6 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 8 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 9 【题型6 数轴上两点之间的距离】 11 【题型7 数轴上的整点问题】 12 【题型8 数轴中点的简单移动】 14 【题型9 应用数轴解决实际问题】 15 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【题型1 有理数的相关概念】 【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：A．自然数就是非负整数，则A正确，故A选项符合题意； B．正有理数和负有理数以及0统称为有理数，则B错误，故B选项不符合题意； C．没有最小的有理数，则C错误，故C选项不符合题意； D．1是最小的正整数，是最大的负整数，则D错误，故D选项不符合题意， 故选A． 【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．不是有理数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的概念．熟练掌握有理数的概念是解题的关键． 根据有理数的概念进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，所有整数都是有理数，A正确，故不符合要求； 有限小数，无限循环小数是有理数，B错误，故符合要求； 所有分数都是有理数，C正确，故不符合要求； 不是有理数，D正确，故不符合要求； 故选：B． 【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数； 其中错误的说法的个数为（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：因为负数小于，不是最小的整数，故①是错误的； 因为是有理数，但既不是正数，也不是负数，故②是错误的； 因为正整数、、负整数、正分数、负分数统称为有理数，故③是错误的； 因为非负数包括和正数，故④是错误的； 因为不是有理数，故⑤是错误的； 因为带“”号的数可以是，但，不是负数，故⑥是错误的； 因为无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故⑦是正确的； 因为正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧是正确的； 其中错误的说法的个数为6个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，难度较小；正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数． 【题型2 有理数的分类】 【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：，0，，，，8，其中说法错误的是（    ） A．，0，8都是整数 B．分数有，， C．正数有，，8 D．是负有理数，但不是分数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数分类的知识，解题关键是理解并掌握有理数分类的相关知识．根据有理数分类的相关知识逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，0，8都是整数，该说法正确，不符合题意； B. 分数有，，，该说法正确，不符合题意； C. 正数有，，8，该说法正确，不符合题意； D. 是负有理数，也是分数，本选项说法不正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数及下列判断： ①这个数不是分数，但是有理数； ②这个数是负数，也是分数； ③这个数不是有理数； ④这个数是负小数，也是负分数. 其中正确判断的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据有理数的概念和分类即可作出判断. 【详解】解：是一个负有理数，故③错误；这个数也是一个小数和分数，故②④正确，①错误； 故答案为②④. 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，有理数分为整数和分数（小数）；也可以分为：正数、0、负数.解题的关键是掌握有理数的分类. 【变式2-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在，，，，，中，非负数的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的定义，解题的管计划司掌握非负数的定义．根据“零和整数统称为非负数”，即可求解． 【详解】解：非负数有：，，，共个， 故选：B． 【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，． 正有理数集合{               …}； 非负整数集合{                  …}； 整数集合{                 …}； 正分数集合{                 …}． 【答案】3.5，，，10，；0，10；，0，10；3.5，，， 【分析】 本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据正有理数，非负整数，整数，正分数的定义可得出答案． 【详解】解：正有理数集合{，，，10，，…}； 非负整数集合{ 0，10，…}； 整数集合{，0，10，…}； 正分数集合{，，，，…}． 故答案为：，，0.03，10，；0，10；，0，10；，，0.03，． 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【题型3 数轴的三要素及其画法】 【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可． 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点． 故选：B． 【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 【答案】D 【分析】数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向；依据上述知识，对给出的选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向， 故选项D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴，掌握数轴的相关知识是解题的关键． 【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度，则数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】 【分析】由长度是厘米求出数轴的单位长度是厘米，再由的长度是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴数轴的单位长度是厘米， ∵， ∴在数轴上的距离是3个单位长度， ∴点B所对应的数b为． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米． 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一 【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为满足“到原点的距离大于2，还是负数” 故答案为： 【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，， ∴， ∴点B表示的数是， 故选：B． 【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，根据题意可得点A表示的数是，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是， ∴比数轴上的点A表示的数大1的数是， 故选：B． 【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴以及数轴上的点表示的数；根据数轴特点可直接得出答案． 【详解】解：在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么 ， 故答案为：． 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 【变式5-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）比较大小：有理数在数轴上的位置如下图所示，则 0． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，根据有理数在数轴上的位置可以直接判断． 【详解】解：根据有理数在数轴上的位置，可知， 故答案为：． 【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 【答案】（1）见解析；；（2）负有理数 【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的点表示数是解题的关键． （1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可； （2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数． 【详解】解：（1）数轴表示如下： ． ∴． （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数． 故答案为：负有理数． 【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，根据点P在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：由数轴可知点表示的数在和之间， ， 四个选项中的数只有在和之间， 故选B． 【题型6 数轴上两点之间的距离】 【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【答案】4 【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】根据平移规律，得，， 故点B表示的数是4， 故答案为：4． 【变式6-1】（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）在数轴上，表示的点到原点的距离是（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，根据数数轴上表示的点到原点的距离为进行解答即可． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离为． 故选：A． 【变式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如图，点在数轴上对应的数分别是和3，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，熟记距离公式是解题的关键．根据数轴上两点间的距离公式计算解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）正方形的边长，其顶点A在数轴上且表示的数为，若点E也在数轴上且，则点E所表示的数为（    ） A． B．3 C．或1 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数与数轴及两点间距离．分类讨论，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数即可． 【详解】解：由题意得， 当点E在点A的左边时，点E所表示的数为， 当点E在点A的右边时，点E所表示的数为， 故选：C． 【题型7 数轴上的整点问题】 【例7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，请根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数有 个．    【答案】9 【分析】根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于0而小于6，再写出其中的整数即可解答． 【详解】解：由数轴可知比大比小的整数有， 比0大比6小的整数有1，2，3，4，5， ∴墨迹盖住部分的整数有9个． 故答案为：9． 【点睛】考查了数轴．理解整数的概念，能够首先结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解题关键． 【变式7-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示和之间的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：如图所示： 在数轴上表示和两点之间的整数有，，，，共个． 故选：A． 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的表示求解即可． 【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有、、，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题关键． 【变式7-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为 ．    【答案】 【分析】根据题意得到被盖住的整数为，再相加即可求解． 【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为 ， ∴被盖住的整数的个数为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键 【题型8 数轴中点的简单移动】 【例8】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，A、B两点的距离即为半径为1个单位长度的圆的周长，据此得到，再由A点在数轴上表示的数是1，可得点B表示的数是． 【详解】解：∵半径为1个单位长度的圆滚动一周所走的距离为， ∴， ∵A点在数轴上表示的数是1， ∴点B表示的数是， 故选：B． 【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点表示的数是1，则点表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，根据数轴，可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，列式计算即可得到点B表示的数． 【详解】解：由图可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B， 点表示的数是1， ， 点表示的数是2， 故答案为：2． 【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是9 （1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ． （2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ． 【答案】 7 5或13 【分析】（1）根据数轴上的距离确定原来点N表示的数； （2）分两种情况根据平移求得现在点表示的数． 【详解】（1）解：， （2）当点M在数轴上向左移动4个单位长度表示的数是； 当点M在数轴上向右移动4个单位长度表示的数是； 故答案为：7；5或13． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，点的平移，解题的关键是掌握点在数轴上平移的规则“左减右加”． 【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是 ． 【答案】 【分析】由数轴的概念，即可解决问题． 【详解】解：∵点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ∴将点向右移动个单位长度后表示的数是， ∴再向左移动个单位长度后点表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的概念，用数轴上的点表示数．解题的关键是掌握数轴的三要素． 【题型9 应用数轴解决实际问题】 【例9】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【详解】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米 【变式9-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【答案】(1)西边；14； (2)16 (3)货车一共行驶了38千米，共用了19升油 【分析】（1）以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家在数轴上的位置所表示的数的绝对值之和； （3）注意要用绝对值来表示距离，求出路程的和，然后求用的油即可． 【详解】（1）解：根据题意在数轴上表示如下： 小英家在超市西边方向，小英家距离超市14千米， 故答案为：西边；14； （2）小英家距小刚家有km， 故答案为：16； （3）根据题意得： 千米， 升． 货车一共行驶了38千米，货车共用了19升油． 【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键． 【变式9-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【答案】甲没获胜． 【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9，即标志物向甲移了1.9m，由此判断甲没获胜． 【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9， 即标志物向甲移了1.9m＜2m，由此判断甲没获胜． 考点：有理数的加减混合运算． 【变式9-3】（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)作图见详解 (2)千米 (3) 【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解； （2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解； （3）运用有理数的加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：货车从货场出发，用一个单位长度表示千米，以东为正方向， ∴以货场为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，    （2）解：由（1）中数轴图示可知，超市距货场的距离为千米． （3）解：货车行驶的路程为． 【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 有理数和数轴【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 有理数的相关概念】 2 【题型2 有理数的分类】 2 【题型3 数轴的三要素及其画法】 4 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 4 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 5 【题型6 数轴上两点之间的距离】 5 【题型7 数轴上的整点问题】 6 【题型8 数轴中点的简单移动】 6 【题型9 应用数轴解决实际问题】 7 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【题型1 有理数的相关概念】 【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．不是有理数 【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数； 其中错误的说法的个数为（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【题型2 有理数的分类】 【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：，0，，，，8，其中说法错误的是（    ） A．，0，8都是整数 B．分数有，， C．正数有，，8 D．是负有理数，但不是分数 【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数及下列判断： ①这个数不是分数，但是有理数； ②这个数是负数，也是分数； ③这个数不是有理数； ④这个数是负小数，也是负分数. 其中正确判断的序号是 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在，，，，，中，非负数的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，． 正有理数集合{               …}； 非负整数集合{                  …}； 整数集合{                 …}； 正分数集合{                 …}． 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【题型3 数轴的三要素及其画法】 【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度，则数轴上点B所对应的数b为 ． 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ． 【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么 ． 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）比较大小：有理数在数轴上的位置如下图所示，则 0． 【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【题型6 数轴上两点之间的距离】 【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【变式6-1】（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）在数轴上，表示的点到原点的距离是（    ） A．5 B． C．10 D． 【变式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如图，点在数轴上对应的数分别是和3，则的长度为 ． 【变式6-3】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）正方形的边长，其顶点A在数轴上且表示的数为，若点E也在数轴上且，则点E所表示的数为（    ） A． B．3 C．或1 D．或3 【题型7 数轴上的整点问题】 【例7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，请根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数有 个．    【变式7-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示和之间的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为 ．    【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键 【题型8 数轴中点的简单移动】 【例8】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点表示的数是1，则点表示的数是 ． 【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是9 （1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ． （2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ． 【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是 ． 【题型9 应用数轴解决实际问题】 【例9】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【变式9-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【变式9-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【变式9-3】（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$