第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式（模块综合调研卷）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式 （模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 5．已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（    ）． A．若，则点在圆上 B．若，则点在椭圆上 C．若，则点在双曲线上 D．若，则点在抛物线上 8．对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知实数满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 11．已知，且，则（    ） A．ab的最大值为1 B．ab的最小值为－1 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．， ，则 . 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 14．函数的最小值 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知（其中i为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围. 17．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 19．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1章 集合与常用逻辑用语、复数、不等式 （模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 5．已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（    ）． A．若，则点在圆上 B．若，则点在椭圆上 C．若，则点在双曲线上 D．若，则点在抛物线上 8．对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知实数满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 11．已知，且，则（    ） A．ab的最大值为1 B．ab的最小值为－1 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．， ，则 . 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 14．函数的最小值 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知（其中i为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围. 17．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 19．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式 （模块综合调研卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再根据补集定义即可求解结论． 【详解】集合，，， ， 故选：D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 即命题“”的否定为“”. 故选：B. 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 4．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解. 【详解】解：由题意，， 则复数的共轭复数. 故选：A. 5．已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当时，且，所以成立， 当时，得或，即不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解. 【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（）， 则由题意，所以， 所以，因为，所以，又，所以， 即刘老师总共跑的圈数为8. 故选：B 7．复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（    ）． A．若，则点在圆上 B．若，则点在椭圆上 C．若，则点在双曲线上 D．若，则点在抛物线上 【答案】D 【分析】、分别表示点与、之间的距离，记，，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案. 【详解】表示点与之间的距离， 表示点与之间的距离，记，， 对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误； 或由，整理得，所以点在，故A错误； 对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误； 对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误； 对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确. 故选：D. 8．对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知实数满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，得到，结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性质，可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确. 【详解】由不等式，可得且，即， 对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，即1，所以C正确； 对于D中，由，可得，则，所以，所以D错误. 故选：ABC. 10．已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设复数在复平面内对应的向量为，依题意可得四边形为菱形，且，即可求出、，再根据复数代数形式的运算法则计算可得. 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点， 则复数在复平面内对应的向量为，且， ，， 所以四边形为菱形，且， 又，与轴正半轴所成的角为， 所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称， 所以，则，所以，故B正确； 因为，所以，故A错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 11．已知，且，则（    ） A．ab的最大值为1 B．ab的最小值为－1 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】利用基本不等式的知识，结合特殊值法进行排除即可得到正确答案. 【详解】由于，所以，即，解得，即，故A和B均正确， 令，满足题干的式子，但是，故C错误， 将变形可得，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误， 故选：AB. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．， ，则 . 【答案】 【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得. 【详解】若，则，解得， 所以； 若，则，解得， 所以； 所以. 故答案为：. 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立； “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14．函数的最小值 ． 【答案】/ 【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得. 【详解】由， 故 ， 由，故、， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 16．已知（其中i为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用纯虚数的概念结合复数的运算得到求解a的值； （2）利用复数的模的概念得到求实数a的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 因为为纯虚数，所以，解得； （2）因为，所以， 由，可得，，解得，， 故实数a的取值范围为 17．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立，则转化对于，即可. （2）若为真命题，即，不等式成立，则转化为对于，即可. 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则 （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 18．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证； （2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明. 【详解】（1）因为，所以． 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，所以． （2）解法一： 因为，且a，b，， 所以，，，所以， 同理可得，， 以上三式相加得，当且仅当时等号成立． 解法二：因为，且a，b，， 所以，，，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立． 19．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或． 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． （2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． （3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$