精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

浠水一中2024年春高一年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 或4 2. 复数，则复数的虚部是（ ） A B. 2 C. D. 1 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ） A B. C. D. 7. 王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（ ）（参考数据：，，） A. 5800 B. 6000 C. 6600 D. 7000 8. 在中，若，，则的周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 函数奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 如图，△，△，△是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 13. 在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______． 14. 如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 在中，内角、、所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）已知，，求的面积. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在上有实根，求实数的取值范围. 18. 已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点． （1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值； （2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示） （3）若，，求的最小值． 19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式. （1）设复数，，求、的三角形式； （2）设复数，，其中，求； （3）在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，， 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浠水一中2024年春高一年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可. 【详解】由两向量共线可知，即，解得或. 故选：D. 2. 复数，则复数的虚部是（ ） A B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据虚数单位的定义以及复数的相关概念运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以复数的虚部是. 故选：A. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】C 【解析】 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意，D错误. 故选：C 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：B． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解. 【详解】由已知得，即（）， 则.从而. 故选：A. 6. 已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 如图设，，则，即可得到，从而求出参数的取值范围. 【详解】解：如图设， 则 则 故选： 【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等，属于中档题. 7. 王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（ ）（参考数据：，，） A. 5800 B. 6000 C. 6600 D. 7000 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长公式可求得即的大小，在中，即可求得的大小. 【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km， 令，则， ∵，，， ∴， 又， 所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼. 故选：C. 8. 在中，若，，则的周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由切化弦化简得，再由和角公式及诱导公式求得，结合正弦定理得，再由辅助角公式求得最大值即可. 详解】由可得， 两边同乘得， 两边同加得， 即，又， 则，设角对应的边分别为， 由正弦定理得其中， 不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为. 故选：A. 【点睛】本题关键点在于化简得到后，两边同加结合和角公式得，进而结合正弦定理得到，借助辅助角公式求得最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用复数的运算和模的运算求解，逐项判断. 【详解】解：设，则， 所以，，则，故A错误； ， ，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以， 而，所以，故D正确 故选：BCD 10. 将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期变换和平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的， 可得， 再向右平移个单位长度， 可得， 然后再向下平移2个单位长度，可得，故A错误； ， 因为， 所以函数为奇函数，故B正确； 因为，所以点不是函数的对称中心，故C错误； 因为，所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，△，△，△是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】构建平面直角坐标系，写出、、、、、的坐标，由，，分别是边，，上可得且、且、 且，再应用向量数量积的坐标表示求、、即可. 【详解】构建下图示的平面直角坐标系， ∴，，，，，， ∴，， 由在，若且， 由在，若且， 由在，若且， ∴， ， ， ∴，，，故A错误，B、C、D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：构建平面直角坐标系，并确定、、、、、、、、的坐标，再由向量数量积的坐标表示求、、. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式、平方关系、二倍角公式求解. 【详解】， 所以，， 所以， 故答案为：. 13. 在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求的范围，然后由面积公式化简为三角函数，求最值即可. 【详解】由题知， 则 ，当且仅当时取等号. ， 而， . 故答案为： 14. 如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题采用建系法，设，利用向量共线得到，再写出，，从而得到方程，解出即可求出坐标为，再设，，写出，，则的函数表达式，利用函数单调性即可求出最值. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系， 设，，， 设，，， ，，， ，，， ，， ，即，解得， ，因为为中点，， 设，，，, , 所以当时，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可求的值； （2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值. 【小问1详解】 ， 由，得，所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 令向量与的夹角为θ， 则， 即向量与夹角的余弦值是. 16. 在中，内角、、所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）已知，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的正弦定理和三角恒等变换即可求出， （2）根据三角函数的正弦定理和余弦定理求出,在由三角形面积公式得出结果. 【小问1详解】 方法1：， 由正弦定理： 可得；而，故； 又， ，， 且， ， ，. 方法2： ， 由正弦定理：， 可得；即； 其中， ，即； ， ，. 【小问2详解】 方法1：由正弦定理： ， 由余弦定理：， 故； 解得 由（1）可知， ， . 方法2：， ，， 得， ， ，， ，即， 等边三角形， . 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在上有实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数图象得到、，即可求出，再由函数经过点，即可求出，从而得解； （2）依题意利用两角差的余弦公式得到，由的取值范围求出的范围，从而求出的范围，即可求出参数的范围. 【小问1详解】 由图知，， ∴，又∵，∴，解得. 又由图知函数经过点，∴， ∵，∴，∴. 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴. ∵，∴，∴， ∴， ∴，即实数的取值范围为. 18. 已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点． （1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值； （2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示） （3）若，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算，将代入，再由求解. （2）易得对任意正整数，，且，有，，从而求解. （3）当时，设线段上存在一点，使得，，且存在点，，然后转化为，利用线段和最小求解. 【详解】（1）因为, 而点为线段上靠近点的三等分点， 所以， 所以， 所以. （2）由题意得， ， 所以， 事实上，对任意正整数，，且， 有， ， 所以 所以， （3）当时，线段上存在一点， 使得，， 且存在点，， 则， ， 所以， 即线段上存在一点，到点和点的距离之和， 如图所示： 作点关于线段的对称点， 则最小值为. 【点睛】方法点睛：在直线l上存在点P,使得最小和最大问题： 当点A，B在直线l的异侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最小； 作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最大； 当点A，B在直线l的同侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最大； 作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最小； 19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式. （1）设复数，，求、的三角形式； （2）设复数，，其中，求； （3）在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即可； （2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可； （3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可. 小问1详解】 , ； 【小问2详解】 设，的模为，的模为，， 对于有，， 对于有，， 所以， 所以， ，故,即的角的终边在轴上， 又，所以，即 【小问3详解】 如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则， 所以， 即， 即 根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得， 所以，， 同理，， ，， 所以，，，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$