8.2一元线性回归模型及其应用 同步练习-2023--2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用 一、单选题 1．如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 2．如下表给出5组数据，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据，则应去掉（    ） 1 2 3 4 5 5 4 3 2 3 2 7 1 A． B． C． D． 3．一组样本数据在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为，满足：.令，得到新样本数据，且，则直线的方程为（    ） 附：. A． B． C． D． 4．2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示： 周数 治愈人数 由表格可得关于的线性回归方程为则此回归模型第周的残差(实际值与预报值之差)为（    ） A． B． C． D． 5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量(单位：)与气温(单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： (单位：℃) 17 14 10 (单位：) 24 34 38 由表中数据得线性回归方程：，则的值为（    ） A．56 B．58 C．62 D．64 6．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型来拟合与的关系，根据以下数据： 茶叶量克 1 2 3 4 5 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得y关于x的回归方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 50 60 根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（    ） A．45 B．50 C．70 D．65 8．相关变量的样本数据如下表， x 1 2 3 4 5 6 7 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 a 5.9 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（    ） A．x增加1时，y一定增加2.3 B．变量x与y负相关 C．当y为6.3时，x一定是8 D．a=5.2 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．若回归方程为，则变量x与y负相关 B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 10．在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：（参考公式：回归方程，），则下列说法正确的有（   ） A．40 B． C．当时，的估计值为 D．样本中心点为 11．下列叙述正确的是（    ） A．回归直线一定过样本点的中心 B．在回归分析中，的模型比的模型拟合的效果好 C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 D．某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）的关系，得到回归方程，则气温为2℃时，一定可卖出142杯热饮 三、填空题 12．某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间的关系如下表，若与的线性回归方程为，则 ． 13．已知与之间的几组数据如右表：则由表数据所得线性回归直线必过点 ． 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 14．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表： x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 并由表中数据求得y关于x的回归方程为，若a，b，c成等差数列，则 ． 15．2019年7月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 9 9.5 10.5 11 销售量 11 8 6 5 可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的 . 四、解答题 16．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数（千人） (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 参考答案： 1．B 【分析】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下即可. 【解析】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下， 所以③④图的变量具有线性相关关系. 故选：B 2．B 【分析】画出散点图，根据线性相关性与偏离程度判断即可. 【解析】根据表格数据，得到散点图如下所示： 由散点图可知数据偏离程度最高，故应该去掉数据. 故选：B 3．A 【分析】利用最小二乘法公式求解线性回归方程. 【解析】由， 则直线的方程为. 故选：A. 4．B 【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，用13减去所得结果即可得解. 【解析】由表格中的数据可得，， 由于回归直线过样本的中心点，则，解得，回归直线方程为， 将代入回归直线方程可得， 因此，第周的残差为. 故选：B. 5．D 【分析】求出用电量与气温的平均数即得样本点中心，再利用回归直线方程即可得解. 【解析】由数表知：， 得样本点中心，而回归直线必过样本点中心， 于是有，解得， 所以的值为64. 故选：D 6．A 【分析】根据所给四个选项，分别取对数化简变形，由线性回归方程经过样本中心点，将表中数据求得代入即可检验. 【解析】由表中数据可知， ， 对于A，化简变形可得，同取对数可知，将代入可得，而，因而A正确； 对于B，化简变形可得，同取对数可知，将代入可得，而，所以B错误； 对于C，，两边同取对数可知，而表中所给为的相关量，所以C错误； 对于D，，两边同取对数可知，而表中所给为的相关量，所以D错误； 综上可知，正确的为A， 故选：A. 【小结点评】本题考查了线性回归方程的性质及简单应用，注意利用回归方程经过样本中心点的性质，可代入回归方程检验，属于基础题. 7．C 【分析】由表中数据求出平均数，根据回归直线经过样本中心点，代入求解即可. 【解析】由表可知，， . 因为回归直线会经过平均数样本中心点， 所以＝6.5×5＋17.5，解得m＝70. 故选：C． 8．D 【分析】根据回归直线方程的几何意义判断A、B错误；令求解判断C，计算并代入回归直线方程中，求得a的值，判断D正确. 【解析】根据回归直线方程知，x增加1时，估计y增加，故A错误； 由知，，故变量x与y正相关，故B错误； 时，，解得，估计的值应为8，故C错误; 又，， 代入回归直线方程中，则，解得，故D正确. 故选：D 9．ABD 【分析】利用正负相关的意义判断A；利用回归直线的性质判断B；利用相关系数、决定系数意义判断CD. 【解析】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确； 对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确； 对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误； 对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确. 故选：ABD 10．AC 【解析】根据表格中的数据分别求出，再计算出回归方程，进一步验证答案即可。 【解析】由数据表可知：； ，，当时，的估计值为，样本中心点为，所以AC符合题意。 故选：AC. 【小结点评】本题主要考查了回归线方程的求法，回归线方程一定过点，属于基础题。 11．AC 【分析】由线性回归方程的特点判断A和D；由相关系数与预报效果间的关系判断B；由残差图的形状与拟合效果间的关系判断C. 【解析】对于A：回归直线一定过样本点的中心，故A正确； 对于B：相关系数越大，说明拟合效果越好，故B错误； 对于C：在残差图中,残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，说明模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D：把x=2代入回归方程，可得，说明气温为2℃时，预测可卖出142杯热饮，而不是一定可卖出142杯热饮.故D错误. 故选：AC. 12． 【分析】首先求出，，根据回归方程必过样本中心点，代入计算可得； 【解析】解：由题意，根据表中的数据，可得，，即样本中心为，代入与的线性回归方程中得，解得． 故答案为： 13．（4.5，3.5） 【解析】试题分析：由表格数据可知，回归直线过中线点（4.5，3.5） 考点：回归方程 14．3 【分析】 求出，结合回归方程可求得，从而得出，结合a，b，c成等差数列，即可求得答案. 【解析】 由题意得，代入回归方程得， 则，所以， 又，所以， 故答案为：3 15．10 【分析】计算，代入回归直线方程，与结合，求解出的值. 【解析】依题意，代入回归直线方程得①，根据题意②，解①②组成的方程组得，故填. 【小结点评】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题. 16．(1) (2)（i）5028万元（ii） 【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程； （2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可； （ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围. 【解析】（1）由题意得，， 又，                ， ， ，           所以， 故得y关于x的线性回归方程为； （2）（i）将x=120代入， 估计该省要发放补贴的总金额为（万元）； （ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、， ， ， ，                        ， ，可得，           又因为，可得， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$