精品解析：福建省泉州市鲤城区2023-2024学年高三下学期5月联考数学试卷

2024年福建省泉州市鲤城区高考数学联考试卷（5月份） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若（，2，3，…，n），则数据组和，（ ） A. 有相同的平均数 B. 有相同的中位数 C. 有相同的方差 D. 有相同的众数 3. 若复数z满足，则z的一个可能值是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，，则（ ） A. 函数，的图象关于直线对称 B. ，使得 C. 若，则 D. 若，则 8. 若坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则以下结论不成立的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. C. D. 曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1 二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 若，则既是奇函数，也是偶函数 B. 若为奇函数，则 C. 若，则存在两个不同的零点 D. 若的定义域为R，则 10. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ） A. C的方程为 B. C的离心率为2 C. 若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 11. 已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则（ ） A. 若n为奇数，则 B. C. 若数列单调递增，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______.（用含n的式子表示） 13. 若将正方体绕着棱AB旋转后，CD所在位置为的位置，则直线和平面所成的角为______. 14. 若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 16. 已知函数（且）. （1）若，求a； （2）若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，. （1）写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假； （2）若外的点D满足，，求面积的最大值. 18. 测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为0.6，0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的概率为0.8. （1）求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率； （2）若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动. （i）求球员甲第二轮罚进点球的概率； （ii）设为球员甲在第k轮罚进点球的概率，若满足对于，，直接写出符合题意的.（注：最终结果均保留两位小数.） 19. 在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点. （1）将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式； （2）费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题： （i）证明：. （ii）若，，，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年福建省泉州市鲤城区高考数学联考试卷（5月份） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图，先求，再由集合去掉中的元素即可. 【详解】∵全集是实数集，集合， ∴， ∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即. 故选：A. 2. 若（，2，3，…，n），则数据组和，（ ） A. 有相同的平均数 B. 有相同的中位数 C. 有相同的方差 D. 有相同的众数 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义逐项分析判断得解. 【详解】由（，4，3，…，n），得的平均数、中位数和众数 都相应地比数据组的平均数、中位数和众数大4，ABD错误； 数据组与数据组相对于各自平均数的波动大小不变， 因此两个数据组的方差相同，C正确. 故选：C 3. 若复数z满足，则z的一个可能值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合复数的模长公式及共轭复数的概念即可求解. 【详解】设，则， 由，得，即，整理得， 显然选项ACD不满足要求，B符合要求. 故选：B 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和与差的三角函数，结合同角三角函数的关系求解． 【详解】由，得， ，整理得， 即，由，得， 所以. 故选：D 5. 若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足，即可求得，的夹角. 【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离， 由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且， 由于，所以. 故选：B 6. 已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，且且该平面与圆锥地面所成的二面角等于，即，进一步可得是边长为的等边三角形，再由圆锥的体积公式，求解即可． 【详解】 由过点C且平行于SB的平面恰过点O，知，根据二面角定义知， 因为O是AB的中点， 所以C是SA的中点，且， 因为， 所以是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径为，圆锥的高为 所以该圆锥的体积为. 故选：C. 7. 若函数，，则（ ） A. 函数，的图象关于直线对称 B. ，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的特点判断A是否正确；设，分析函数的单调性，求出函数的极值，判断B的单调性；由同构结合函数的单调性可得的关系；由，两边取自然对数，可得，可验证D的真假. 【详解】对A：当时，，恒成立，所以在上单调递增，且增长速度比快， 即的图象在上方；同理的图象也在上方. 所以函数，的图象关于直线对称是不可能的，故A错； 对B：设（），则，（）， 设（），则在上恒成立， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一的，使得，即. 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以（因为，故不能取“”）. 所以在恒成立，故B错； 对C：因为，. 因为在上单调递增，所以，故C正确； 对D：由，由的单调性，只有一解，且，所以. 由，由的单调性，只有一解，且，所以. 所以.故D错. 8. 若坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则以下结论不成立的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. C. D. 曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1 【答案】D 【解析】 【分析】结合曲线的对称性判断A；结合方程的特点判断B；换元并利用判别式法求解判断C；举反例说明判断D． 【详解】对于A，曲线上任意点，显然成立， 即点在曲线C上，因此曲线C关于原点对称，A正确； 对于B，由，得，因此，即，B正确； 对于C，令，由消去得， 则有，解得，C正确； 对于D，令，得，解得或，显然点在曲线C上， 点到原点距离，D错误. 故选：D 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，①如果，则曲线C关于y轴对称；②如果，则曲线C关于x轴对称；③如果，则曲线C关于原点对称. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 若，则既是奇函数，也是偶函数 B. 若为奇函数，则 C. 若，则存在两个不同的零点 D. 若的定义域为R，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数定义域判断A，根据奇函数定义判断B，根据解方程判断C，根据不等式组恒成立，分离参数求出范围判断D. 【详解】对A：时，，由 可得定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故A错误； 对B：若为奇函数， 则，对函数定义域中任意成立， 所以，而时，函数定义域为，故B正确； 对于C：当时，由可得， 解得或，故C正确； 对于D：若的定义域为R，则对任意成立， 于是， 当时，由知恒成立， 当时，需恒成立，即恒成立，所以， 综上时即对任意不等式组恒成立，故D正确. 故选：BCD 10. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ） A. C的方程为 B. C的离心率为2 C. 若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 11. 已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则（ ） A. 若n为奇数，则 B. C. 若数列单调递增，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，结合等差数列的前项和公式，可得.结合等差数列的性质，可判断A的真假；由可判断B的真假；结合数列的单调性，可判断C的真假；结合数列求和，可判断D的真假. 【详解】由数列是等差数列且，得，所以， 对于A，当n为奇数时，，故A正确； 对于B，由得，故选项B错误； 对于C，若数列单调递增，则可得，故，故选项C正确； 对于D：由，其中， 所以， 因为，， 所以 ，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：在D的判断过程中，利用这一结论，作为选择题，该结论可以熟记，直接应用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______.（用含n的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理可得，再利用分组求和法可求得的值. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 13. 若将正方体绕着棱AB旋转后，CD所在位置为的位置，则直线和平面所成的角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由对称性，不妨设点在正方形内，可得平面与平面的夹角为，然后根据正方体的性质结合条件求解即可. 【详解】如图，由对称性，不妨设点在正方形内， 则为顶角的等腰三角形，， 所以平面与平面的夹角为，旋转后显然与平面垂直， 所以直线和平面所成的角为. 故答案为：. 14. 若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和基本不等式，可得所求最小值． 【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为， 设直线AB的方程为，由消去得， 显然，，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以则的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）当时，为棱的中点. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质、线面平行的判定推理即得. （2）取AB中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明求解即得． 【小问1详解】 由E，F分别为和的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 棱柱中，侧棱底面， 取AB中点O，中点M，连接， 则，平面，而平面，则有， 又，则，即直线两两垂直， 以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， 假设在平面上存在点P，使，设， ， ，即，显然， 由，得，因此，即，此时， 所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使. 16. 已知函数（且）. （1）若，求a； （2）若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）分和，确定的符号，可确定的值. （2）把问题转化成为有两个不相等的实根，且必有一根在区间内，在根据二次函数的零点分布求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，由得：（），所以. 当时，，由得：（），所以. 所以. 【小问2详解】 时，. 所以，（）. 所以，（） 对于任意，在区间上总存在极值就是： 有两个不相等的实根，且必有一根在区间内. 因为函数是开口向上的二次函数，且， 所以必有：. 由， 设，则在上单调递减，所以，所以， 由. 综上可知：. 所以，所求的取值范围是： 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，. （1）写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假； （2）若外的点D满足，，求面积的最大值. 【答案】（1）逆命题q见解析，假命题； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合逆命题的定义即可得解，解直角三角形判断真假. （2）结合锐角三角函数定义及正弦定理可求出DB，DC，然后结合三角形面积公式，和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求． 【小问1详解】 逆命题q为：已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，， 若是直角三角形，则. 命题q为假命题，理由如下： 由为直角三角形，且，得或，而， 当时，，当时，， 因此逆命题q是假命题. 【小问2详解】 由于外的点D满足，而，则四点共圆， 由，得，且，设，则， 在中，由正弦定理得外接圆直径，， 在中，， 在中，， 则的面积 ， 显然，，因此当时，， 所以面积的最大值为. 18. 测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为0.6，0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的概率为0.8. （1）求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率； （2）若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动. （i）求球员甲第二轮罚进点球的概率； （ii）设为球员甲在第k轮罚进点球的概率，若满足对于，，直接写出符合题意的.（注：最终结果均保留两位小数.） 【答案】（1）0.34； （2）（i）0.67；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由互斥事件的概率公式及全概率公式求解即可. （2）（i）球员甲第二轮罚进点球包含4个互斥事件：第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，但重罚后罚进，第一轮未罚进，第二轮罚进，分别求出对应的概率，相加即可得解； （ii）分析可得（）随k的增大而增大，由对于，均有，由此可得答案． 【小问1详解】 设球员甲罚点球时，踢向左侧、中间、右侧的事件分别为， 球员甲踢飞或踢偏（没有射正）的事件为D，守门员乙在扑点球时扑向右侧、中间、左侧的事件分别为， 守门员乙扑出点球的事件为E， 则，， ， 设球员甲第1次罚点球罚丢的事件为F，则为互斥事件， 则 . 【小问2详解】 （i）当球员甲在上一轮罚丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的概率都增加0.1， 或者守门员乙提前移动时，所有方向扑出点球的也增加0.1，因此球员甲第二轮罚进点球包含以下4个互斥事件： ①第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，概率为； ②第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进， 此时罚丢点球的概率为 ， 此时罚进的点球的概率为； ③第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，重罚罚进， 此时罚进的概率为； ④第一轮未罚进，第二轮罚进，此时罚进的概率为， 所以第二轮球员甲罚进的概率为. （ii）. 由（1）及（2）（i）知，， 则第三轮的情况如第二轮时情形，但第二轮罚进点球的概率增加了， 因此第三轮罚进点球的概率比第二轮时要高，从而随的增大而增大， 于是若满足对于，均有，则. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 19. 在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点. （1）将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式； （2）费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题： （i）证明：. （ii）若，，，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围. 【答案】（1），， （2）（i）证明过程见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，，表达出，； （2）（i）求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，及存在唯一的，使得，结合费尔马的结论，当时，光线所经过的时间最短，由得到方程，结合，证明出结论； （ii）代入化简得到，，得到点的轨迹，光线从运动到点所经过的路程为. 【小问1详解】 由勾股定理得，， 所以，， 【小问2详解】 （i）， 由于在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数， 又，， 由零点存在性定理得，存在唯一的，使得， 且在上单调递减，在上单调递增， 据此，并运用费尔马的结论，当时，光线所经过的时间最短， 令得，， 故， 又，故； （ii）当，，时，， 整理得，， 故点的轨迹为长轴长为4，短轴长为的椭圆在坐标轴第四象限的部分， 光线从运动到点所经过的路程为， 其中，代入得 ； 故光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标表示相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标之间的直接关系难以找到时，往往先寻找与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $