专题1.18 构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.18 构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直 （专项练习） 1．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC． 求证：（1）AE⊥BE； （2）E是线段CD的中点． 2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB　 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，，，、分别是、的中点，求证：． 4．（22-23八年级上·湖北十堰·阶段练习）已知：如图，，，   （1）在图①中，求证：，； （2）在图②中，点是中点，点是中点，试探究与的关系，并证明． 5．（23-24八年级上·山西大同·期中）如图，在等腰中，，，直线经过点C，且点A，B在直线的同侧，过点A作于D．   （1）求证：； （2）点E在的延长线上，将线段绕点C逆时旋转得到线段，连接交直线于H． ①依题意补全图形； ②由作图过程猜想线段与的数量关系（不要求证明）． 6．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．   （1）如图①，求证：； （2）如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 7．（17-18八年级上·湖北襄阳·期中）在中，，，点D为上一动点．   （1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论． 8．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    （1）第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； （2）第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第一 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程. 10．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点F，交的延长线于G，交于H．   （1）求证：； （2）求证：； （3）若则 ． 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，点为内一点，连接，，，过点作，交的延长线于点． 1）如图，求证：； （2）如图，点为的中点，分别连接，，求的度数． 12．在中，，，点D在的延长线上，M是的中点，E是射线CA上一动点，且，连接，作，交延长线于点F． （1）如图1，当点E在上时，填空：________（填“”、“”或“”）． （2）如图2，当点E在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 13．（23-24八年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 14．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在学习了三角形全等的判定方法之后，我们知道：“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，让我们结合图形，对此进行探究： （1）如图1，在和中，，，，若为直角，则根据______，可以判定； （2）如图2，在和中，，，，若为钝角，试判断和是否全等，若全等，请说明理由； （3）在和中，，，，为锐角，则和不一定全等，请用尺规作图在图3中作出，使和不全等（不写作法，保留作图痕迹）. 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　） ∴（ 　　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    17．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 18．（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．   （1）如果，， ①当点D在线段 （不含端点）上时，如图1，则线段与的位置关系是_____ ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立？并说明理由． （2） 如果，是锐角，点D在线段 （不含端点）上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由平行线的性质，可得出，即可得结论； （2）延长，交于，继而证明，得出后，证明，即可得出结论． 【详解】证明：（1）， ， 又、分别平分、， ， ， （2）如图，延长，交于， ，， ， ， ，且， ， ， ∴E是线段CD的中点． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2．见解析 【分析】延长AM、DC交于点E，利用ASA即可证出△ADM≌△EDM，从而得出∠DAM=∠E，然后根据平行线的判定及性质可证∠E=∠BAM，从而得出∠DAM=∠BAM，即可证出结论． 【详解】解：延长AM、DC交于点E ∵∠AMD=90° ∴∠EMD=180°－∠AMD=90°=∠AMD ∵DM平分∠ADC， ∴∠ADM=∠EDM ∴在△ADM和△EDM中 ∴△ADM≌△EDM ∴∠DAM=∠E ∵∠B=∠C=90° ∴∠B＋∠C=180° ∴DC∥AB ∴∠E=∠BAM ∴∠DAM=∠BAM ∴AM平分∠DAB． 【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质是解题关键． 3．见解析 【分析】连接，由，，，证明，得到，根据、分别是、的中点，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：连接 ， ， 在和中 ， 点、分别是、的中点 ， ∴ 在和中 ， ， ． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等判定定理是解题的关键． 4．(1)见解析 (2)，，证明见解析 【分析】（1）延长，与交于E，证明，得到，，利用三角形内角和定理，等量代换可得，即，即可证明； （2）证明，得到，，根据中点的定义得出，证明，得到，，进一步证明，即，可得结论． 【详解】（1）解：如图，延长，与交于E，    ∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2），，理由是： ∵， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是中点，点是中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 5．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）求出，，根据同角的余角相等得出结论； （2）①作，且，连接交于H，即可补全图形； ②过点B作于S，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得，，最后再证即可． 【详解】（1）证明：∵是平角，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①补全图形如图所示：    ②； 证明：过点B作于S，在上截取，连接，    ∵，， ∴， 由（1）知， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 在和中，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 6．(1)见解析； (2)（1）中结论不成立，； 【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则； （2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，    ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）（1）中的结论不成立，； 理由：延长交于点H，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键． 7．(1)见解析 (2)见解析 (3)，不变化，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导． （1）根据，得出，即可根据证明； （2）易得，根据，得出，则，进而得出，则，即可求证； （3）过点A作的垂线交于点E，易得，，即可得出，通过求证得出，则是等腰直角三角形，即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，不变化，理由如下：    过点A作的垂线交于点E ∵ ∴ ∴ 同理 ∵ ∴ 同（1）理得 在和中 ， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴． 8．(1)（斜边直角边），理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定． （1）“”定理只能用来证明两个直角三角形全等； （2）通过证明可得到中的一组直角边相等，再证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：（斜边直角边），推理过程如下： ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：如图，过A作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，    ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ． 9．(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出． 【详解】（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 10．(1)见详解 (2)见详解 (3)3 【分析】（1）运用三角形的内角和进行列式，即可作答； （2）先根据直角三角形的两个锐角互余及角平分线的定义证，进而得，再证，据此可依据“”判定和全等，由全等三角形的性质得出结论：； （3）延长交与T，先证和全等得，再证和全等得，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）证明：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：延长交与T，如图：    是的角平分线， ∴， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ 即 ∵ ∴ 【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的对应边相等、对应角相等是解答此题的关键． 11．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质得出即可； （）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质解答即可； 本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴即， ∴． 12．(1)，详见解析； (2)，详见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识； （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论． 证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： 连接，如图1所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ∵，点D在的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13．【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析 〖概念理解〗（1）见解析 〖性质探究〗（2）见解析 （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析 〖拓展应用〗（4）或 【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论； （1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）利用证明，即可得出结论； （4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】解：〖教材呈现〗如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，， ∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗 （2）如图2，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． 〖拓展应用〗 （4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 14．（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 15．(1) (2)和全等；理由见解析 (3)见解析 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． （1）根据判断全等即可； （2）过点B作交的延长线于G，过点E作交的延长线于H，利用角角边判定即可； （3）通过边边角画出反例即可． 【详解】（1）解：在和中，，，，若为直角，则根据，可以判定； （2） 证明：如图，过点B作交的延长线于G，过点E作交的延长线于H， ∵，且都是钝角， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3） 解：如图，在和中，， 和不全等； 16．（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据前后逻辑关系填空即可； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）; 故答案为：，全等三角形的对应边相等； （2）延长到，使，连接，    是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点，    ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 17．（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 18．(1)①；②、①中的结论仍然成立，详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质得出，再证明，得出，进而可得出结论；②先证明，再证明，得出，进而可得出结论； （2）当时，，作，先证明，再得出，证明，得出，进而可得出结论． 【详解】（1）①正方形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：； ②、①中的结论仍然成立，证明如下： ∵， ∴，.即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， 作，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$