专题1.17 构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.17 构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直 （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍作公共边、公共角、作垂线构造三角形全等的辅助线方法 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】连接两点构造公共边 【例1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图：在四边形中，．求证：． 【变式1】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，是的中点，．   （1）求证：（提示：连接； （2）若，求四边形的面积． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，点为内一点，连接，，，过点作，交的延长线于点． （1）如图，求证：； （2）如图，点为的中点，分别连接，，求的度数． 【题型2】延长相交构造等角 【例2】（21-22八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知，点E为上一点，，分别平分，． （1）求证：； （2）求证： 【变式1】（20-21八年级上·山东德州·期中）如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB　 【变式2】如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点F，交的延长线于G，交于H．   （1）求证：； （2）求证：； （3）若则 【题型3】作垂线段构造等角或公共边 【例3】（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【变式1】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若四边形的面积为18，，求的长． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第一 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程. 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2011·辽宁丹东·中考真题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． （1）求证：BE＝CG； （2）判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【例2】（2011·湖北省直辖县级单位·中考真题）两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合． 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点． （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形； （2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI． 拓展延伸 【例1】在中，，，点D在的延长线上，M是的中点，E是射线CA上一动点，且，连接，作，交延长线于点F． （1）如图1，当点E在上时，填空：________（填“”、“”或“”）． （2）如图2，当点E在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【例2】（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．   （1）如果，， ①当点D在线段 （不含端点）上时，如图1，则线段与的位置关系是_____ ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立？并说明理由． (2) 如果，是锐角，点D在线段 （不含端点）上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.17 构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直 （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍作公共边、公共角、作垂线构造三角形全等的辅助线方法 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】连接两点构造公共边 【例1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图：在四边形中，．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及平行线性质、三角形全等的判定与性质等知识，连接，如图所示，由平行线性质得到，再由三角形全等的判定与性质即可得证，添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，根据要证明的结论准确作出辅助线是解决问题的关键． 证明：连接，如图所示：        ∵． ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，是的中点，．   （1）求证：（提示：连接； （2）若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接，证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）根据，得到四边形的面积，于是得到结论． （1）证明：连接，    中，，， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：， 四边形的面积， ， ， 四边形的面积． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．考查了学生综合运用数学知识的能力，连接，构造全等三角形是解决问题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，点为内一点，连接，，，过点作，交的延长线于点． （1）如图，求证：； （2）如图，点为的中点，分别连接，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质得出即可； （）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质解答即可； 本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题． 解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴即， ∴． 【题型2】延长相交构造等角 【例2】（21-22八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知，点E为上一点，，分别平分，． （1）求证：； （2）求证： 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）先根据平行线和角平分线的定义证明∠BAE+∠ABE=90°，再由三角形内角和定理求出∠AEB =90°，即可证明AE⊥BE； （2）如图所示，延长AE交BC延长线于F，先证明△ABE≌△FBE得到AB=FB，AE=FE，再证明△ADE≌△FCE得到AD=CF，即可证明AB= BC+AD． 解：（1）∵， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠BAD=2∠BAE，∠ABC=2∠ABE， ∴2∠BAE+2∠ABE=180°， ∴∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=90°，即AE⊥BE； （2）解：如图所示，延长AE交BC延长线于F， ∵AE⊥BE， ∴∠BEA=∠BEF=90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠FBE， 又∵BE=BE， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AB=FB，AE=FE， ∵， ∴∠EAD=∠EFC，∠EDA=∠ECF， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD=CF， ∴AB=FB=BC+CF=BC+AD． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（20-21八年级上·山东德州·期中）如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB　 【分析】延长AM、DC交于点E，利用ASA即可证出△ADM≌△EDM，从而得出∠DAM=∠E，然后根据平行线的判定及性质可证∠E=∠BAM，从而得出∠DAM=∠BAM，即可证出结论． 解：延长AM、DC交于点E ∵∠AMD=90° ∴∠EMD=180°－∠AMD=90°=∠AMD ∵DM平分∠ADC， ∴∠ADM=∠EDM ∴在△ADM和△EDM中 ∴△ADM≌△EDM ∴∠DAM=∠E ∵∠B=∠C=90° ∴∠B＋∠C=180° ∴DC∥AB ∴∠E=∠BAM ∴∠DAM=∠BAM ∴AM平分∠DAB． 【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质是解题关键． 【变式2】如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点F，交的延长线于G，交于H．   （1）求证：； （2）求证：； （3）若则 【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)3 【分析】（1）运用三角形的内角和进行列式，即可作答； （2）先根据直角三角形的两个锐角互余及角平分线的定义证，进而得，再证，据此可依据“”判定和全等，由全等三角形的性质得出结论：； （3）延长交与T，先证和全等得，再证和全等得，据此即可得出结论． （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）证明：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：延长交与T，如图：    是的角平分线， ∴， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ 即 ∵ ∴ 【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的对应边相等、对应角相等是解答此题的关键． 【题型3】作垂线段构造等角或公共边 【例3】（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若四边形的面积为18，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． （1）利用进行证明即可； （2）先过点作于，判定，即可得出，进而得证； （3）先判定，得出，再根据，面积公式列出式子，进而得到的长． 解：（1）证明：在与中， ， ． （2）作于，如图1， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 平分； （3）解：， ， 在 和中， ， ， ， 四边形，， ， 解得：． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第一 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程. 【答案】(1)二；(2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出． 解：（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2011·辽宁丹东·中考真题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． (1)求证：BE＝CG； (2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)BE+CF＞EF，见解析 【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG； （2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF， （1）解：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CG， ∴∠B＝∠DCG， 在△BDE和△CDG中， ∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG， ∴△BDE≌△CDG（ASA）， ∴BE＝CG； （2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG， ∵△BDE≌△CDG， ∴DE＝DG， 又∵FD⊥EG， ∴FD垂直平分EG， ∴EF＝GF， 又∵△CFG中，CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键． 【例2】（2011·湖北省直辖县级单位·中考真题）两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合． 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点． （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形； （2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI． 【答案】答案见解析 【分析】（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH； （2）利用SAS即可判定△AF1C≌△D1H1C，则可得对应线段相等，即可求得D1F1=AH1； （3）首先连接CG1，利用AAS即可证得△D1G1F1≌△AG1H1．然后可证得△CG1F1≌△CG1H1．又由平行线的性质即可求得答案． 解：（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH． （2）D1 F1=AH1． 证明：∵ ∴△AF1C ≌△D1H1C ∴ F1C= H1C，又CD1=CA， ∴CD1- F1C =CA- H1C.即 D1 F1=AH1 （3）连接CG1.在△D1G1F1和△AG1H1中， ∵， ∴△D1G1F1≌△AG1H1. ∴G1F1=G1H1 又∵H1C=F1C，G1C=G1C， ∴△CG1F1≌△CG1H1. ∴∠1=∠2. ∵∠B=60°，∠BCF=30° ， ∴∠BFC=90°.                                   又∵∠DCE=90°， ∴∠BFC=∠DCE，                                                                            ∴BA∥CE， ∴∠1=∠3，   ∴∠2=∠3， ∴G1I=CI ． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定定理．掌握全等三角形的旋转模型是解题的关键． 拓展延伸 【例1】在中，，，点D在的延长线上，M是的中点，E是射线CA上一动点，且，连接，作，交延长线于点F． （1）如图1，当点E在上时，填空：________（填“”、“”或“”）． （2）如图2，当点E在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，详见解析；(2)，详见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识； （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论． 证明三角形全等是解题的关键． 解：（1），理由如下： 连接，如图1所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ∵，点D在的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【例2】（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．   （1）如果，， ①当点D在线段 （不含端点）上时，如图1，则线段与的位置关系是_____ ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立？并说明理由． (2) 如果，是锐角，点D在线段 （不含端点）上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)①；②、①中的结论仍然成立，详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质得出，再证明，得出，进而可得出结论；②先证明，再证明，得出，进而可得出结论； （2）当时，，作，先证明，再得出，证明，得出，进而可得出结论． 解：（1）①正方形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：； ②、①中的结论仍然成立，证明如下： ∵， ∴，.即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， 作，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$