第1章 全等三角形重难点复习（8大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第1章 全等三角形重难点复习 思维导图 题型一 全等三角形的判定 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 2．如图，，，有下列条件：①；②；③．增加其中一个，能使△△的条件有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列说法不正确的是　　 A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两边相等的两个直角三角形全等 4．根据下列已知条件，能唯一画出△的是　　 A．，， B．，， C．，， D．， 题型二 全等三角形的判定与性质 1．如图，，是的高线，与相交于点．若，且的面积为12，则的长度为　　 A．1 B． C．2 D．3 2．如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连接，使．下列结论中正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为　　． 5．如图，△中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）△△； （2）． 题型三 全等三角形的存在性问题 1．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由． （2）当点的运动速度为多少时，能够使与全等． 2．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 题型四 角平分线+垂直模型 1．如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为　　． 2．如图，中，是的角平分线，，，若的最大值为30，则长为　　． 题型五 倍长中线模型 1．（1）已知，如图△中，是边上的中线，求证：． （2）△中，已知，，求的取值范围是　　． 2．已知：△和△，、分别为、中点，且，． （1）当时，求证：△△． （2）当时，求证：△△． 3．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　 　． 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　． （3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 题型六 截长补短模型 1．已知中，，分别平分和，、交于点． （1）直接写出与的数量关系； （2）若，利用（1）的关系，求出的度数； （3）利用（2）的结果，试判断，，的数量关系，并证明． 2．（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　　； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以60海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 题型七 一线三等角模型 1．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为　　 A． B． C． D． 2．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且、两点到的水平距离、分别为和，则、两点的高度差即的长为　　． 3．如图，、、三点在直线上，若，，则线段、、之间有什么样的数量关系？请加以证明． 4．如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为 、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求长． 5．经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则　　；　　（填“”，“ ”或“” ）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 题型八 手拉手模型 1．已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在和中，已知，，． （1）如图1，求证：； （2）当、、三点在一条直线上时， ①如图2，已知，求的度数； ②如图3，过作交于点，若，的面积为13，求的长． 3．如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 全等三角形重难点复习 思维导图 题型一 全等三角形的判定 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是，证明如下： 由题意可得：， 在和中， ， ， ∴， ∴为的平分线． 故本题选：． 2．如图，，，有下列条件：①；②；③．增加其中一个，能使△△的条件有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】解：， ， 添加①满足△△，符合题意； 添加②满足，不合题意； 添加③满足△△，符合题意； 综上，能使△△的条件有①③． 故本题选：． 3．下列说法不正确的是　　 A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两边相等的两个直角三角形全等 【详解】解：、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据来判断，故正确； 、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据来判断，故正确； 、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据来判断，故正确； 、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故不正确． 故本题选：． 4．根据下列已知条件，能唯一画出△的是　　 A．，， B．，， C．，， D．， 【详解】解：、，，， ， 该选项中的条件不能构成三角形， 选项中的条件不能唯一画出△，故不合题意； 、，，，满足全等三角形的判定“”， 该选项中的条件能唯一画出△，故符合题意； 、，，，不满足全等三角形的判定， 该选项中的条件不能唯一画出△，故不合题意； 、，，不满足全等三角形的判定， 该选项中的条件不能唯一画出△，故不合题意． 故本题选：． 题型二 全等三角形的判定与性质 1．如图，，是的高线，与相交于点．若，且的面积为12，则的长度为　　 A．1 B． C．2 D．3 【详解】解：，是的高线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为12， ， ， ， ． 故本题选：． 2．如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连接，使．下列结论中正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：为中线， ． ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， ，故④正确； ， ，故③正确． 故本题选：． 3．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：于点，于点， ， ，故①正确； ，交于点， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； ，， ， ，故③正确； ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，故④正确． 故本题选：． 4．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为　　． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故本题答案为：64． 5．如图，△中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）△△； （2）． 【详解】（1）证明：，，且，， △△， （2）由（1）已证：△△， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 又， ，即． 题型三 全等三角形的存在性问题 1．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？请说明理由． （2）当点的运动速度为多少时，能够使与全等． 【详解】解：（1）与全等，理由如下： 当运动1秒后，则厘米， （厘米）， 为中点，且厘米， 厘米， ， 在和中， ， ； （2）与全等， 或， ①当时， ，厘米， 设点运动的时间为秒， 则，解得：， 点的运动的速度（厘米秒）； ②当时， 由（1）可知：（秒）， 厘米， 点的运动的速度（厘米秒）； 综上，当点每秒运动厘米或3厘米时，． 2．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）当时，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ，即线段与线段垂直； （2）存在，理由如下： ①若，则，， 由题意可得：，解得：； ②若，则，， 由题意可得：，解得：； 综上，存在或，使得与全等． 题型四 角平分线+垂直模型 1．如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为　　． 【详解】解：如图，延长交于， 垂直的平分线于， ∴，， 又∵， (ASA)， ，， 和等底同高， ， ． 故本题答案为：4． 2．如图，中，是的角平分线，，，若的最大值为30，则长为　　． 【详解】解：如图，延长，交于点， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， 的最大值为30， 的最大值为60， 当时，的面积有最大值， ， ， ， ， ． 故本题答案为：24． 题型五 倍长中线模型 1．（1）已知，如图△中，是边上的中线，求证：． （2）△中，已知，，求的取值范围是　　． 【详解】证明：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△中，， ∴， ∴； （2）解：在△中，， 由（1）可知：，， ， ，， ， ， 故本题答案为：． 2．已知：△和△，、分别为、中点，且，． （1）当时，求证：△△． （2）当时，求证：△△． 【详解】（1）解：由题意可得：①，②，③，④， 故本题答案为：①，②，③，④； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接， 延长至点，使得，连接， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 同理可得：△△， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 同理可得：， ， 在△和△中， ， △△． 3．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　 　． 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　． （3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【详解】（1）证明：在与中， ， (SAS)， 故本题答案为：； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， 在与中， ， (SAS)， ， 在中，， ∴， 的取值范围是， 故本题答案为：； （3）证明：如图3，延长到，使，连接， ， 是的中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ． 题型六 截长补短模型 1．已知中，，分别平分和，、交于点． （1）直接写出与的数量关系； （2）若，利用（1）的关系，求出的度数； （3）利用（2）的结果，试判断，，的数量关系，并证明． 【详解】解：（1），理由如下： 由题意可得：， ，分别平分和， ，， ； （2）当时，； （3），证明如下： 如图，在上取点，使得，连接， 由（2）可知：， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 2．（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　　； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以60海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【详解】解：（1），证明如下： 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故本题答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长、相交于点， ，， ， 又，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， ∴（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 题型七 一线三等角模型 1．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为　　 A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ∴，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故本题选：． 2．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且、两点到的水平距离、分别为和，则、两点的高度差即的长为　　． 【详解】解：，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 答：的长为． 故本题答案为：0.4． 3．如图，、、三点在直线上，若，，则线段、、之间有什么样的数量关系？请加以证明． 【详解】解：线段、、之间的数量关系为：，证明如下： ， ， ， 又， △△， ，， 又， ． 4．如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为 、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求长． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ，， ； （2）解：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ，， ． 5．经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则　　；　　（填“”，“ ”或“” ）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【详解】解：（1）①，， ，， ， 在和中， ， ， ；； ②添加的条件是：，证明如下： 在中，， ， 。 又， ， 又，， ， ，， 又， ； （2）猜想：，证明如下： ，，，， ， 又， ， ，， ． 题型八 手拉手模型 1．已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①， ，即， 在和中， ， ， ，故正确； ②∵， ， ， ， ， ，故正确； ③， ， ， ∴，故正确； ④， ，故正确． 故本题选：． 2．如图，在和中，已知，，． （1）如图1，求证：； （2）当、、三点在一条直线上时， ①如图2，已知，求的度数； ②如图3，过作交于点，若，的面积为13，求的长． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①同理（1）可得：， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②如图，过点作于点， ， ，， ， 令，， ，， ， 的面积为13， ， 四边形的面积， ， ， ， ， ． 3．如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【详解】证明：（1）， ，， ， 在和中， ， ； （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）如图，延长到，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$