第一章 有理数知识归纳与题型突破（19类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024）

第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 03 题型归纳 【题型一 正负数的意义】 例题：若零下2摄氏度记为，则零上2摄氏度记为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在，0，0.5，3四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．0.5 D．3 2．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示(    ) A．支出45元 B．收入45元 C．支出55元 D．收入55元 【题型二 相反意义的量】 例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作___________． 巩固训练 1．若将“收入100元”记为“”元，则“支出400元”可记为“_______”元． 2．如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示___________千克 【题型三 正负数的实际应用】 例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 巩固训练 1．一袋食品的包装袋上标有的字样，它的含义是______． 2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是___________kg． 【题型四 有理数的概念】 例题：在，，，0，中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 巩固训练 1．在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列各数中，负有理数有（    ）个 ，，，0，，120，， A．1 B．2 C．3 D．4 【题型五 0的意义】 例题：下面关于0的说法，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0既不是整数也不是分数 C．0不是有理数 D．0的倒数是0 巩固训练 1．下列结论中正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 2．下列说法正确的是（　　） A．整数就是自然数 B．0不是自然数 C．正数和负数统称有理数 D．0是整数而不是负数 【题型六 有理数的分类】 例题：请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，． 正数集合：{　　　　…}； 分数集合：{　　　　…}； 整数集合：{　　　　…}； 有理数集合：{　　　　…}． 巩固训练 1．把下列将数填入相应的集合中：，，，28，0，4，，．    2．把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，， (1)正数集合：{       …}； (2)负数集合：{           …}； (3)整数集合：{ …}； (4)分数集合：{ …}； 【题型七 带“非”字的有理数】 例题：把下列各数，，，，，填在相应集合里． 非正数集合：　　　　； 分数集合：　　　　； 整数集合：　　　　． 巩固训练 1．把下列各数填入相应集合的括号内． ，，，0，，13，，，，， (1)正分数集合：{____________…}； (2)整数集合：{____________…}； (3)非负数集合：{____________…）． 2．请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，． 正数集合{　　　　……}； 负整数集合{　　　　……}； 整数集合{　　　　……}； 分数集合{　　　　……}； 非正数集合{　　　　……}； 非负整数集合{　　　　……}． 【题型八 数轴的三要素及其画法】 例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．在下列选项中数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型九 用数轴上的点表示有理数】 例题：在数轴上表示数：，，，4，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来．    巩固训练 1．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ，，，0，2.5 2．先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：，，2， ______<______<______<______. 【题型十 利用数轴比较有理数的大小】 例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）    巩固训练 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____________．（填“>”“=”或“<”） 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 【题型十一 数轴上两点之间的距离】 例题：数轴上表示有理数与两点的距离是______． 巩固训练 1．数轴上数和的两点间的距离是______，与相距9个单位的点是______． 2．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______． 【题型十二 相反数的定义】 例题：实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 巩固训练 1.的相反数是（    ） A．3 B．-3 C． D． 2.的相反数是（　　） A．2023 B． C． D． 【题型十三 化简多重符号】 例题：化简的结果是（    ） A． B．20 C． D． 巩固训练 1.化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2.下列计算结果为2的是（    ） A． B． C． D． 【题型十四 判断是否互为相反数】 例题：下列各组数中互为相反数的是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 巩固训练 1.下列各组数中，互为相反数的组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2.下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 【题型十五 相反数的应用】 例题：已知与互为相反数，则x等于______． 巩固训练 1.已知与2互为相反数，那么___________． 2.若a、b互为相反数，则a+b+2的值为______． 【题型十六 绝对值的意义】 例题：如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 巩固训练 1.数轴上三点所表示的数分别为，其中，如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点A与点之间 B．点与点之间 C．点A的左边 D．点C的右边 【题型十七 求一个数的绝对值】 例题：的绝对值是(   ) A． B．2023 C． D． 巩固训练 1.的绝对值是（    ） A． B． C．－2023 D．2023 2.的绝对值是（    ） A． B．7 C． D． 【题型十八 绝对值非负性的应用】 例题：如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1.已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 2.若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【题型十九 利用绝对值比较负有理数的大小】 例题：比较大小：_____（在横线上填“＜”、“＞”或“＝”）． 巩固训练 1.比较大小：___________ 2.比较大小：___________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 03 题型归纳 【题型一 正负数的意义】 例题：若零下2摄氏度记为，则零上2摄氏度记为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的实际意义可进行求解． 【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为； 故选C． 【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 巩固训练 1．在，0，0.5，3四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．0.5 D．3 【答案】A 【分析】根据负数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，在，0，0.5，3四个数中，是负数的是， 故选A． 【点睛】此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数的定义． 2．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示(    ) A．支出45元 B．收入45元 C．支出55元 D．收入55元 【答案】C 【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解． 【详解】解：收入100元记作元，则元表示支出55元， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键． 【题型二 相反意义的量】 例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作___________． 【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴进货10件记作，那么出货5件应记作． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键． 巩固训练 1．若将“收入100元”记为“”元，则“支出400元”可记为“_______”元． 【答案】 【分析】根据“正”和“负”是表示互为相反意义的量解答即可． 【详解】解：∵“收入100元”记为“”元， 则“支出400元”可记为“”元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量． 2．如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示___________千克 【答案】 【分析】根据正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示千克． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，掌握具有相反意义的量． 【题型三 正负数的实际应用】 例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”． 【答案】 【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可． 【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键． 巩固训练 1．一袋食品的包装袋上标有的字样，它的含义是______． 【答案】这袋食品的质量与标准质量相比，超重不超过，不足也不超过 【分析】利用生活中的数学知识，利用表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可． 【详解】解：表示比超重不超过，不足也不超过． 故答案为：这袋食品的质量与标准质量相比，超重不超过，不足也不超过． 【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键． 2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是___________kg． 【答案】 【分析】根据正负数的意义计算即可． 【详解】∵包装上标有：， ∴这袋大米最轻的重量是． 故答案为: ． 【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键． 【题型四 有理数的概念】 例题：在，，，0，中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数． 【详解】解：在，，，0，中，有理数有，，，0，共4个 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键． 巩固训练 1．在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据有理数的概念进行解答． 【详解】解：π不是有理数； 0，25，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，，是有限小数，属于有理数； 故有理数有0，，，，25，共5个． 故选：D． 【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数． 2．下列各数中，负有理数有（    ）个 ，，，0，，120，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：负有理数有、、，共3个， 故选C． 【点睛】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数． 【题型五 0的意义】 例题：下面关于0的说法，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0既不是整数也不是分数 C．0不是有理数 D．0的倒数是0 【答案】A 【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可． 【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意； B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意； C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意； D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键． 巩固训练 1．下列结论中正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【分析】根据这个实数的相关知识，进行判断即可． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数； 是整数，也是有理数； 是最小的自然数； 还是正数和负数的分界线； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键． 2．下列说法正确的是（　　） A．整数就是自然数 B．0不是自然数 C．正数和负数统称有理数 D．0是整数而不是负数 【答案】D 【分析】根据有理数的分类即可作出判断． 【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，此选项错误； B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误； C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误； D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关键． 【题型六 有理数的分类】 例题：请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，． 正数集合：{　　　　…}； 分数集合：{　　　　…}； 整数集合：{　　　　…}； 有理数集合：{　　　　…}． 【答案】，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，． 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【详解】解：，，，，，，，． 正数集合：，5.2，，，； 分数集合：，5.2，，，； 整数集合：，，，； 有理数集合：，5.2，0，，，，，． 故答案为：，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 巩固训练 1．把下列将数填入相应的集合中：，，，28，0，4，，．    【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图所示：    【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 2．把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，， (1)正数集合：{       …}； (2)负数集合：{           …}； (3)整数集合：{ …}； (4)分数集合：{ …}； 【答案】(1)2，， (2)，， (3)2， (4)， 【分析】根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】（1）解：正数有：2，，， 故答案为：2，，； （2）解：负数有：，，； 故答案为：，，； （3）解：整数有：2，； 故答案为：2，； （4）解：分数有：，； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 【题型七 带“非”字的有理数】 例题：把下列各数，，，，，填在相应集合里． 非正数集合：　　　　； 分数集合：　　　　； 整数集合：　　　　． 【答案】，，，；，，；，，． 【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解． 【详解】非正数集合：，，，； 分数集合：，，； 整数集合：，，． 故答案为：，，，；，，；，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 巩固训练 1．把下列各数填入相应集合的括号内． ，，，0，，13，，，，， (1)正分数集合：{____________…}； (2)整数集合：{____________…}； (3)非负数集合：{____________…）． 【答案】(1)，，； (2)0，13，，； (3)，，0，13，，． 【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案； （2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案； （3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案 【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有：，，， 故答案为：，，； （2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，，， 故答案为：0，13，，； （3）解：根据非负数的定义，非负数有：，，0，13，，， 故答案为：，，0，13，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别． 2．请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，． 正数集合{　　　　……}； 负整数集合{　　　　……}； 整数集合{　　　　……}； 分数集合{　　　　……}； 非正数集合{　　　　……}； 非负整数集合{　　　　……}． 【答案】，，；，；，，，；，，；，，，；，． 【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解． 【详解】正数集合，，，； 负整数集合，，； 整数集合，，，，； 分数集合，，，； 非正数集合，，，，； 非负整数集合，，． 故答案为：，，；，；，，，；，，；，，，；，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【题型八 数轴的三要素及其画法】 例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可． 【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键． 巩固训练 1．在下列选项中数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意； C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键． 2．下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确． 【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意； B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意； C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可． 【题型九 用数轴上的点表示有理数】 例题：在数轴上表示数：，，，4，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来．    【答案】数轴表示见解析， 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数把各数用小于号连接起来即可． 【详解】解：数轴表示如下所示：    由数轴可得． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． 巩固训练 1．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ，，，0，2.5 【答案】数轴见解析， 【分析】在数轴上表示出这些数，再根据数轴上左边的数总小于右边的数即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 由数轴可得：． 【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 2．先把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排列起来：，，2， ______<______<______<______. 【答案】数轴见解析；；；； 【分析】先把四个数表示在数轴上，然后根据数轴上点的特点，再比较大小即可． 【详解】解：把，，2，表示在数轴上，如图所示： 按从小到大的顺序排列为：． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小比较，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上点的特点． 【题型十 利用数轴比较有理数的大小】 例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）    【答案】< 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【详解】解： 在n的左边， ， 故答案为：<． 【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． 巩固训练 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【分析】在数轴上找到表示的点，再利用数轴的性质比较大小即可． 【详解】如图所示， 由数轴可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，做题关键要掌握数轴上的点表示的数的特点． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 【题型十一 数轴上两点之间的距离】 例题：数轴上表示有理数与两点的距离是______． 【答案】8 【分析】根据数轴上两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，数轴上表示有理数与两点的距离是， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了数轴上的两点距离公式，解题的关键在于熟知对于数轴上的两个数a、b，这两个数的距离为 ． 巩固训练 1．数轴上数和的两点间的距离是______，与相距9个单位的点是______． 【答案】 9 4和 【分析】直接根据数轴作答即可． 【详解】数轴上数和的两点间的距离是，与相距9个单位的点是和， 故答案为：9；4和． 【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值． 2．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______． 【答案】3或7/7或3 【分析】根据题意求出，分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算． 【详解】∵点A、B表示的数分别为、1， ∴， 第一种情况：点C在外，如图，； 第二种情况：点C在内，如图，； 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键． 【题型十二 相反数的定义】 例题：实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 【答案】C 【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】实数2023的相反数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 巩固训练 1.的相反数是（    ） A．3 B．-3 C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行作答即可. 【详解】解：的相反数是3； 故选：A. 【点睛】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键. 2.的相反数是（　　） A．2023 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的定义判断． 【详解】解：的相反数是2023． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键． 【题型十三 化简多重符号】 例题：化简的结果是（    ） A． B．20 C． D． 【答案】B 【分析】表示的相反数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B 【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 巩固训练 1.化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零即可解答。 【详解】解：∵， 故选． 【点睛】本题考查了正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零，熟记相反数的性质是解题的关键． 2.下列计算结果为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】进行多重符号化简和去绝对值计算，进行判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查多重符号化简，求一个数的绝对值．熟练掌握多重符号化简时，负号的个数为奇数个，结果为负，负号的个数为偶数个，结果为正，是解题的关键． 【题型十四 判断是否互为相反数】 例题：下列各组数中互为相反数的是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据求一个数的绝对值，化简多重符号，逐项化简各数，分析判断即可求解． 【详解】解：A． 3和不互为相反数，不符合题意； B．和互为相反数，符合题意； C．和不互为相反数，不符合题意； D．和不互为相反数，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，化简多重符号判断相反数，分别化简各数是解题的关键． 巩固训练 1.下列各组数中，互为相反数的组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、与相等，故此选项不符合题意； B、和不互为相反数，故此选项不符合题意； C、和不互为相反数，故此选项不符合题意； D、和互为相反数，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查相反数，正确理解相反数的定义是解答的关键． 2.下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 【答案】C 【分析】根据相反数的定义及符号的化简逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、与互为倒数，不符合题意，选项错误； B、与相同，不符合题意，选项错误； C、与是相反数，符合题意，选项正确； D、与2相同，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值化简，解题关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【题型十五 相反数的应用】 例题：已知与互为相反数，则x等于______． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴ 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 巩固训练 1.已知与2互为相反数，那么___________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键． 2.若a、b互为相反数，则a+b+2的值为______． 【答案】2 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知，将其代入即可求得结果． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路． 【题型十六 绝对值的意义】 例题：如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可直接进行求解． 【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键． 巩固训练 1.数轴上三点所表示的数分别为，其中，如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点A与点之间 B．点与点之间 C．点A的左边 D．点C的右边 【答案】A 【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解． 【详解】解：∵， ∴点C到原点的距离最大，点A其次，点B最小， 又∵， ∴原点O的位置是在点A、B之间且靠近点B的地方，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【题型十七 求一个数的绝对值】 例题：的绝对值是(   ) A． B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质求值即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键． 巩固训练 1.的绝对值是（    ） A． B． C．－2023 D．2023 【答案】A 【分析】根据正数的绝对值等于其本身求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选A． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 2.的绝对值是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是7， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． 【题型十八 绝对值非负性的应用】 例题：如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 巩固训练 1.已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 2.若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据可知，可得，从而可得答案． 【详解】解：由得： 得： 故选：B 【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非负数均等于零是解题关键． 【题型十九 利用绝对值比较负有理数的大小】 例题：比较大小：_____（在横线上填“＜”、“＞”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】根据有理数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 巩固训练 1.比较大小：___________ 【答案】 【分析】先化简绝对值，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键． 2.比较大小：___________ 【答案】 【分析】根据有理数比较大小的方法，绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， ∵负数小于正数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数比较大小，掌握绝对值的性质，多重符号化简，有理数大小的比较方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$