10.5 异面直线间的距离（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

*10.5异面直线间的距离 第10章 空间直线与平面 教师 xxx 沪教版（2020） 必修第三册 异面直线间的距离 01 CONTANTS 目 录 异面直线间的距离 01 前面已经定义了两条异面直线所成的角，但这显然还不足以完全确定两条异面直线的相互位置. 例如，在图10-5-1中， α-l-β为一个二面角，在平面α上作一直线a 垂直于棱l,垂足为A; 而在平面β上分别作两条直线b 及c 垂直于棱l,垂足为B 、C.若b// c, 异面直线a 、b所成的角与a 、c所成的角虽是相等的，但b 及 c 离a的距离却不一样.该如何定义两条异面直线的距离呢? 图10-5-1 在图10-5-1中，是否可以用线段AB 和AC 来分别表示异面直线a 、b之间及异面直线a 、c之间的距离呢?要想这样做，首先需要保证用这样的方式所定义的距离是唯一确定的，也就是说，要证明下面的定理. 图10-5-1 定理 对于任意两条给定的异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交. 已知：直线a、b是异面直线. 求证：存在唯一的直线与a、b 都垂直且相交. 证明 先证明存在性.如图10-5-2,在直线a 上任取一点 P, 过 P 作直线b₁, 使得b₁//b. 设a 及b₁ 所确定的平面为α,则b// α.过直线b 作平面β垂直于平面α,并相交于直线b₂. 由 b//α, 有b //b₂ . 又因b//b₁, 故b₁//b₂. 设a 与b₂的交点为A, 在平面β上过A 作直线AB 垂直于b.因为平面β垂直于平面α,所以直线AB 垂直 于平面a, 从而直线AB⊥a. 这样，直线AB 与异面直线a 、b都垂直且相交. 图10-5-2 再证明唯一性.如图10-5-3,假设除了AB, 还有一条公垂线 MN, 使得MN⊥a,MN⊥b, 垂足分别为M 、N. 因为b//b₂ , 所以 MN⊥b₂, 而a 与b2是平面α上的两条相交直线，所以MN⊥α . 又BA⊥a, 所以 MN//AB, 从而A、B、M、N共面，而这与AN 、BM 是异面直线矛盾. 图10-5-3 存在性的证明方法称为构造法，其证明过程实际上给出了构造公垂线的方法. 由此定理，任意两条异面直线的公垂线是唯一存在的，从而我们可以把此公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离。 我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接分别在两条异面直线上的两端点所得线段中的最短线段。 求两条异面直线之间的距离是立体几何中比较困难的问题， 其难点主要在于要找两条异面直线的公垂线段. 思维拓展： 两条异面直线的距离，等于其中一条直线（a）到过另一条直线（b）且与这条直线（a）平行的平面的距离。 a b a b A B c 即：异面直线的距离可以转化为 ①直线(a)上的任意一点P到平面α的距离； ②直线(a)上的任意一点P到直线©的距离. P 例1：找出每对异面直线的公垂线，若正方体的边长为1，请回答每对异面直线的距离是多少。 1、 A1B与D1C1公垂线是_____距离是__ 2、A1B与C1C公垂线是_____距离是____ 3、 A1B与CD公垂线是_____距离是____ 4、 B1B与AD公垂线是_____距离是____ 5、 A1A与B1C1公垂线是_____距离是____ A1D1 BC BC AB A1B1 1 1 1 1 1 例2: 空间四边形ABCD四边长为10，对角线BD=8，AC=16，E，F分别是AC、BD的中点求证:(1)EF是 AC、BD的公垂线段；(2)求出异面直线AC、BD的 距离。 A B C D E F EF是AC、BD的公垂线意味着什么？ 上面的答案再加上条件：E、F是中点，可以引出一些什么样的结论？ 思考 EF ⊥ AC，EF ⊥BD EF是AC的中垂线，△AFC是等腰三角形。 A B C D E F 同理： EF⊥BD ，∴EF是AC、BD的公垂线段。 (2)△ABC中AB=BC=10， AC=16，E为AC中点 ∴BE=6 Rt△BEF中，BF=4 连结AF、FC。 ∵ABCD四边长都为10 ∵AF、CF是△ABD和△CBD对应边上的中线 ∴ AF=CF ∴ △AFC是等腰三角形 ∵EF是底边上的中线 ∴EF ⊥AC 练习：已知在一个60度的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于AB的线段，又知AB=4，AC=6，BD=8，求CD的长度 A B C D 对于两异面直线的公垂线；两异面直线的距离，本节只是最基本的方法，今后还会有更多的处理方法。 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。 公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。 小结： 课堂练习 感谢观看 A 1 B 1 B A D 1 C 1 D C 1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为 ；异面直线BD1与CD的距离为 ． 【答案】 2 【详解】解析：（定义法）由正方体得DD1⊥平面A1B1C1D1，所以DD1⊥B1D1.又DD1⊥CD，所以DD1是异面直线B1D1与CD的公垂线段．又DD1＝2，所以异面直线B1D1与CD的距离为2； （转化法）因为CD∥AB，CD⊄平面ABD1，AB⊂平面ABD1，所以CD∥平面ABD1，所以CD到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离，即点D到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离．设距离为h，由题得AD1＝＝.因为VD1ABD＝VDABD1，所以××2×1×2＝××2××h，所以h＝，所以异面直线BD1与CD的距离为. 2．单位正方体 中， 分别是 和 的中点， 是 的中点，求 与 间的距离． 【答案】 【分析】证得 、 分别在两个垂直平面内，然后根据异面直线的距离公式计算出 与 间的距离． 【详解】如图，设平面 与平面 的交线为 ， ∵ ， 平面 ， ∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面 ， 而 和 分别在这两个垂直平面内， 平面 平面 ． 设 和 与 的交点分别为 ，则 ， ， ， ， ， ， 将以上数据代入公式（4），得 ． 附公式（4）：两异面直线分别在一个直二面角的两个面内且和交线分别成 角，又它们和交线的交点间的距离为 ，则两异面直线间的距离 . 3．圆 的直径为 圆面，且 上有一点 ，求 与 间的最大距离． 【答案】 【分析】根据题意，先根据二次函数性质求得 的最小值，再根据正弦函数的有界性求出 与 间的最大距离，即可得到结果. 【详解】 如图，在 上任取一点 ，作 于 ，作 于 ，则 ． ∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ， ∴平面 平面 ，故 ． 连接 ，则 ，作 于 ． 设 ，则 ． 又 ， ，则由 ， 解得 ． 设 ，则 ．从而 ， ∵ ，∴ ． 另一方面， ，由此得 ． ∴ ． 在 中，有 ， 当 时, ． 这就是 与 间的距离，当 时， ，即当点 是 的中点时， 与 间的最大距离是 ． 4．二面角 的大小为 于 于 ， ，求 与 间的距离． 【答案】 【分析】利用线段空间关系转化线线距离为线面距离，结合等面积法、余弦定理计算即可. 【详解】如图，设 两点在 上的射影分别为 ，易知 ，即 ， 作 ，交 延长线于G，作 ，则 平面 ， 所以 与 间的距离即 与平面 的距离 ． 则可设 ，则 ， 则 . 这就是 与 间的距离．    5．已知正四棱锥 的所有棱长均为 为 的中点，则线段 上的动点 到直线 的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】分析证明 为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值即可. 【详解】 因为为 等边三角形， 为的中点， 所以 ;由已知 ， ， ， 所以 ，所以 ， 所以 为异面直线 ， 的公垂线段， 所以 的长为动点M到直线BE的距离最小值， 所以动点M到直线BE的距离最小值为 . 故答案为： . 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 $$