第16讲 整式及其加减章末九大题型总结（培优篇）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第16讲 整式及其加减章末九大题型总结（培优篇） 【热考题型】 【题型一】整式的相关概念辨析 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（    ） A．是整式 B．是单项式 C．单项式的系数是，次数是5 D．多项式是五次三项式 【答案】B 【分析】本题考查整式的相关概念，根据整式的定义，单项式的定义，单项式的系数，次数，多项式的项数和次数的定义，逐一进行判断即可．掌握相关定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是整式，故选项错误； B、是单项式，选项正确； C、单项式的系数是，次数是5，故选项错误； D、多项式是四次三项式，故选项错误； 故选B． 2．（23-24七年级上·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．不是整式 B．多项式是整式 C．单项式的系数是 D．多项式是四次三项式 【答案】B 【分析】此题考查的是单项式与多项式，掌握表示数与字母积的式子叫单项式，单独数与字母也叫单项式；几个单项式的和叫多项式；单项式和多项式统称整式是解决此题的关键． 根据单项式与多项式，整式的相关定义解答即可． 【详解】解：A、x是整式，原说法错误，故此选项不符合题意； B、多项式是整式，原说法正确，故此选项符合题意； C、单项式的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、多项式是三次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）单项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】 此题考查了单项式的次数，根据单项式的次数是单项式中所有字母的指数和进行解答即可． 【详解】解：单项式的次数是， 故答案为：5 4．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）已知是关于的四次单项式，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了单项式的定义及其有关概念，代数式求值，根据单项式定义及次数的概念求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握单项式的定义及其有关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的四次单项式， ∴，且，， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 【答案】 7 4 【分析】本题考查多项式的项，解答本题需要我们掌握多项式中次数、项数的定义． 【详解】解：多项式的二次项系数是，三次项系数是7，常数项是，次数最高项的系数是4． 故答案为：，7，，4． 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）把多项式按字母的升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列． 根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可． 【详解】把多项式按字母的升幂排列是 故答案为：． 【题型二】（合并）同类项 7．（24-25七年级上·全国·假期作业）1.在下列单项式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，说法正确的是（　　　） A．②③⑤是同类项 B．②与③是同类项 C．②与⑤是同类项 D．①④⑥是同类项 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的判定，掌握同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数相等，是判断同类项的关键．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可判断． 【详解】解：A、②③是同类项，⑤与②③不是同类项，故不符合题意； B、②与③是同类项，故符合题意； C、②和⑤所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意； D、①④⑥所含字母不同，不是同类项．故不符合题意； 故选：B． 8．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案． 【详解】解：∵与的和仍为单项式， ∴与是同类项， ， ∴， 故答案为：1． 9．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知与是同类项，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的化简求值及同类项， （1）将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可； （2）将原式化简，再根据同类项的定义求得，的值，然后将其代入化简结果中计算即可； 熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2） ， ∵与是同类项， ∴，， ∴，， 原式． 10．（22-23七年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)； (3)化简：； (4)化简：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．去括号法则和合并同类项法则，准确计算． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．（22-23七年级上·山东青岛·期中）化简： (1) (2) (3)．其中 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，熟知相关计算法则是解题的关键。 （1）先算乘法，去括号，再进行加减即可； （2）先算乘法，去括号，再进行加减即可； （3）先算乘法，去括号，再进行加减，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， 当时， 原式． 【题型三】单项式、多项式规律问题 12．（23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习）按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，根据给出的单项式找出系数和次数的规律是解题的关键，找出给出的一列单项式的系数和次数的规律即可解答． 【详解】解：单项式的系数分别是， 次数的规律是从1开始的连续的奇数，即， 第个单项式是：， 故选：B． 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 14．（22-23七年级上·山西忻州·期中）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2021个多项式是 ． 【答案】 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2021个多项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 15．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）观察下列单项式的特点：． (1)按此规律写出第6个单项式； (2)按此规律写出第2023个单项式； (3)试猜想第个单项式是什么？它的系数和次数分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)，它的系数,次数是 【分析】本题考查了整式的规律探索题、单项式的系数及次数： （1）根据规律即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）根据规律得第个单项式是，根据单项式的系数及次数即可求解； 准确找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按此规律得第6个单项式为：． （2）按此规律得第2023个单项式为：． （3）按此规律得第个单项式是， 它的系数,次数是． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面的三行单项式 、…… 、…… 、…… 根据你发现的规律： (1)第①行第n个单项式为 (2)第②行第n个单项式为 (3)第③行第n个单项式为 (4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝时，512（A＋）的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第n个数是 ； （2）观察第②行式子的特点，可得第n个数是； （3）观察第③行式子的特点，可得第n个数是 ； （4）先求出A，再将 x值代入计算即可． 【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知： 系数依次，次数依次， ∴第n个单项式为； 故答案为：； （2）观察第②行的单项式可知： 第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1）， ∴第n个单项式为； 故答案为：； （3）观察第③行单项式可知： 在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反， （1）的系数，次数可得（3）系数的绝对值和次数， ∴第n个单项式为． 故答案为：． （4）， ． 答：当时，的值为． 【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算法则是解题的关键． 17．（22-23六年级上·全国·单元测试）已知多项式． (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗 (2)最后一项的系数的值为多少 (3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么 【答案】(1)十次十一项式； (2)； (3)； 【分析】（1）该多项式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答； （2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值； （3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项． 【详解】（1）解：∵多项式是按照的降幂排列， ∴该多项式有项，并且每一项的次数是， ∴该多项式是十次十一项式； （2）解：∵多项式有项， ∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数， ∴第项的系数为， ∴第项的系数为， ∴, ∴最后一项的系数的值为． （3）解：∵多项式第项的系数为， ∴第七项的系数是，第八项的系数是， ∵多项式按照的降幂排列，且每一项的次数是， ∴第七项是, 第八项, 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键． 【题型四】整体代入法求值 18．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式．咱仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，求的值： (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减化简求值： （1）把化为的形式，然后整体代入计算； （2）得，再把化为的形式，最后整体代入计算； 掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． 【详解】（1）解：， 因为， 所以， 所以； （2）解：依题意，， 故得， 那么， 所以． 19．（23-24七年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 已知，则的值为__________． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，整体代入是解题的关键； （1）把看作一个整体，合并同类项，即可进行化简； （2）先把看作一个整体，合并同类项，再整体代入计算即可； 【详解】（1）解：令， 则原式 ∵，， ∴， ∴原式． （2）解： 20．（23-24七年级上·福建莆田·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)已知，在求的值时，可这样变换：． 仿照求的值． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)的值为12 (2)的值为1 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体代入的思想，把整式进行适当的变形是解题的关键． （1）根据，再整体代入计算即可求解； （2）由已知得到，，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 21．（22-23七年级上·辽宁营口·期中）阅读材料：我们知道，，我们把看成一个整体，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成个整体，合并的结果是　　； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）将当作一个整体合并同类项即可； （2）将原式变形成，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ． 故答案为：． （2）解：． 22．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 【答案】（A级选做题）（1）2；（2）；（3）2；（B级选做题）（1）2；（2）；（3）；（C级选做题）（1）2；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整式的加减、求代数式的值，解此题的关键是采用整体代入的思想进行计算． （A级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可； （3）把写成，整体代入计算即可； （B级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）把写成，整体代入计算即可； （3）由可得，把写成，整体代入计算即可； （C级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）将写成，整体代入计算即可； （3）由可得，再将写成，整体代入计算即可． 【详解】解：（A级选做题） （1）， 故答案为：； （2）； （3）， ， 故答案为：； （B级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ； （3）， ， ， 故答案为：； ，则 （C级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ， （3）， ，即， 故答案为：． 【题型五】整式加减中的错看问题 23．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）某同学把错抄成，若符合题意的答案为，抄错后的结果为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减运算．设框表示的数为，再表示正确的结果为：，抄错后的结果为：，再列式计算即可． 【详解】解：设框表示的数为， 则正确的结果为：， 抄错后的结果为：， ． 故答案为：． 24．（23-24七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）某同学做数学题：已知两个多项式A，B，其中，他在求时，把错看成了，求得的结果为．请你帮助这位同学求出的正确结果． 【答案】 【分析】根据加法的应用，先求出代数式A，再计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是掌握整式加减的运算顺序和运算法则，以及去括号法则． 25．（21-22七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据错误的结果减去，去括号合并表示出多项式即可； （2）由表示出的加上，去括号合并即可得到正确的答案． 【详解】解：（1）根据题意列得： ， 即； （2）正确答案为： ， 即正确答案为． 【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 【题型六】整式加减中的无关问题 26．（22-23七年级上·广东广州·期中）有这样一道计算题：的值，其中，． (1)小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明； (2)求该多项式的值． 【答案】(1)理由见解析； (2)． 【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简的结果，即可作出判断； （2）把代入化简后的整式中计算即可． 【详解】（1）解： 化简后的结果不含，所以取值与无关，故小明看错结果也会是正确的； 又时，， 故小华看错，结果也是正确的； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 27．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值． 【答案】 【分析】题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 【详解】解： ， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴ ． 28．（23-24七年级上·四川广安·期末）小明在求多项式与的差时，发现系数“”印刷不清楚．小明的妈妈说：“我查到的该题的标准答案与字母x的取值无关”，则“”的值应该是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了多项式的加减运算，先计算与的差得到，根据“该题的标准答案与字母x的取值无关”得到，即可得到． 【详解】解： ． 因为标准答案与字母x的取值无关， 所以， 解得． 29．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）已知， (1)计算：； (2)若的值与y的取值无关，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2)值为6 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，掌握合并同类项和去括号法则是解答本题的关键． （1）先化简，再把A，B带入化简结果，去括号合并同类项即可； （2）根据的值与y的取值无关，可知y的系数为0，列方程即可得求出x的值，再代入（1）中代数式即可求出结果． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）∵ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴， ∴原式． 【题型七】整式加减中的不含问题 30．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）多项式中不含项． (1)求的值； (2)当时，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项，整式的化简求值，熟练掌握合并同类项法则和对多项式中不含某一项的理解． （1）先化简，结果不含项，得到，解出m的值，代入求值即可； （2）将代入求值即可； 【详解】（1）解：原式， 由于结果不含项，得到， 解得， 则； （2）解：由（1）得，则原式， 当时，原式． 31．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知 ． (1)若m的倒数等于它本身，且，求当时，的值； (2)若的结果中不含一次项和常数项，求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． （1）根据题意，可以得到，代入可求得结果； （2）先计算的结果，让一次项的系数为0，常数项也为0，可求得，再代入式子可求得结果． 【详解】（1）解：解：∵m的倒数等于它本身，且， ∴， 故， 则 ； 把代入上式得 （2）解： ． ∵的结果中不含一次项和常数项， ∴， 解得：， ∴ ． 32．（23-24七年级上·四川广元·期中）化简求值：，其中使得关于x的多项式不含项和项． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值先去括号，再合并同类项，然后根据不含的项的系数等于列方程求出、的值，最后代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的多项式不含项和项， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 33．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.如阴影部分的三个整式之间的关系即为. (1)求整式M； (2)若整式P中不含x的一次项，求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查对题意的理解和整式的加减混合运算，掌握运算法则即可解题． （2）本题考查整式的加减混合运算，以及整式中不含某项，由题意先算出整式，再得到整式，根据整式中不含x的一次项，即整理后x的一次项系数为零，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：由题知， ， ， ， 又有， 即， 整理得， 整式P中不含x的一次项， ，解得． 【题型八】整式加减中的遮挡问题 34．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）直接去括号合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）解：∵系数是2， ∴ ； （2）解：原式 ， ∵计算结果是常数， ∴， ∴． 35．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分． (1)若污染的是一个多项式，求这个多项式； (2)若污染的是常数，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 本题考查整式的加减运算，解一元二次方程． （1）根据整式加减运算法则计算即可求解； （2）将代入，整理后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：这个多项式 ； （2）解：由题意得，， 整理得，， 即， 或， 解得，，． 36．（23-24七年级上·山西大同·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务 X年X月X日 一天，我在某杂志上看到这样一道题： 小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： … 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果 【答案】(1) (2)系数“”为；该式子的结果为 【分析】 本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）直接去括号合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）∵系数是， ． （2）原式 计算结果是常数， 37．（23-24七年级上·广东广州·期中）小明和小宇在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． (1)请你根据小明的话化简：； (2)请你根据小宇的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可； （2）令原题中系数“”是a，化简，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：令原题中系数“”是a， 则 ∴， 解得： 即：原题中系数“”是4 38．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为 ，校验码的值为 ． (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程． (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是 （请直接写出结果）． 【答案】(1)73，7 (2)，，过程见解析 (3)2，6或7，1 【分析】（1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解； （3）根据校验码为8结合两个数字的和是8即可求解． 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤3”中的c的值为，校验码的值为． 故答案为： 73，7； （2）解： 依题意有，， ∴， ∴， ∵d为10的整数倍， ∴的个位必须是9， 又∵， ∴， ∴； （3）解：可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有： ， ∴， ∵校验码是8， ∴， ∵d为10的整数倍， ∴则的个位是2， ∵， ∴或或 ∴或或（舍去）． ∴这两个数字从左到右分别是2，6或7，1． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键． 【题型九】整式加减中的新定义问题 39．（2024·河北石家庄·二模）定义：a，b，m为实数，若，则称a与b是关于的对称数． (1)2与4是关于______的对称数，与______是关于3的对称数； (2)若，，且a与b是关于的对称数，试求出x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查新定义的实数运算， （1）运用对称数的定义进行解答即可； （2）运用对称数的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2与4是关于3的对称数； ， ∴与是关于3的对称数； （2）解：根据题意得， 解得，． 40．（22-23七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)新运算“”不满足交换律，见解析 (3)， 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键． （1）从数字找规律进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）按照定义的新运算先进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：新定义运算律：， 故答案为：； （2）解：新运算“”不满足交换律， 理由：∵，， ∴； （3）解： ， 当时，原式． 41．（22-23八年级上·陕西商洛·期末）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即，解得； （2）解：， 的值与无关， ，解得， ． 42．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）对a，b定义一种新运算T：规定，这里等式右边是通常的四则运算．如． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． （1）根据新运算的运算法则进行计算即可； （2）根据新运算的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得， ， ； （2）根据题中的新定义得， ， ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 整式及其加减章末九大题型总结（培优篇） 【热考题型】 【题型一】整式的相关概念辨析 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（    ） A．是整式 B．是单项式 C．单项式的系数是，次数是5 D．多项式是五次三项式 2．（23-24七年级上·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．不是整式 B．多项式是整式 C．单项式的系数是 D．多项式是四次三项式 3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）单项式的次数是 ． 4．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）已知是关于的四次单项式，则的值为 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）把多项式按字母的升幂排列是 ． 【题型二】（合并）同类项 7．（24-25七年级上·全国·假期作业）1.在下列单项式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，说法正确的是（　　　） A．②③⑤是同类项 B．②与③是同类项 C．②与⑤是同类项 D．①④⑥是同类项 8．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 9．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知与是同类项，求的值． 10．（22-23七年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)； (3)化简：； (4)化简：． 11．（22-23七年级上·山东青岛·期中）化简： (1) (2) (3)．其中 【题型三】单项式、多项式规律问题 12．（23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习）按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 14．（22-23七年级上·山西忻州·期中）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2021个多项式是 ． 15．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）观察下列单项式的特点：． (1)按此规律写出第6个单项式； (2)按此规律写出第2023个单项式； (3)试猜想第个单项式是什么？它的系数和次数分别是多少？ 16．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面的三行单项式 、…… 、…… 、…… 根据你发现的规律： (1)第①行第n个单项式为 (2)第②行第n个单项式为 (3)第③行第n个单项式为 (4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝时，512（A＋）的值． 17．（22-23六年级上·全国·单元测试）已知多项式． (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗 (2)最后一项的系数的值为多少 (3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么 【题型四】整体代入法求值 18．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式．咱仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，求的值： (2)若，，求的值． 19．（23-24七年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 已知，则的值为__________． 20．（23-24七年级上·福建莆田·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)已知，在求的值时，可这样变换：． 仿照求的值． (2)已知，，求的值． 21．（22-23七年级上·辽宁营口·期中）阅读材料：我们知道，，我们把看成一个整体，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成个整体，合并的结果是　　； (2)已知，求的值． 22．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 【题型五】整式加减中的错看问题 23．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）某同学把错抄成，若符合题意的答案为，抄错后的结果为，则 ． 24．（23-24七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）某同学做数学题：已知两个多项式A，B，其中，他在求时，把错看成了，求得的结果为．请你帮助这位同学求出的正确结果． 25．（21-22七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 【题型六】整式加减中的无关问题 26．（22-23七年级上·广东广州·期中）有这样一道计算题：的值，其中，． (1)小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明； (2)求该多项式的值． 27．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值． 28．（23-24七年级上·四川广安·期末）小明在求多项式与的差时，发现系数“”印刷不清楚．小明的妈妈说：“我查到的该题的标准答案与字母x的取值无关”，则“”的值应该是多少？ 29．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）已知， (1)计算：； (2)若的值与y的取值无关，求（1）中代数式的值． 【题型七】整式加减中的不含问题 30．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）多项式中不含项． (1)求的值； (2)当时，求多项式的值． 31．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知 ． (1)若m的倒数等于它本身，且，求当时，的值； (2)若的结果中不含一次项和常数项，求的值． 32．（23-24七年级上·四川广元·期中）化简求值：，其中使得关于x的多项式不含项和项． 33．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.如阴影部分的三个整式之间的关系即为. (1)求整式M； (2)若整式P中不含x的一次项，求a的值. 【题型八】整式加减中的遮挡问题 34．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 35．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分． (1)若污染的是一个多项式，求这个多项式； (2)若污染的是常数，求的值． 36．（23-24七年级上·山西大同·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务 X年X月X日 一天，我在某杂志上看到这样一道题： 小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： … 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果 37．（23-24七年级上·广东广州·期中）小明和小宇在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． (1)请你根据小明的话化简：； (2)请你根据小宇的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 38．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为 ，校验码的值为 ． (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程． (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是 （请直接写出结果）． 【题型九】整式加减中的新定义问题 39．（2024·河北石家庄·二模）定义：a，b，m为实数，若，则称a与b是关于的对称数． (1)2与4是关于______的对称数，与______是关于3的对称数； (2)若，，且a与b是关于的对称数，试求出x的值． 40．（22-23七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 41．（22-23八年级上·陕西商洛·期末）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 42．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）对a，b定义一种新运算T：规定，这里等式右边是通常的四则运算．如． (1)求的值； (2)求． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$