第14讲 整式的规律探究-2024年暑假新七年级数学上册自学课系列（苏科版）

第14讲 整式的规律探究 【苏科版】 ·模块一 数列型的规律探究 ·模块二 数表中的规律探究 ·模块三 图形中的规律探究 ·模块四 恒等式中的规律探究 ·模块五 课后作业 模块一 数列型的规律探究 【例1.1】（2023·云南昆明·七年级期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（   ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023七年级·湖北随州·期末）连续正整数包含着无穷的规律，引导人们不断探索．将连续正整数1，2，3，4，5，6，…，按如图数阵排列．观察发现，每行的最大的数与行数有一定的规律，那么这个数阵从上到下第6行的最大数是 ．若用数表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如（4，6）表示15，则数1000用数对表示为 ． 【变式1.1】（2023七年级·北京·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…，按照上述规律，它的第n个式子（n为正整数）是 ． 【变式1.2】（2023七年级·湖北十堰·期末）对于不为零的实数 a，b，现有一组式子： ，– ，0， ，– ，0……，则第2019个式子是（    ） A．0 B． C．– D．– 【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）观察下面有规律的三行单项式： x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…① ﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…② 2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③ （1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为_______； （2）第二行第n个单项式为________； （3）第三行第8个单项式为________；第n个单项式为___________． 模块二 数表中的规律探究 【例1.1】（2023七年级·安徽亳州·阶段练习）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例1.2】（2023·湖北十堰·中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【例1.3】（2023七年级·贵州贵阳·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（    ） A．12 B．16 C．64 D．76 【变式1.1】（2023七年级·广东梅州·期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【变式1.2】（2023七年级·浙江绍兴·期末）如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第12个图中 ． 【变式1.3】（2023七年级·江苏·假期作业）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为 ． 模块三 图形中的规律探究 【例1.1】（2023七年级·全国·假期作业）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（ ）个正方形． A．29 B．30 C．32 D．33 【例1.2】（2023七年级·山东济宁·期末）找出以下图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是（    ）个 A．2024 B．3035 C．3036 D．2023 【例1.3】（2023七年级·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1.1】（2023·湖南娄底·七年级期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023七年级·四川成都·期末）用火柴棒按下图中的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒的数量为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023·江西·七年级期末）三角形三边上的点数分布如图所示，可以发现图①中有4个点，图②中有10个点，图③中有19个点，……按此规律可知，图中点的个数是 . 模块四 恒等式中的规律探究 【例1.1】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）观察下列各组等式： （1）； （2）； （3）；    … 根据上述规律，第2021个式子的值是（    ） A．8080 B．8081 C．8082 D．8083 【例1.2】（2023七年级·贵州黔东南·期中）观察下列等式：，探究计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（    ） A．4 B．0 C．8 D．2 【例1.3】（2023七年级·广东珠海·期末）观察下列两个等式： ； ； 利用上面的规律，式子可化简得 ． 【变式1.1】（2023七年级·浙江嘉兴·期末）观察下面的等式：，，，，…，根据其中的规律，解决下列问题： (1)【尝试】写出关于的等式． (2)【归纳】写出关于的等式． (3)【运用】计算的值． 【变式1.2】（2023七年级·安徽·专题练习）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示）； (3)计算：　　． 【变式1.3】（2023七年级·安徽安庆·期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（    ） 上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ① ② ③ ④ …… （1）继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到什么结果？你能写出下面的求和公式吗？ ． A．1 B． C． D． 模块五 课后作业 1．（2023·江西九江·七年级期末）以下是按一定规律排列的单项式：，依此规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级·全国·假期作业）根据下面图形的规律，第11个图中有（ ）个． A．33 B．36 C．39 3．（2023七年级·全国·假期作业）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”． 从上图中可以发现： 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（ ）． A． B． C． D． 4．（2023·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 5．（2023·湖北武汉·七年级期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 6．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知：，，，，……观察并找出规律，计算的结果 7．（2023七年级·黑龙江绥化·期中）观察下列单项式：，按此规律写出第个单项式是 ． 8．（2023七年级·河南周口·期中）如图，每个三角形中的三个数之间有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系式为 ．    9．（2023七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有个点，图④中有个点，按此规律，图⑩中有 个点． 10．（2023七年级·全国·假期作业）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密． 队形 1 2 3 4 … 图示 …… （1）观察点子图，补充下面等式． × （2）照这样，第8个队形需要 人；第n个队形需要 人；第 个队形有56人． 11．（2023七年级·河南周口·期中）（1）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是______； （2）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_______，根据此规律，如果用an（n为正整数）表示这列数的第n项，那么an＝_____． （3）观察下面的一列单项式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，…根据你发现的规律，第7个单项式为______，第n个单项式为______． 12．（2023·安徽蚌埠·七年级期末）观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 13．（2023·安徽滁州·七年级期末）探索规律 (1)观察下面的图，发现：    图①空白部分小正方形的个数是 图②空白部分小正方形的个数是 图③空白部分小正方形的个数是____________． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______． (3)运用规律计算： ． 14．（2023六年级下·全国·假期作业）学校餐厅准备按如图所示的方式摆放桌子和椅子，请按图中提示，回答下列问题： (1)1张饭桌可坐人，张饭桌可坐_________人； (2)按如图所示的方式摆放桌子和椅子，n张饭桌可坐_________人； (3)如果将桌子的摆放方式改为如图的方式，则张饭桌可坐_________人． 15．（2023六年级下·全国·假期作业）如图，从第三个图形开始，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵对应的等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 整式的规律探究 【苏科版】 ·模块一 数列型的规律探究 ·模块二 数表中的规律探究 ·模块三 图形中的规律探究 ·模块四 恒等式中的规律探究 ·模块五 课后作业 模块一 数列型的规律探究 【例1.1】（2023·云南昆明·七年级期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式规律探索，由题意得出第个单项式是，再求出当时的式子即可，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， ……， 第个单项式是， 当时，， 故选：B． 【例1.2】（2023六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键． 通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第个单项式为，把代入即可求解． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， 第5个单项式：， 第6个单项式：， ， 第个单项式：； 第2024个单项式为：， 故选：B． 【例1.3】（2023七年级·湖北随州·期末）连续正整数包含着无穷的规律，引导人们不断探索．将连续正整数1，2，3，4，5，6，…，按如图数阵排列．观察发现，每行的最大的数与行数有一定的规律，那么这个数阵从上到下第6行的最大数是 ．若用数表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如（4，6）表示15，则数1000用数对表示为 ． 【答案】 36， （32，39） 【分析】根据所给图形分析找规律即可； 【详解】由图可知，第一行1个数字，第二行3个数字，第三行5个数字，可知第n行最大的数为， ∴第6行最大的数为； ， 31行的时候最大值为961， 第32行时从左往右依次增加， 即数1000用数对表示为（32，39）； 故答案是：36；（32，39）； 【点睛】本题主要考查了数字规律题，准确分析计算是解题的关键． 【变式1.1】（2023七年级·北京·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…，按照上述规律，它的第n个式子（n为正整数）是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的式子，可以发现分母的数字是一些连续的整数，从1开始，分子a的指数是一些连续的整数，奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解：∵一列式子为：，，，，…， ∴第n个式子为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，写出第n个单项式． 【变式1.2】（2023七年级·湖北十堰·期末）对于不为零的实数 a，b，现有一组式子： ，– ，0， ，– ，0……，则第2019个式子是（    ） A．0 B． C．– D．– 【答案】A 【分析】观察该组式子可以发现每三个一循环，且最后一个都为0，再根据2019是3的倍数可得结果. 【详解】解：根据题意得：每三个式子中最后一个式子为0， 而2019÷3=673， 即第2019个式子是：0. 故选A. 【点睛】本题考查了代数式的规律，解答本题的关键仔细观察所给式子的特点，总结出规律，从而推出第n个式子． 【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）观察下面有规律的三行单项式： x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…① ﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…② 2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③ （1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为_______； （2）第二行第n个单项式为________； （3）第三行第8个单项式为________；第n个单项式为___________． 【答案】（1）128x8；（2）（﹣2）nxn；（3）﹣129x9 ；（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1． 【分析】（1）通过观察很容易得到第一行数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可； （2）通过观察很容易得到第二行数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可； （3）通过观察很容易得到第三行数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可． 【详解】解：（1）因为第一行的每个单项式，数字因数后面都是前面的2倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第一行第8个单项式为128x8 故答案为：128x8； （2）因为第二行的每个单项式，数字因数后面都是前面的（﹣2）倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第n个单项式为 （﹣2）nxn 故答案为：（﹣2x）n； （3）通过观察第三行的这组单项式，这组单项式符合 （﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1，第8个单项式是﹣129x9；第n个单项式为 （﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1． 故答案为：﹣129x9 ；（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1． 【点睛】本题考查对单项式系数和次数的掌握，解题关键是找出规律并归纳公式． 模块二 数表中的规律探究 【例1.1】（2023七年级·安徽亳州·阶段练习）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了日历中的数字规律，代数式求值，根据题意找到规律是解题关键． 【详解】解：月历横排相邻的两个数字相差1，竖排两个数字相差7， ， 整理得：， 当，时，，故A不符合题意； 当，时，，故B不符合题意； 当，时，，故C不符合题意； 当，时，，故D符合题意； 故选：D． 【例1.2】（2023·湖北十堰·中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可． 【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1， ∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985， 根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023， 故选：B． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． 【例1.3】（2023七年级·贵州贵阳·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（    ） A．12 B．16 C．64 D．76 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案． 【详解】第一个正方形左上角数字为：1， 第二个正方形左上角数字为：2， 第三个正方形左上角数字为：3， … 第n个正方形左上角数字为：n； 最后一个正方形左上角数字为：6， ∴； 第一个正方形右上角数字为：， 第二个正方形右上角数字为：， 第三个正方形右上角数字为：， … 第n个正方形右上角数字为：； 第一个正方形左下角数字为：， 第二个正方形左下角数字为：， 第三个正方形左下角数字为：， … 第n个正方形左下角数字为：， ∴最后一个正方形左下角数字为：， 第一个正方形右下角数字为：， 第二个正方形右下角数字为：， 第三个正方形右下角数字为：， … 第n个正方形右下角数字为：， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1.1】（2023七年级·广东梅州·期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】B 【分析】此题考查探究规律类型，解题的关键是明确数的位置的变化规律，观察题目信息与图形信息，根据图象规律可知，5、6、7、8所占的位置正好分别是1、2、3、4的位置，也就是以4个数为一组循环；接下来再用2023除以4，最后再根据余数来确定2023的位置即可． 【详解】解：由题意得：在位置的数被4除余2，在位置的数被4除余3，在位置的数被4整除，在位置的数被4除余1； ， ∴2023应在3的位置，也就是在处． 故选：B． 【变式1.2】（2023七年级·浙江绍兴·期末）如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第12个图中 ． 【答案】804 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据已知图形找出一般规律是解题关键．根据题意图形归纳总结每个图形中四个数字的规律，据此即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，左上方数字按0、2、4……排列，则第个图中，左上数字为， 右上方的数字按1、2、3……排列，则第个图中，右上数字为， 左下方的数字按3、6、9……排列，则第个图中，左下数字为， 右下方的数字为每个图形中左下数字和左上数字的乘积，再加上右上数字， 第12个图中，左上方的数字为，右上方的数字为，左下方的数字为， ， 故答案为：． 【变式1.3】（2023七年级·江苏·假期作业）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为 ． 【答案】/243 【分析】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现“”规律是解题关键．先根据给出的图②和图③找出出现“”规律，然后根据规律即可得解． 【详解】解：观察图②和图③可知，前行中包含个前行的图形，中间三角形中的数字均为， 前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍， 即前行中“”的个数为（个）， 同理可知前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个）， 前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个）， 故答案为：． 模块三 图形中的规律探究 【例1.1】（2023七年级·全国·假期作业）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（ ）个正方形． A．29 B．30 C．32 D．33 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，根据图形得到代数表达式即可，根据题意可知，将图①操作1次得到个正方形，操作2次得到个正方形，每操作1次增加4个正方形，由此得到规律，操作n次得到个正方形，据此解答． 【详解】解：图①操作1次得到个正方形； 操作2次得到个正方形； 即每操作1次增加4个正方形， 由此得到规律，操作n次得到个正方形， 那么，像这样操作8次，可以得到个正方形， （个） 即像这样操作8次，可以得到33个正方形； 故答案为：D 【例1.2】（2023七年级·山东济宁·期末）找出以下图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是（    ）个 A．2024 B．3035 C．3036 D．2023 【答案】C 【分析】根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可．本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律，解决问题． 【详解】当为偶数时第个图形中黑色正方形的数量为个； 当为奇数时第个图形中黑色正方形的数量为个，.． 当时，黑色正方形的个数为（个）, 故选：C． 【例1.3】（2023七年级·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】结合图形可知： ， ， ， …… ， 则： 故选：B． 【点睛】本题考查分数乘方的应用，根据题意得到规律，掌握有理数乘方的的运算是解题关键． 【变式1.1】（2023·湖南娄底·七年级期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意可推导一般性规律为：第个图案中“”的个数是，然后计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，第1个图案中“”的个数是4， 第2个图案中“”的个数是， 第3个图案中“”的个数是， 第4个图案中“”的个数是， …… ∴可推导一般性规律为：第个图案中“”的个数是， 当时，， 故选：A． 【变式1.2】（2023七年级·四川成都·期末）用火柴棒按下图中的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查图形规律探究，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数值等条件，认真分析，找到规律． 分别数出三个图形中火柴棒的根数，发现第几个图形中火柴棒的根数为4与几的乘积加1．如第二个图形中火柴棒的根数为．即可求得搭第个图形需火柴棒的根数为． 【详解】解：第一个图形中火柴棒的根数为； 第二个图形中火柴棒的根数为； 第三个图形中火柴棒的根数为； ， 可以发现第几个图形中火柴棒的根数为4与几的乘机加1． 所以，搭第个图形需火柴棒的根数为． 故选：C． 【变式1.3】（2023·江西·七年级期末）三角形三边上的点数分布如图所示，可以发现图①中有4个点，图②中有10个点，图③中有19个点，……按此规律可知，图中点的个数是 . 【答案】 【分析】本题考查找规律，正确找到规律是解题的关键．观察图象可得图①中点的个数，图②中点的个数，图③中点的个数，，依此类推图中点的个数是，据此计算即可解题． 【详解】解：由题知， 图①中有个点， 图②中有个点， 图③中有个点， ，依此类推， 图中点的个数是， ， ． 故答案为：． 模块四 恒等式中的规律探究 【例1.1】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）观察下列各组等式： （1）； （2）； （3）；    … 根据上述规律，第2021个式子的值是（    ） A．8080 B．8081 C．8082 D．8083 【答案】D 【分析】本题考查了数字类的规律以及字母的值求代数式的值，根据现有的式子结构，得出第个式子为，把代入，计算化简即可作答． 【详解】解：∵（1）； （2）； （3）；    … 以此类推 ∴第个式子为 把代入 即 故选：D 【例1.2】（2023七年级·贵州黔东南·期中）观察下列等式：，探究计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（    ） A．4 B．0 C．8 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究；根据的前几个数的尾数规律，4次一循环，进而即可求解． 【详解】的尾数为3，的尾数为9，的尾数为7，的尾数为1，的尾数为3，的尾数为9，…， 而， 所以的尾数为7，则+1的个位数字是8． 故选：C． 【例1.3】（2023七年级·广东珠海·期末）观察下列两个等式： ； ； 利用上面的规律，式子可化简得 ． 【答案】/ 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字和算式之间的联系，得出规律是解题的关键．根据已知的式子得出规律即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【变式1.1】（2023七年级·浙江嘉兴·期末）观察下面的等式：，，，，…，根据其中的规律，解决下列问题： (1)【尝试】写出关于的等式． (2)【归纳】写出关于的等式． (3)【运用】计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题． （1）类比给出的4个等式，写出第6个等式即可 （2）按照（1）的规律进而得出第n个等式； （3）利用得到的规律化简求值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解：∵，，，，…， ∴ （3）解：，把代入，得． 【变式1.2】（2023七年级·安徽·专题练习）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示）； (3)计算：　　． 【答案】(1) (2) (3)1349 【分析】本题考查数式的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，并能灵活运用规律解题． （1）观察所给算式，可以发现左边为从1开始，序号个连续整数的平方和，等式右边是4个数的积，这四个数分别为：、与序号相同的数、比序号大1的数、序号的2倍加1，据此可以写出第5个等式； （2）根据（1）中发现的规律，用代数式表示出这些数，并写出等式即可； （3）利用（2）中的等式，将写成乘积形式，同样将分母也写成乘积形式，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：由（1）总结出规律，可知第个等式为： ； （3）解： ． 故答案为：1349． 【变式1.3】（2023七年级·安徽安庆·期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（    ） 上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ① ② ③ ④ …… （1）继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到什么结果？你能写出下面的求和公式吗？ ． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】规律为分母为两个连续自然数的乘积，分子是1，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规律求解即可． 【详解】解：∵，即， ，即， ，即， ，即， …… ， ∴ ， 故选：B 【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 模块五 课后作业 1．（2023·江西九江·七年级期末）以下是按一定规律排列的单项式：，依此规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的规律探究，根据系数与次数两个方面总结可得第n个单项式． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：， 依此规律，第个单项式是， 故选：C． 2．（2023七年级·全国·假期作业）根据下面图形的规律，第11个图中有（ ）个． A．33 B．36 C．39 【答案】B 【分析】 本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中的个数，得到变化规律：图形n中有个，进而可求解． 【详解】 解：根据题意，图形1中有6个，可以写成：； 图形2中有9个，可以写成：； 图形3中有12个，可以写成：； … 依次类推，图形n中有个， ∴第11个图中有个． 故答案为：B． 3．（2023七年级·全国·假期作业）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”． 从上图中可以发现： 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字（图形）变化的规律，观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数；三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可. 【详解】图1：正方形数是4，； 图2：正方形数是9，； 图3：正方形数是16，； 图4：正方形数是25，； 图5：正方形数是36，. 故选：C. 4．（2023·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 5．（2023·湖北武汉·七年级期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从开始的第行的第个数，观察可得由从开始的第行的数依次为，，，，，，，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 第24个数在从开始的第行的第个数， 观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，， 由从开始的第行的数依次为：，，，，，， 由从开始的第行的数依次为，，，，，，， 第24个数为， 故选：A． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知：，，，，……观察并找出规律，计算的结果 【答案】840 【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性-数字的变化，找出规律进行计算即可． 【详解】解：，，，， 观察发现，每个式子都是从下面的数字开始递减的连续整数的积的形式，而因数的个数就是上面的数字， ∴， 故答案为：840． 7．（2023七年级·黑龙江绥化·期中）观察下列单项式：，按此规律写出第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的知识及数字变化的规律，熟练掌握单项式的知识并准确找出规律是解题的关键． 【详解】首先只看系数，各项系数依次为… 所以第项系数为 各项单项式的字母依次为…所以第项单项式的字母为； 所以该单项式第项为 故答案为：． 8．（2023七年级·河南周口·期中）如图，每个三角形中的三个数之间有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系式为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了数字规律性问题．注意根据题意找到规律是解题的关键． 【详解】解：解：∵观察可知：各三角形中左边第一个数的数字规律为：，，，n， 右边第二个数的数字规律为：，，，， 下边第三个数的数字规律为：，，…，， ∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是． 故答案为：． 9．（2023七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有个点，图④中有个点，按此规律，图⑩中有 个点． 【答案】 【分析】本题考查了数与形的规律，能总结出一般规律是解题关键．列出给出的几幅图的点数依次为，，，，，分析这些数我们可以得到，，，据此总结规律求解即可． 【详解】观察题图可知： 图①中点的个数为； 图②中点的个数为； 图③中点的个数为； 图④中点的个数为； 图n中点的个数为； 当时，图中点的个数有（个）点， 故答案为：． 10．（2023七年级·全国·假期作业）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密． 队形 1 2 3 4 … 图示 …… （1）观察点子图，补充下面等式． × （2）照这样，第8个队形需要 人；第n个队形需要 人；第 个队形有56人． 【答案】 4 5 72 7 【分析】本题考查了数字类规律，解答此题的关键是，根据所给的式子，找出规律，再根据规律解答即可．通过观察发现，第1个点子图是用，第2个点子图是用，第3个点子图是用，则第4个点子图是用，第8个点子图是用，第n个点子图是用．也就是两个连续的自然数相乘，小的那个数就是第几个图形，，则56人是在第7个队形． 【详解】（1） （2）由（1）可得第n个队形需要人 ∴第8个队形需要（人） ∵， ∴第7个队形有56人 则第8个队形需要72人；第n个队形需要人；第7个队形有56人． 故答案为：4；5；72；；7. 11．（2023七年级·河南周口·期中）（1）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是______； （2）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_______，根据此规律，如果用an（n为正整数）表示这列数的第n项，那么an＝_____． （3）观察下面的一列单项式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，…根据你发现的规律，第7个单项式为______，第n个单项式为______． 【答案】（1）3；（2）2，2n；（3）14x7，（－1）n+12nxn 【分析】（1）观察不难发现，每4个数为一个循环组，个位数字依次循环，用2021÷4，根据商和余数的情况确定答案即可； （2）根据各数据得到第二项开始，每一项与前一项之比是2，则可得到第n项为2n； （3）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律，本题中，奇数项符号为正，数字变化规律是2n，字母变化规律是xn． 【详解】解：（1）个位数字分别以3、9、7、1依次循环， ∵2021÷4=505……1， ∴32021的个位数字与循环组的第1个数的个位数字相同，是3， 故答案为：3； （2）根据所给的数据可得：从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2， ∵a1=2，a2=22，a3=23，a4=24，…， ∴an=2n， 故答案为：2，2n； （3）由题意可知，奇数项符号为正，数字变化规律是2n，字母变化规律是xn， ∴第7个单项式为14x7，第n个单项式为（－1）n+12nxn， 故答案为：14x7，（－1）n+12nxn． 【点睛】本题考查了数字类的变化规律探究，解题关键是认真观察，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 12．（2023·安徽蚌埠·七年级期末）观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 【答案】(1) (2)2870 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算： （1）根据上述等式写出第5个等式即可； （2）根据上述等式写出第n个等式，并据此计算的值． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， ∴ ． 13．（2023·安徽滁州·七年级期末）探索规律 (1)观察下面的图，发现：    图①空白部分小正方形的个数是 图②空白部分小正方形的个数是 图③空白部分小正方形的个数是____________． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______． (3)运用规律计算： ． 【答案】(1)5，4； (2)； (3)2027． 【分析】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到． （1）结合图形，进行作答即可； （2）根据已有的等式得到，写出一道算式即可； （3）先运用规律，计算括号内，再进行除法计算即可． 【详解】（1）解：图③空白部分小正方形的个数是； 故答案为：； （2）由：，，， ，可得： ， 则：再写出一道算式可以为：；（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）； （3） ． 14．（2023六年级下·全国·假期作业）学校餐厅准备按如图所示的方式摆放桌子和椅子，请按图中提示，回答下列问题： (1)1张饭桌可坐人，张饭桌可坐_________人； (2)按如图所示的方式摆放桌子和椅子，n张饭桌可坐_________人； (3)如果将桌子的摆放方式改为如图的方式，则张饭桌可坐_________人． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，解答此题的关键是观察发现摆放桌子的数形成的规律． （1）根据图形即可解答； （2）按第一种方式摆放桌子和椅子，观察发现：多一张餐桌，多放把椅子，且变化规律完全相同，张饭桌可坐，即可求解； （3）如果将桌子的摆放方式改为第二种，观察可发现：多一张餐桌，多放把椅子，且变化规律完全相同，则张饭桌可坐，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，张饭桌可坐人，张饭桌可坐人， 故答案为：； （2）列表探究所坐人数与桌子张数之间的数量关系： 桌子张数 … 所坐人数 6 … n张饭桌可坐人， 故答案为：； （3）列表探究所坐人数与桌子张数之间的数量关系： 桌子张数 … 所坐人数 … n张饭桌可坐人， 故答案为：． 15．（2023六年级下·全国·假期作业）如图，从第三个图形开始，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n个正方形点阵对应的等式． 【答案】 【分析】本题考查找规律，正确找到规律是解题的关键．根据题意可得点阵左上角和点阵右下角点数规律，以及第n个正方形点阵总数，将点阵左上角和点阵右下角点数列式相加，即可解题． 【详解】解：由题知， 点阵左上角点数， ， 点阵右下角点数， ， 第n个正方形点阵总数为， 第n个正方形点阵对应的等式为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$